Humenberger (Hrsg.) Aue, Hasibeder, Himmelsbach, Schüller-Reichl A B C D Das ist Mathematik
Das ist Mathematik 2, Schülerbuch und E-Book Schulbuchnummer: 215632 Das ist Mathematik 2, Schülerbuch mit E-BOOK+ Schulbuchnummer: 215634 Das ist Mathematik 2, Schülerbuch E-Book Solo Schulbuchnummer: 215637 Das ist Mathematik 2, Schülerbuch E-BOOK+ Solo Schulbuchnummer: 215636 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung vom 11. März 2024, Geschäftszahl: 2022-0.740.166, gemäß § 14 Abs. 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch an Mittelschulen und an allgemein bildenden höheren Schulen – Unterstufe für die 2. Klasse im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2023) geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Technische Zeichnungen: Dr. Herbert Löffler, Wien Illustrationen: Mag. Adam Silye, Wien 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2024 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Mag. Melanie Zimmermann, Wien Herstellung: Ing. Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung: weissbunt, design und kontext, Berlin Layout: weissbunt, design und kontext, Berlin Satz: CMS - Cross Media Solutions GmbH, Würzburg Druck: Brüder Glöckler GmbH, Wöllersdorf ISBN 978-3-209-12272-8 (Das ist Mathematik SB 2 und E-Book) ISBN 978-3-209-12276-6 (Das ist Mathematik SB 2 mit E-BOOK+) ISBN 978-3-209-13075-4 (Das ist Mathematik SB 2 E-Book Solo) ISBN 978-3-209-13083-9 (Das ist Mathematik SB 2 E-BOOK+ Solo) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
A B C Das ist Mathematik 2 www.oebv.at Die interaktiven Übungen auf www.oebv.at von: Dipl.-Päd. Thomas Schroffenegger, BEd MAS MSc Lösungen sind in jeder Buchhandlung und auf www.oebv.at erhältlich Univ.-Prof. Mag. Dr. Hans Humenberger (Hrsg.) SQM Mag.a Vera Aue Mag. Johannes Hasibeder DI Mag. Dr. Michael Himmelsbach, MA Mag.a Johanna Schüller-Reichl Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Inhaltsverzeichnis 2 Inhaltsverzeichnis So arbeitest du mit dem Buch 6 Mathematische Zeichen 8 Wiederholung 9 Kompetenzbereich – Zahlen und Maße A Teilbarkeit 16 1 Teiler und Vielfache 18 1.1 Teiler und Teilermenge 18 1.2 Größter gemeinsamer Teiler 20 1.3 Kleinstes gemeinsames Vielfaches 22 2 Teilbarkeitsregeln 24 2.1 Teilbarkeitsregeln für das Teilen durch bestimmte Zahlen 24 2.2 Summen- und Produktregel 27 3 Primzahlen 30 3.1 Eigenschaften von Primzahlen 30 3.2 Primfaktorzerlegung 31 3.3 Zusammenhang zwischen ggT und kgV 32 Vernetzte Aufgaben 34 Wissensstraße 36 B Ganze Zahlen 38 1 Einführung der ganzen Zahlen 40 1.1 Menge der ganzen Zahlen 40 1.2 Graphische Darstellung von ganzen Zahlen 42 1.3 Vergleichen und Ordnen ganzer Zahlen 43 2 Addieren und Subtrahieren 45 Vernetzte Aufgaben 47 Wissensstraße 49 C Bruchzahlen und Bruchrechnen 50 1 Brüche und Bruchzahlen 52 1.1 Brüche und ihre Schreibweisen 52 1.2 Bruchzahl als Division 54 1.3 Erweitern und Kürzen von Brüchen 56 1.4 Graphische Darstellung von Bruchzahlen 58 1.5 Vergleichen und Ordnen von Bruchzahlen 59 2 Anwenden und Deuten von Brüchen 60 2.1 Bruch als Rechenbefehl 60 2.2 Brüche zur Angabe von relativen Anteilen und Häufigkeiten 61 3 Rechnen mit Bruchzahlen 63 3.1 Addieren und Subtrahieren bei gleichnamigen Brüchen 63 3.2 Addieren und Subtrahieren bei ungleichnamigen Brüchen 64 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 3.3 Multiplizieren einer Bruchzahl mit einer natürlichen Zahl 67 3.4 Multiplizieren zweier Bruchzahlen 70 3.5 Dividieren einer Bruchzahl durch eine natürliche Zahl 74 3.6 Dividieren einer natürlichen Zahl durch eine Bruchzahl 75 3.7 Division von Bruchzahlen 76 3.8 Verbindung der vier Grundrechnungsarten 78 Vernetzte Aufgaben 79 Wissensstraße 82 D Prozentrechnung 84 1 Grundbegriffe 