20 Teilbarkeit A 1 1.2 Größter gemeinsamer Teiler Thomas möchte ein rechteckiges Blatt Papier (Länge 30 cm und Breite 20 cm) mit einem zweifärbigen, quadratischen Muster überziehen. Er stellt rasch fest, dass es viele Möglichkeiten dafür gibt: Quadratmuster 1 cm × 1 cm Quadratmuster 2 cm × 2 cm Quadratmuster 5 cm × 5 cm 30 Felder 20 Felder 15 Felder 10 Felder 5 Felder 4 Felder Thomas bemerkt, dass es sich bei den möglichen Quadratlängen nur um gemeinsame Teiler der Rechteckseiten handeln kann. Um dies genauer zu untersuchen, schreibt er die Teilermengen auf: T 20 = { } bzw. T30 = { }. Die gemeinsamen Teiler von 20 und 30 unterstreicht er und schreibt T 20 ° T 30 = {1, 2, 5, 10}. Im Bild rechts sind die Teilermengen und die gemeinsamen Teiler in einem Mengendiagramm dargestellt. Unter den gemeinsamen Teilern zweier oder mehrerer Zahlen gibt es immer einen größten gemeinsamen Teiler (ggT), nämlich 10 – wir schreiben also ggT (20, 30) = 10. Unter den gemeinsamen Teilern ist immer die Zahl 1. Es gibt Zahlen, die nur 1 als gemeinsamen Teiler haben, zB 9 und 10: T9 = { 1, 3, 9 }, T 10 = { 1, 2, 5, 10 } w T 9 ° T 10 = {1} w ggT (9, 10) = 1. Solche Zahlen nennt man teilerfremd. 1) Wie lautet die Teilermenge jeder dieser Zahlen? 2) Wie lautet die Menge der gemeinsamen Teiler? 3) Wie lautet der größte gemeinsame Teiler? 4) Zeichne ein Mengendiagramm zur Ermittlung der Menge der gemeinsamen Teiler! a) 12 und 16 b) 10 und 20 c) 17 und 19 d) 18 und 24 e) 36 und 48 Bestimme die gemeinsamen Teiler und den ggT! a)T 35 ° T 40 b)T 30 ° T 50 c) T 25 ° T 28 d) T 12 ° T 36 e) T48 ° T96 1 2 3 4 5 6 10 20 30 15 T20 T20 T30 T30 ° Der größte gemeinsame Teiler zweier oder mehrerer Zahlen hat folgende Eigenschaften: 1. Er teilt diese Zahlen. 2. Unter den gemeinsamen Teilern dieser Zahlen ist er der größte. Größter gemeinsamer Teiler (ggT) 35 B O M DI 36 B O M DI Beispiel T 10 ° T 15 = ? w T 10 = { 1, 2, 5, 10 }, T 15 = { 1, 3, 5, 15 }, T 10 ° T 15 = {1, 5}; ggT (10,15) = 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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