213 I 4 Eigenschaften und Flächeninhalt 4.4 Allgemeines Dreieck Fiona ist mit ihren Eltern in eine neue Reihenhaussiedlung gezogen, die in Dreiecksform angelegt ist. Sie wüsste gern, wie groß der Flächeninhalt der gesamten Siedlung ist. Fiona kennt ihre durchschnittliche Schrittlänge und geht die Siedlung ab. Welche Abmessungen sollte sie herausfinden? Zeichne sie in die Luftaufnahme links ein! Um eine Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks ABC zu erhalten, kannst du zB so vorgehen: Zeichne die Höhe hc ein und ergänze das Dreieck zu einem Rechteck ABDF! Die Seitenlängen des Rechtecks entsprechen der Seite des Dreiecks, sowie der Höhe . Den Flächeninhalt des Rechtecks erhältst du demnach mit A = . Weiters ist der Flächeninhalt des Dreiecks EBC genau die Hälfte des Rechtecks EBDC, der Flächeninhalt des Dreiecks AEC genau die Hälfte des Rechtecks AECF. Die beiden Dreiecke ergeben gemeinsam das gesuchte Dreieck ABC, die beiden kleinen Rechtecke ergeben das Rechteck ABDF. Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC entspricht also genau der Hälfte des Flächeninhalts des Rechtecks ABDF: A ABC = 1 __ 2 ·A AECF + 1 __ 2 ·A EBDC = 1 __ 2 ·A ABDF = 1 __ 2 ·c·h c = c·hc ___ 2 . Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC kann auch mit jeder anderen Seite und der zugehörigen Höhe berechnet werden. Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegen immer zwei Höhen außerhalb des Dreiecks. Die Formeln gelten trotzdem. Siehe dazu die Überlegungen in Aufgabe 816. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC! a) c = 35 mm, hc = 28 mm c) c = 0,64 m, hc = 0,39 m e) c = 3,25 dm, hc = 4,12 dm b) a = 5,1 cm, ha = 4,2 cm d) a = 10,2 cm, ha = 3,9 cm f) b = 5,20 m, hb = 3,18 m Kreuze an, welche Dreiecke einen Flächeninhalt von 45 cm2 haben! A a = 9 cm, ha = 5 cm D b = 4 cm, hb = 22,5 cm B a = 9 cm, ha = 9 cm E c = 8 cm, hc = 11,25 cm C b = 10 cm, hb = 9 cm Zeichne das Dreieck ABC und berechne den Flächeninhalt! a) A = (‒3 1 ‒2), B = (4 1 ‒2), C = (‒1 1 4) c) A = (‒7 1 1), B = (‒5 1 ‒4), C = (5 1 1) b) A = (‒3 1 4), B = (‒3 1 ‒4), C = (3 1 0) d) A = (‒4 1 2), B = (‒5 1 ‒3), C = (4 1 2) D C A B c E hc F A = a·h a ____ 2 oder A = b·h b ____ 2 oder A = c·h c ___ 2 Kurzsprechweise: Flächeninhalt = Seite mal zugehöriger Höhe Halbe Flächeninhalt des allgemeinen Dreiecks A c a b hc B C 812 B O M DI Wähle in stumpfwinkligen Dreiecken jene Höhe zum Berechnen des Flächeninhalts, die den stumpfen Winkel teilt – diese liegt sicher innerhalb des Dreiecks! Tipp 813 B O M DI B O M DI 814 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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