Gleichungen und Formeln E 2 118 2.2 Gleichungen mit Multiplikation und Division Nun ist Emma an der Reihe, Tobias eine Aufgabe zu stellen: „Wenn ich die Anzahl der Lehrerinnen und Lehrer unserer Schule durch 12 dividiere, ist das Ergebnis 11. Wie groß ist der Lehrkörper unserer Schule?“ Tobias weiß, dass er auch rückgängig machen muss, was Emma gerechnet hat. Emma hat durch dividiert, also muss er das Ergebnis 11 mit multiplizieren. 11· = Tobias sagt: „An unserer Schule gibt es Lehrerinnen und Lehrer.“ Die Gleichung zu dieser Aufgabe ist x12 = 11. Wenn wir in die Gleichung für x die Zahl 132 einsetzen, führt dies zu einer wahren Aussage. 13212 = 11. Gleichungen der Form x·a = b bzw. xa = b ( x _ a = b; a ≠ 0) Auch Gleichungen mit einer Punktrechnung, also Gleichungen der Form x·a = b bzw. xa = b, können wir durch Umkehrung der Rechenoperation lösen. Du kannst also den gesuchten Wert der Unbekannten finden, indem du eine Multiplikation durch eine Division und eine Division durch eine Multiplikation rückgängig machst: zB z·6 = 54 ist gleichbedeutend mit z = 546 v3 = 13 ist gleichbedeutend mit v = 13·3 Statt v3 können wir im Beispiel auch v _ 3 oder 1 _ 3 ·v schreiben. Allgemein können wir Gleichungen der Form xa = b auch als x _ a = b (a ≠ 0) schreiben. Gleichungen der Form a·x = b bzw. ax = b (x ≠ 0) Gleichungen der Form a·x = b können mit Hilfe des Kommutativgesetzes auf die Form x·a = b gebracht werden. Gleichungen, bei denen die Unbekannte als Divisor auftritt, sind schwieriger zu lösen. Aus der 1. Klasse wissen wir, dass bei der Probe Divisor und Quotient vertauscht werden können: zB 12x = 3 É 123 = x (da 124 = 3 und 123 = 4 ist). Auch diese Gleichungen kannst du durch zweimaliges Umkehren der Rechenoperation lösen: 12x = 3 É 12 = 3·x É 123 = x. 1) Löse die Gleichungen durch Umkehrung der Rechenoperation und überprüfe deine Lösung durch Einsetzen (Probe)! 2) Finde einen passenden Text zur Gleichung! a) a·8 = 72 c) y·10 = 140 e) x _ 2 = 8 g) t _ 7 = 4 b) b6 = 4 d) z3 = 7 f) c·3 = 99 h) d·5 = 60 z · 6 : 6 54 v : 3 . 3 13 x·a = b É x = ba (a ≠ 0) xa = b É x = b·a (a ≠ 0) ax = b É ab = x (x, b ≠ 0) Umkehroperationen bei Multiplikation und Division 481 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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