86 2 Graphische Darstellungen von Prozentangaben 88 3 Rechnen mit Prozenten 90 3.1 Berechnen des Prozentwertes 90 3.2 Berechnen des Prozentsatzes 93 3.3 Berechnen des Grundwertes 96 3.4 Prozentuelle Änderungen 98 Vernetzte Aufgaben 101 Wissensstraße 104 Technologie – Zahlen und Maße 106 Kompetenzbereich – Variablen und Funktionen E Gleichungen und Formeln 110 1 Terme, Formeln und Gleichungen 112 1.1 Einführung 112 1.2 Aufstellen von Termen, Formeln und Gleichungen 114 2 Lösen von Gleichungen 116 2.1 Gleichungen mit Addition und Subtraktion 116 2.2 Gleichungen mit Multiplikation und Division 118 2.3 Gleichungen mit zwei Rechenoperationen 120 2.4 Formeln 122 2.5 Gleichungen aus Texten 124 Vernetzte Aufgaben 127 Wissensstraße 130 F Direkte und indirekte Proportionalität 132 1 Direkt proportionale Größen 134 2 Indirekt proportionale Größen 140 Vernetzte Aufgaben 145 Wissensstraße 148 Technologie – Variablen und Funktionen 150 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Inhaltsverzeichnis 4 Kompetenzbereich – Daten und Zufall G Statistik – verschiedene Darstellungen 154 1 Mittelwerte 156 2 Häufigkeiten 158 3 Darstellen von Daten 160 3.1 Prozentstreifen und Prozentkreis 160 3.2 Liniendiagramm 163 4 Baumdiagramme mit relativen Anteilen und Häufigkeiten 165 Vernetzte Aufgaben 168 Wissensstraße 172 Technologie – Daten und Zufall 174 Kompetenzbereich – Figuren und Körper H Winkel, Koordinatensystem und Symmetrie 176 1 Winkel 178 1.1 Bezeichnungen 178 1.2 Winkelmaße 180 1.3 Parallelwinkel 182 2 Koordinatensystem 184 3 Symmetrie und Kongruenz 187 3.1 Symmetrische Figuren 187 3.2 Streckensymmetrale 189 3.3 Winkelsymmetrale 191 3.4 Kongruente Figuren 193 3.5 Spiegelungen 194 3.6 Schiebungen 196 Vernetzte Aufgaben 198 Wissensstraße 200 I Dreiecke 202 1 Grundbegriffe und Bezeichnungen 204 2 Winkel im Dreieck 205 3 Einteilung der Dreiecke 206 4 Eigenschaften und Flächeninhalt 209 4.1 Rechtwinkliges Dreieck 209 4.2 Gleichschenkliges Dreieck 211 4.3 Gleichseitiges Dreieck 212 4.4 Allgemeines Dreieck 213 5 Dreieckskonstruktion 216 5.1 Drei Seiten sind gegeben 216 5.2 Eine Seite und zwei Winkel sind gegeben 218 5.3 Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben 219 5.4 Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel sind gegeben 220 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
5 6 Anwendungen der Kongruenzsätze und Sonderfälle 221 7 Besondere Punkte des Dreiecks 223 7.1 Umkreismittelpunkt 223 7.2 Inkreismittelpunkt 225 7.3 Schwerpunkt 227 7.4 Höhenschnittpunkt 228 8 Satz von Thales 230 Vernetzte Aufgaben 232 Wissensstraße 235 J Vierecke 236 1 Rechteck und Quadrat 238 1.1 Definition und Eigenschaften 238 1.2 Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat 239 2 Parallelogramm und Raute 241 2.1 Parallelogramm 241 2.2 Raute (Rhombus) 243 2.3 Flächeninhalt von Parallelogramm und Raute 245 3 Drachenviereck (Deltoid) 247 3.1 Definition und Eigenschaften 247 3.2 Flächeninhalt des Drachenvierecks 249 4 Trapez 250 4.1 Definition und Eigenschaften 250 4.2 Gleichschenkliges Trapez 252 4.3 Flächeninhalt des Trapezes 254 5 Allgemeine Vierecke 255 5.1 Definition und Eigenschaften 255 5.2 Sehnenviereck 256 5.3 Tangentenviereck 257 5.4 Übersicht über die Vierecke 258 Vernetzte Aufgaben 259 Wissensstraße 262 Technologie – Figuren und Körper 264 Anhang Lösungen zu den Wissensstraßen 278 Register 283 Bildnachweis 286 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Willkommen zu Das ist Mathematik 6 Willkommen zu Das ist Mathematik Liebe Schülerin, lieber Schüler, wir möchten dich herzlich in der zweiten Klasse begrüßen. Das Buch Das ist Mathematik wird dich wieder im Mathematikunterricht begleiten. Wir möchten dir zeigen, dass Mathematik mehr als Rechnen