228 Dreiecke I 7 7.4 Höhenschnittpunkt Die Eltern von Lukas haben vor einigen Jahren ihre Wohnung renoviert und dabei das Foto links gemacht. Lukas fragt sich nun, wie hoch die abgebildete Leiter war. Lukas weiß, dass er dazu nicht einfach die Länge der Leiterschenkel abmessen darf. Welche Länge ist mit „Höhe der Leiter“ gemeint? Der Normalabstand des Punktes A von der Seite a heißt Höhe auf a (ha), der Abstand des Punktes B von der Seite b heißt Höhe auf b (hb). Zeichne in das Bild der Leiter die Höhe der Leiter ein! Lukas misst die Höhe mit ca. 6 cm ab. Das Bild ist im Maßstab 150 dargestellt und damit ist die Höhe der Leiter in Wirklichkeit: Zeichnet man in einem Dreieck alle drei Höhen ha, hb und hc ein, so erhält man einen weiteren „Kandidaten“ für den Mittelpunkt des Dreiecks. Die drei „Höhengeraden“ schneiden einander nämlich wieder in einem gemeinsamen Punkt, dem Höhenschnittpunkt H. (Ein Beweis ist in Aufgabe 868 angedeutet.) Zeichne im Dreieck rechts die dritte Höhe hb ein und überprüfe, ob die drei Höhen einen gemeinsamen Schnittpunkt haben! Im links unten abgebildeten stumpfwinkligen Dreieck ABC schneidet die durch C gehende Normale auf die Seite c zwar nicht die Seite c, aber die Verlängerung der Seite c über B hinaus. Die Höhe hc und ihre Höhengerade liegen außerhalb des Dreiecks. A B c C a b hc Auch stumpfwinklige Dreiecke haben einen Höhenschnittpunkt. Er liegt außerhalb des Dreiecks (➞ Figur rechts). A C B a b c hc ha Die Normale durch den Eckpunkt eines Dreiecks auf die gegenüberliegende Dreiecksseite heißt Höhengerade. Der Normalabstand des Eckpunktes von der Seite sowie die zugehörige Strecke heißen Höhe. In jedem Dreieck schneiden einander die drei Höhengeraden in genau einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt. Bei spitzwinkligen Dreiecken liegt der Höhenschnittpunkt innerhalb, bei stumpfwinkligen Dreiecken außerhalb des Dreiecks und bei rechtwinkligen Dreiecken fällt er mit dem Scheitel des rechten Winkels zusammen. Höhenschnittpunkt im Dreieck Video mx678e hc hb ha A B c C a b H Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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