223 I 7 Besondere Punkte des Dreiecks 7 Besondere Punkte des Dreiecks Martha und Ilija sind sich nicht einig, wo ein Dreieck seinen Mittelpunkt hat. Bei Figuren wie Kreis oder Quadrat ist klar, wo der Mittelpunkt M ist. Zeichne in das nebenstehende Quadrat den Mittelpunkt ein! Welche Eigenschaften hat der Mittelpunkt dieses Quadrats? Kreuze an! von allen Ecken gleich weit entfernt von allen Seiten gleich weit entfernt Schnittpunkt der Diagonalen Martha meint: „Der Mittelpunkt eines Dreiecks sollte demnach auch von allen Ecken und von allen Seiten gleich weit entfernt sein.“ Ilija erwidert: „Aber was machen wir mit den Diagonalen? Ein Dreieck hat keine!“ Bei Dreiecken ist das nicht so einfach, aber wir werden sehen: Auch im Dreieck gibt es „Mittelpunkte“, die die oben genannten Eigenschaften erfüllen, aber im Allgemeinen nicht alle auf einmal! 7.1 Umkreismittelpunkt Gibt es einen Punkt, der von allen Eckpunkten gleich weit entfernt ist? • Alle Punkte, die von den Eckpunkten A und B gleich weit entfernt sind, liegen auf der Streckensymmetrale sAB. • Alle Punkte, die von den Eckpunkten A und C gleich weit entfernt sind, liegen auf der Streckensymmetrale sAC. Der Schnittpunkt U von sAB und sAC ist von A, B und C gleich weit entfernt. Deshalb muss U auch auf der dritten Streckensymmetrale sBC liegen (Begründungen ➞ Kap. 6). Konstruiere die dritte Streckensymmetrale! Weil der Punkt U von allen drei Eckpunkten gleich weit entfernt ist, kann man mit ihm als Mittelpunkt einen Kreis durch die Punkte A, B und C zeichnen. Dieser Kreis heißt Umkreis des Dreiecks und der Punkt heißt daher Umkreismittelpunkt U (➞ rechte Figur). Sein Abstand von den Eckpunkten des Dreiecks ist der Umkreisradius r. A B c sAB sAC sBC C a b U r Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt der Umkreismittelpunkt U außerhalb des Dreiecks, bei rechtwinkligen Dreiecken liegt er genau auf der Hypotenuse. Martha und Ilija meinen, dass ein Mittelpunkt nicht außerhalb des Dreiecks liegen kann, deshalb muss die Suche weitergehen. Interaktive Vorübung mh6mk9 AH S. 74 A B c C a b U sAC sAB Video mu5jn7 A B c sAB sBC sAC C a b U r Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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