ist. Mathematik ist… … eine Sprache. Deswegen werden dir so genannte Sprachbausteine bei der Übersetzung von Mathematik in die Alltagssprache und umgekehrt helfen. Sie helfen dir die Sprachbausteine, wenn du Sachverhalte interpretieren und begründen sollst. … wichtig für die geschichtliche Entwicklung der Menschheit. Deswegen wirst du einen Teil davon mit Hilfe der geschichtlichen Motivationsseiten am Anfang jedes Abschnitts kennenlernen. Hier findest du auch spannende Rätsel und interessante Aufgaben zu den Bildern. Die Lösungen dazu findest du auf www.oebv.at unter dem digitalen Zusatzmaterial von Das ist Mathematik. t | a: „t teilt a.“ „t ist ein Teiler von a.“ Sprachbaustein Gleichungen und Formeln E 110 Gleichungen und Formeln Kurzschreibweisen, auch in der Mathematik Abkürzungen hielten auch in der Mathematik Einzug, um lange Texte für Rechenaufgaben kurz in einer „Symbolsprache“ zusammenzufassen. Um anzuzeigen, dass zwei Zahlen A und B addiert werden, schrieben Gelehrte des Mittelalters „A et B“, weil „et“ das lateinische Wort für „und“ ist. Die uns heute geläufigen Zeichen + für plus und – für minus stammen von Johannes Widmann, der im 15. Jahrhundert in Leipzig lebte. Vom englischen Mathematiker William Oughtred (1574–1660) stammen die Zeichen × und : für die Multiplikation und Division. Der deutsche Universalgelehrte Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) ersetzte das Zeichen × für mal durch das Zeichen ∙. Die ersten Abkürzungen für Zahlen durch Buchstaben findet man im Werk „Liber abbaci“ des italienischen Rechenmeisters Leonardo da Pisa (1170–1250), der sich Fibonacci nannte. Er schrieb zB a + b = b + a, um auszudrücken, dass es bei der Addition zweier Zahlen nicht auf die Reihenfolge ankommt. % . ½ ≥ + • © ¾ ≤ Δ R ω √ N u α , μ π ± * w É P < > ≠ ≈ x - = ÷ š × } { In der Mathematik gibt es viele Kurzschreibweisen und Symbole. Welche kennst du schon? Markiere diese! „In der Kürze liegt die Würze!“ Seit langer Zeit haben Autorinnen und Autoren von Schriftstücken versucht, sich die Arbeit leichter zu machen. Sie verwendeten Abkürzungen, oft die Anfangsbuchstaben eines Wortes. Heute ist das so üblich geworden, dass man es kaum noch bemerkt: EU für „Europäische Union“, USA für „United States of America“, UNO für „United Nations Organization“. Dass solche Abkürzungen schon in der Antike in Gebrauch waren, erkennen wir zum Beispiel an der Abkürzung S.P.Q.R. für das lateinische „Senatus Populusque Romanus“ („Senat und römisches Volk“). Es war das Hoheitszeichen des antiken Rom und findet sich heute noch im Wappen der Stadt. Was zeigt das Wappen von Rom? E 111 Worum geht es in diesem Abschnitt? • Aufstellen von Termen, Formeln und Gleichungen • Lösen von Gleichungen durch Umkehroperationen • Umformen von Gleichungen und Formeln • Textaufgaben Die Unbekannte x François Viète (1540–1603, Bild links), der sich Franciscus Vieta nannte, übernahm die Symbolik des Leonardo da Pisa. Für Zahlen, von denen er von vornherein wusste, wie groß sie sind, verwendete er die ersten Buchstaben des Alphabets, also a, b, c,…, für noch unbekannte Zahlen verwendete er die letzten Buchstaben, vorzugsweise x, y, z. Eine typische mathematische Fragestellung war: „Wenn man zu einer unbekannten Zahl 32 addiert, erhält man 120. Wie lautet die Unbekannte?“ Vieta fasste den Sachverhalt in Form einer Gleichung zusammen: x + 32 = 120. Aus dieser Gleichung kann die Unbekannte x durch eine Umkehroperation gewonnen werden: x = 120 – 32 w x = 88. Vieta behauptete darüber hinaus, dass dieses Lösungsverfahren immer so funktioniert, auch wenn statt 32 und 120 irgendwelche Zahlen a und b stehen. Aus der Formel x + a = b ergibt sich: x = b – a. Somit können beliebig viele Gleichungen mit einer einzigen Formel aufgeschrieben werden. Die Zeichen sind Platzhalter für Ziffern. Gleiche Zeichen entsprechen gleichen Ziffern. Kannst du die Symbole entschlüsseln? 8 3 = + 3 = = + – – – + Online Codes zu Videos, Übungen und Arbeitsblättern. Inhalte des Abschnitts Spielerischer Abschluss der Einstiegsseite Quick Media App für Videos Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
