221 I 6 Anwendungen der Kongruenzsätze und Sonderfälle Anwendungen der Kongruenzsätze Mit den Kongruenzsätzen können geometrische Zusammenhänge bewiesen werden. ZB Jeder Punkt P der Streckensymmetrale sAB ist von den Endpunkten A und B der Strecke gleich weit entfernt. Weil die Streckensymmetrale durch den der Strecke AB geht und auf AB normal steht, folgt: ___ AM = ___ BMsowie, dass die beiden Winkel ¼AMP und ¼PMB Winkel sind. Die Strecke ist sowohl Teil des Dreiecks APM als auch des Dreiecks BMP. Damit stimmen diese beiden Dreiecke in zwei Seiten und dem eingeschlossenen (rechten) Winkel überein. Nach dem SWS-Satz sind die beiden Dreiecke kongruent und __ AP = __ BP. Die Umkehrung dieses Beweises wird in ➞ Aufgabe 844 behandelt. Sonderfälle Wenn die Angaben aus zwei Seitenlängen und einem nicht eingeschlossenen Winkel bestehen, kann es passieren, dass zwei Dreiecke, nur eines oder gar kein Dreieck als Lösung entstehen. Für die Konstruktion links sind c und α gegeben und wurden schon konstruiert. Die Länge von a ist jetzt für die Anzahl der Lösungsdreiecke entscheidend. Setze ein: ein/zwei/kein! Mit a = a 1 hat die Aufgabe Dreieck(e) als Lösung. Mit a = a 2 hat die Aufgabe Dreieck(e) als Lösung. Mit a = a 3 hat die Aufgabe Dreieck(e) als Lösung. Angaben, die zu zwei Dreiecken als Lösung führen Gegeben: a, c, α; (a < c) Skizze α A B c C a b a1 b1 C1 A a1 a c C1 C B 1. Fertige eine Skizze an und beschrifte sie! Markiere die gegebenen Bestimmungsstücke! 2. Beginne mit der Seite c! Zeichne den Winkel α = ¼cb und ziehe um B einen Kreisbogen mit dem Radius a! Dieser Kreisbogen schneidet die Seite b zweimal. 3. Zeichne und beschrifte beide Dreiecke! Male das größere Dreieck ABC mit Farbe aus! Schraffiere anschließend das kleinere Dreieck ABC1! Interaktive Vorübung mg7ns4 AH S. XX A sAB P B M Mit Hilfe der Kongruenzsätze können geometrische Zusammenhänge wie zB die Eigenschaften von Strecken- und Winkelsymmetralen bewiesen werden. Seiten-Winkel-Seiten-Satz (SWS-Satz) A B c b α a3 a2 a1 α β γ A B c C a b 6 Anwendungen der Kongruenzsätze und Sonderfälle Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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