7 … Entdecken, Probieren und Knobeln. Deswegen wirst du viele interessante Denksportaufgaben und ein paar harte Nüsse im Buch entdecken. Denksportaufgaben sind mit gekennzeichnet und herausfordernde Aufgaben und der Erweiterungsstoff mit . … ein Werkzeug im Alltag. Deswegen findest du interessante Aufgabenstellungen in diesem Buch, die sich aus Informationstexten ergeben. Da oft im Alltag nicht ganz eindeutig ist, welche Information man eigentlich zum Lösen eines Problems braucht, musst du den Text und die Fragestellung genau durchlesen. Aufgaben, die diese Problematik aufgreifen, sind mit gekennzeichnet. … strukturiertes Denken. Deswegen ist auch dieses Buch ganz klar aufgebaut. Am Anfang jedes Kapitels erwartet dich ein kurzer Einstieg, bei dem du auch selbst aktiv wirst. Dann wird das grundlegende Wissen dieses Kapitels vermittelt und in einem Merkkasten zusammengefasst. Beispiele helfen dir beim Anwenden des Wissens und beim Lösen der Aufgaben. Tipps unterstützen dich gezielt beim Lösen der Aufgaben. Damit du alle Inhalte eines gesamten Abschnitts nochmals wiederholst, findest du am Ende die Aufgabensammlung Vernetzte Aufgaben und eine Zusammenfassung. Die anschließende Wissensstraße fasst die Lernziele zusammen und bietet Aufgaben, um diese zu erreichen und zu überprüfen. Wir wünschen dir viel Freude an der Mathematik und mit unserem Buch! 18 5cv2s5 engl. AB Vernetzte Aufgaben 1 B O M DI B DI 2 B O M DI 3 B O M DI 4 B O M DI 5 B O M DI Zusammenfassung 19 Lernziele: Ich kann … Wissensstraße Wissensstraße Z 1: Z 2: Z 3: Z 4: Z 5: 6 Z 4 B O M DI 7 Z 2 B O M DI 8 Z 2 Z 3 B O M DI 9 Z 2 B O M DI 10 Z 2, Z 3, Z 4 B O M DI 11 Z 4 B O M DI 12 Z 4 B O M DI 13 Z 5 B O M DI 14 Z 5 Hier findest du Aufgaben, die den gesamten Abschnitt wiederholen oder auch verschiedene Abschnitte miteinander verbinden. Die Aufgabenstellung gilt hier für mehrere Aufgaben Die Lernziele werden oben mit Z1, Z2, Z3, … bezeichnet und im Aufgabenbereich entsprechend geübt. Setze bei jenen Aufgaben, die du beherrscht, ein Häkchen. In der Zusammenfassung findest du die gesamte Theorie des Abschnitts. Beispiel Skonto Dabei handelt sich um einen Preisnachlass, der bei Bezahlung innerhalb einer Frist gewährt wird. Natürliche Zahlen, die nur 1 und sich selbst als Teiler (unechte Teiler) haben, heißen Primzahlen. Die Zahl 1 wird nicht zu den Primzahlen gezählt. Thema des Merkkastens Beginne zuerst durch „kleine“ Primzahlen wie 2, 3, 5 usw. zu dividieren! Tipp Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Mathematische Zeichen 8 Symbole und Zeichen Zeichen: ℕ = {0, 1, 2, 3 …} Menge der natürlichen Zahlen ℕu = {1, 3, 5 …} Menge der ungeraden natürlichen Zahlen ℕg = {0, 2, 4, 6 …} Menge der geraden natürlichen Zahlen { } oder Ø leere Menge = ist gleich * ist Element von, gehört zu ≠ ist nicht gleich, ungleich + ist kein Element von, gehört nicht zu < kleiner als u parallel ≤ kleiner gleich, höchstens gleich û nicht parallel > größer als © rechtwinklig zu, normal auf ≥ größer gleich, mindestens gleich ¾ rechter Winkel ≈ rund, etwa, angenähert gleich AB Strecke AB š entspricht __ AB Länge der Strecke AB ¼ ABC Winkel zwischen AB und BC ¼ ab Winkel zwischen a und b | teilt, ist Teiler von ... % Prozent ~ teilt nicht, ist kein Teiler von... ‰ Promille w daraus folgt É ist äquivalent zu Abkürzungen: Ü Überschlagsrechnung ggT größter gemeinsamer Teiler w. A. wahre Aussage P Probe kgV kleinstes gemeinfaches Vielfaches f. A. falsche Aussage Symbole: * Diese Aufgabe bezieht sich auf ein bestimmtes Übergreifendes Thema des Lehrplans. Lies genau bei dieser Aufgabe! Du lernst dabei zu beachten, welche Angaben zur Lösung einer Aufgabe wichtig sind. schwierige, herausfordernde Aufgabe, Erweiterungsstoff Denksportaufgabe zum Knobeln Hake die Aufgabe in der Wissensstraße ab, die du richtig gelöst hast. Dieses Symbol gibt die passende Seite im Arbeitsheft an. Damit wird angezeigt, welche der Prozesse (Operieren, Rechnen, Konstruieren; Modellieren, Problemlösen; Darstellen, Interpretieren; Vermuten, Begründen) in der Aufgabe behandelt werden. Modellieren meint das Bearbeiten außermathematischer Aufgabenstellungen mit Hilfe von Mathematik. Problemlösen meint das Bearbeiten innermathematischer Aufgabenstellungen, die für Schülerinnen und Schüler keine Routineaufgaben sind, insbesondere, wenn ihnen (noch) kein passendes Lösungsverfahren bekannt ist. Operieren meint das Durchführen von Rechen- oder Konstruktionsabläufen. Rechnen meint das Durchführen von Rechenoperationen mit konkreten Zahlen (auch Abschätzen von Größenordnungen) ebenso wie das Umformen algebraischer Ausdrücke und das Lösen von Gleichungen. Konstruieren meint das regelhafte Erstellen von Bildern geometrischer Objekte. P Menge der Primzahlen Z = {…, ‒2, ‒1, 0, 1, 2, …} Menge der ganzen Zahlen Z + = {1, 2, 3 , …} Menge der positiven ganzen Zahlen Z – = {…, ‒2, ‒1} Menge der negativen ganzen Zahlen B O M DI B O M DI B O M DI weiterführende Materialien kx4up3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
9 Online-Code Hier gibt es eine Online-Ergänzung. Der Code führt direkt zu den Inhalten. Im Digitalen Zusatzmaterial befinden sich Videos, Technologieanleitungen, interaktive Übungen und Arbeitsblätter. www.oebv.at Suchbegriff / ISBN / SBNr / Online-Code Suchen 1. Scanne den QR-Code (unten) und lade die App auf dein Smartphone oder dein Tablet. 2. Scanne deinen Buchumschlag oder wähle dein Schulbuch in der App-Medienliste aus. 3. Scanne eine mit gekennzeichnete Buchseite oder wähle ein Audio/Video aus der App-Medienliste aus. 4. Spiele das Audio/Video ab. öbv QuickMedia App Android iOS B O M DI Darstellen meint das verbale, grafische, tabellarische oder algebraische Beschreiben inner- und außermathemati-scher Sachverhalte und umfasst auch den Wechsel zwischen solchen Darstellungsarten. Interpretieren meint das Entnehmen von Informationen aus verbalen, grafischen, tabellarischen oder algebraischen Darstellungen und das Deuten im jeweiligen Kontext. Vermuten meint das Aufstellen von Hypothesen aufgrund von Beobachtungen und steht häufig am Beginn eines Begründungsprozesses Begründen meint das Anführen von Argumenten bzw. das Bilden von Argumentationsketten, um eine Vermutung bzw. Behauptung zu bestätigen oder zu widerlegen. Die mathematische Kompetenz der Schülerinnen und Schüler zeigt sich in der Fähigkeit, diese Handlungen im Rahmen der zentralen fachlichen Konzepte durchführen zu können. Übergreifende Themen Das Ziel der übergreifenden Themen ist die fächerübergreifende Kompetenzentwicklung sowie das vernetzte Lernen der Schülerinnen und Schüler über die fachspezifischen Grenzen hinaus zu unterstützen und mit gesellschaftlich relevanten aktuellen Themen zu verbinden. Insgesamt werden 13 übergreifende Themen im neuen Lehrplan genannt, wobei drei davon nicht verpflichtend für den Mathematiklehrplan sind • Entrepreneurship Education, • Informatische Bildung, • Interkulturelle Bildung, • Medienbildung, • Politische Bildung, • Reflexive Geschlechterpädagogik und Gleichstellung, • Sprachliche Bildung und Lesen, • Umweltbildung für nachhaltige Entwicklung, • Verkehrs- und Mobilitätsbildung, • Wirtschafts- Finanz- und Verbraucher/ innenbildung Ausgenommen vom Fachlehrplan Mathematik sind: • Bildungs-, Berufs- und Lebensorientierung, • Gesundheitsförderung, • Sexualpädagogik B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wiederholung 10 Wiederholung Die Schülerinnen und Schüler der 2C-Klasse erzählen zu Schulbeginn, wo sie ihre Ferien verbracht haben. Berechne und suche die Lösung in der Tabelle unten! So kannst du herausfinden, welches Kind in welcher Stadt war. Ergänze die zugehörigen Länder in der Tabelle! 1) Lucia: 67 + 352 – 38 + 23 = 2) Robin: 5·48 + (87 – 24)3 = 3) Kyril: 34·12 + 16·12 = 4) Leonora: (43 + 49)·11 – 4564 = Lösung 386 404 600 261 632 898 Stadt Sofia Dublin Stockholm Warschau Madrid Rom Land In der Tabelle siehst du die Entfernungen einzelner Städte von Wien. a) Runde die Entfernungen auf Hunderter genau! b) Ordne die Städte nach ihrer Entfernung von Wien! Beginne mit der nächstgelegenen Stadt! Ist die Reihenfolge für die Luftlinie gleich der Reihenfolge für die Autostrecke? c) Berechne pro Stadt die durchschnittliche Entfernung von Wien! Verwende die gerundeten Angaben! Stadt Entfernung in km (Luftlinie) Entfernung mit dem Auto in km Rom 765,3 ≈ 1 133,6 ≈ Madrid 1 809,2 ≈ 2 422,9 ≈ Warschau 555,4 ≈ 669,5 ≈ Stockholm 1 241,7 ≈ 1 702,0 ≈ Dublin 1 682,4 ≈ 2 107,1 ≈ Sofia 817,4 ≈ 1 119,8 ≈ Lucia erzählt: „Unser Abflug nach London war für 1305 Uhr in Wien geplant und wir sollten um 1425 Uhr Ortszeit landen. Allerdings hatte der Flug 45 Minuten Verspätung, weil ein Passagier nicht gekommen ist. Zum Glück hatten wir Rückenwind, so konnten wir 12 Minuten einsparen.“ a) Berechne die geplante Flugdauer! b) Um wie viel Uhr ist Lucias Familie tatsächlich gelandet? Bemerkung: Beachte die Zeitverschiebung von einer Stunde (nach hinten)! AH S. 4 1 B O M DI Denke an Klapustri und vorteilhaftes Rechnen! Tipp B O M DI 2 Steht 0, 1, 2, 3, 4 an der entscheidenden Stelle ➞ abrunden Steht 5, 6, 7, 8, 9 an der entscheidenden Stelle ➞ aufrunden Tipp B O M DI 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wiederholung 11 Von seiner Reise nach Bulgarien hat Paul für seine Freunde verschiedene Geschenke mitgebracht: eine Kette um 18,90 Leva, ein Spiel um 24,30 Leva und ein Taschenmesser um 19,40 Leva. Wie viel Euro hat Paul für Geschenke ausgegeben? (1 Lev = 0,51 Euro, Stand: Dezember 2023) Wo war Nathalie auf Urlaub? Ordne die Ergebnisse vom kleinsten zum größten! Die Buchstaben ergeben in dieser richtigen Reihenfolge den Urlaubsort. L 0,12·300 = E 0,12·100 = I 1 200·0,001 = A 12·0,3 = A 0,012·3 = R 1230 = L 1200,01 = M 1,2100 = Z 1,20,3 = Lösungswort: _ _ _ _ _ _ _ _ _ Setze in die Lücke das fehlende Wort bzw. die fehlende Zahl ein! In der richtigen Reihenfolge ergibt sich von hinten nach vorne gelesen der Name von Stephanies Reisebegleitung! 1) Die der beiden Summanden 65,73 und 892,34 ergibt . 2) Wenn man 234,6 durch 3 dividiert, ist der . 3) Das Produkt der beiden 89 und 13,4 ergibt . 4) Der beträgt 1 833,6 und der Subtrahend beträgt 723,9. Die beträgt also . O Dividend R 78,2 N 958,07 A Faktoren S Divisor T Minuend I Quotient K 1 109,7 A Differenz L Multiplikand A Summe H 1 192,6 Lösungswort: _ _ _ _ _ _ _ _ _ a) Erstelle eine Häufigkeitstabelle, wie lange die Kinder jeweils auf Urlaub waren! b) Berechne die durchschnittliche Urlaubsdauer! 4 B O M DI 5 B O M DI Multiplikation mit 10, 100, 1 000, … ➞ Komma rückt 1, 2, 3,… Stellen nach rechts Multiplikation mit 0,1, 0,01, 0,001, …➞ Komma rückt 1, 2, 3,… Stellen nach links Division durch 10, 100, 1 000, … ➞ Komma rückt 1, 2, 3,… Stellen nach links Division durch 0,1, 0,01, 0,001, … ➞ Komma rückt 1, 2, 3,… Stellen nach rechts Tipp 6 B O M DI Kinder Urlaubstage 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 0 Kyril Paul Lucia Robin Leonora Stefanie Durchschnittliche Urlaubsdauer = Summe der Einzelwerte dividiert durch die Anzahl dieser Einzelwerte Tipp 7 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wiederholung 12 Nachdem alle Kinder ihre Urlaubsgeschichten erzählt haben, bespricht der Klassenvorstand mit der Klasse die Informationen für das kommende Schuljahr. Die 2C-Klasse hat in diesem Schuljahr 30 Schulstunden pro Woche. 2 _ 5 der Stunden sind Schularbeitsfächer. 1 __ 10 der Stunden verbringt die Klasse im Turnsaal. 1 __ 15 aller Stunden hat die Klasse Biologie. 1 Stunde haben sie Physik. 5 Stunden haben sie künstlerische Fächer. a) Wie viele Wochenstunden hat die Klasse 1) Schularbeitsfächer, 2) Sport und 3) Biologie? b) Welcher Bruchteil der Gesamtstundenzahl entfällt auf 1) Physik, 2) die künstlerischen Fächer? Ordne die Bruchzahlen der Größe nach! Die Reihenfolge ergibt die Reihung von Nathalies Lieblingsfächern. Beginne mit dem Lieblingsfach (größte Bruchzahl)! Geografie und wirtschaftliche Bildung 7 __ 12 Musik 2 _ 3 Bewegung und Sport 1 _ 2 Technik und Design 5 __ 12 Englisch 5 _ 6 Mathematik 3 _ 4 Ordne die gleichwertigen Brüche einander zu! Die Buchstaben ergeben in der richtigen Reihenfolge ein Schulfach. Wähle jeweils aus den zwei rechts stehenden Ergebnissen aus! 1 3 _ 5 E 12 __ 10 G 12 __ 20 2 38 __ 14 T 2 2 _ 7 E 19 __ 7 3 3 S 9 _ 3 H 3 _ 3 4 1,4 R 1 C 14 __ 10 5 3 ___ 200 H 12 ___ 800 I 0,15 Lösungswort: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 6 99 __ 8 H 33 __ 4 I 12 3 _ 8 7 14 __ 12 C 1 1 _ 6 P 1 3 _ 4 8 1,75 S 14 __ 2 H 7 _ 4 9 12 __ 16 T 3 _ 4 E 4 _ 5 10 15 __ 5 G 1,5 E 3 Löse durch Probieren die folgenden Gleichungen, dann erfährst du, worauf sich die 2C-Klasse dieses Schuljahr besonders freut! 1) 34 – x = 19 3) 12·u = 78 5) n – 23,5 = 14,8 7) 32 – 6·c = 17 2) k + 26 = 51 4) 19,5 + m = 21,7 6) 24z = 48 R A K S M I S K U L 0,5 2 2,2 2,5 6 6,5 15 25 38,3 53 Lösungswort: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 8 B O M DI B O M DI 9 10 B O M DI Bringe auf gleichen Nenner! Tipp B O M DI 11 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wiederholung 13 Im neuen Schuljahr gibt es auch eine neue Sitzordnung. Finde die jeweiligen Sitznachbarn, indem du die gleichen Werte und damit die Namen einander zuordnest! Lucia 3 km 5 m Clara: 3 500 m Susanne: 3 050 Mia: 3 005 m Paul 450 g Ruben: 4,5 kg Yannick: 0,45 kg Tobi: 4,05 kg Stephanie 702 mm Mateo: 7dm 2 mm Felix: 0,72 m Sascha: 7,2 m Robin 3 kg 4 dag Viktor: 340 g Dominic: 0,00304 t Nino: 3,4 kg Leonora 23 dm Valerie: 0,23 m Kübra: 2,3 cm Lotta: 2 300 mm Kyril 23,4 dag Anouk: 2,34 kg Anna: 234 g Hugo: 0,234 t Nach drei Wochen findet die Klassensprecherwahl statt. Es gibt fünf Kandidatinnen und Kandidaten. 24 Kinder dürfen mitstimmen. Mateo erhält ein Viertel aller Stimmen, Felix ein Sechstel der Stimmen. Anouk erhält um eine Stimme mehr als Felix, aber um zwei Stimmen weniger als Hugo. Kübra erhält die restlichen Stimmen. 1) Vervollständige die Tabelle und das Diagramm! 2) Wer hat die meisten Stimmen erhalten? Name Anzahl der Stimmen Mateo Felix Anouk Hugo Kübra In der Klassenkassa sind vom letzten Jahr noch 5,90 Euro übrig geblieben. Der Ausflug zu Schulbeginn kostet für die Klasse 66 Euro und die große Uhr für die neue Klasse kostet 19,90 Euro. 1) Wie viel Euro muss jedes der 24 Kinder in die Klassenkasse einzahlen, damit die Ausgaben gedeckt sind? 2) Wie viel Euro muss jedes der 24 Kinder einzahlen, damit noch 100 Euro für weitere Ausgaben vorhanden sind? 12 B O M DI 13 * B O M DI * Politische Bildung Name Anzahl der Stimmen Klassensprecherwahl 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 Mateo Felix Anouk Hugo Kübra 14 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wiederholung 14 Während der Ferien wurde in der Schule einiges erneuert und ausgebessert. Bei einem Rundgang am Ende des ersten Tages begutachtet die Klasse die neuen Einrichtungen in der Schule. Auf dem Schulgelände wurde ein neuer Beachvolleyballplatz errichtet. Das eigentliche Spielfeld ist 8 m mal 16 m groß. Rund um das Spielfeld ist jedoch noch ein 3 m breiter Sicherheitsstreifen. 1) Fertige eine Skizze im Maßstab 1200 an! 2) Berechne den Flächeninhalt des Spielfeldes sowie des gesamten Beachvolleyballplatzes! 3) Das Spielfeld ist mit einem blauen Markierungsband begrenzt. Wie lang muss dieses Band sein? 4) Der Sand soll etwa 45 cm hoch sein. Wie viel Kubikmeter Sand braucht man für den gesamten Platz? 5) Der Sand war in 10 kg-Säcken zu je 6,5 Liter verpackt. Wie viele Säcke mussten geliefert werden, damit ausreichend Sand vorhanden war? Die Schule hat außerdem neue Fenster bekommen. Die Größe der Fensterfläche sollte etwa ein Fünftel der Grundfläche eines Klassenzimmers betragen. Das Klassenzimmer der 2C-Klasse ist 9,3 m lang und 6,8 m breit. Wie viel Quadratmeter ist die neue Fensterfläche größer als die vorherige, wenn diese nur rund ein Sechstel der Grundfläche betrug? Im Schulhof steht ein neuer Springbrunnen. Er wurde aus mehreren Steinwürfeln zusammengesetzt. Ein Würfel hat eine Seitenlänge von 30 cm. 1) Aus wie vielen Würfeln besteht der Brunnen? 2) Berechne die Gesamtmasse des Brunnens, wenn 1 m3 ein Masse von 1 460 kg hat! 3) Die Würfel des Brunnens sollen von unten nach oben in den Schulfarben gelb, orange und rot gestrichen werden. Wie groß ist die jeweilige Oberfläche, die zu bemalen ist? Die Klasse hat für dieses Schuljahr ein Aquarium besorgt. Das Aquarium ist 5 dm lang, 4 dm breit und 3,5 dm hoch. 1) Wie viel Liter Wasser sind zur Füllung erforderlich? 2) Wie viel Kilogramm hat diese Wassermenge? Rechteck Quadrat Tausenderschritte u = 2·(a + b) A = a·b Quader O = 2·(a·b) + 2·(a·c) + 2·(b·c) V = a·b·c u = 4·a A = a·a Würfel O = 6·a·a V = a·a·a 1 000 1 000 m3 · · dm3 · · cm3 · hl · l dl cl ml 100 10 10 10 Hunderterschritt Zehnerschritte Tipp B O M DI 15 16 B O M DI 17 B O M DI Nicht alle Würfel sind sichtbar, hinter den Würfeln sind aber auch keine „Löcher”. Tipp B O M DI 18 1 Liter Wasser = 1 kg Tipp Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wiederholung 15 Elf Mädchen der Klasse haben Kärtchen mit unterschiedlichen Rauminhalten bekommen. Bei einem Gruppenspiel sollen sie sich so in einer Reihe aufstellen, dass die Kärtchen vom kleinsten bis zum größten Wert geordnet sind. Schreibe die Namen in der richtigen Reihenfolge auf! Lucia: 3 dm3 Leonora: 236 dm3 Anouk: 36 cm3 Kübra: 28 dm3 Stephanie: 1 470 cm3 Anna: 563 cm3 Lotta: 3 400 cm3 Valerie: 3 cm3 Mia: 10 cm3 Susanne: 134 dm3 Clara: 56 000 cm3 Beim Schulbuffet gibt es eine frische, ganze Torte. Einige Schülerinnen und Schüler kaufen sich ein Stück. Adrian Maria Anna Michi 1) Schätze die Zentriwinkel der vier Tortenstücke! 2) Wie groß ist der Zentriwinkel des verbleibenden Tortenstückes ungefähr? Beim Buffet kann man sich als neues Angebot sein Jausenweckerl selbst zusammenstellen. Man hat die Wahl zwischen Putenschinken/ohne Schinken, Feta/Emmentaler/Mozzarella bzw. Gurke/Tomaten. 1) Vervollständige das Baumdiagramm und beschrifte es mit geeigneten Abkürzungen! 2) Gib die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten an! Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten: 1) Zeichne den Grundriss der Kantine im Maßstab 150 in dein Heft! 2) Zeichne die folgenden Einrichtungsgegenstände auf ein Blatt Papier, schneide sie aus und lege sie so auf, dass sie alle auf deinen Plan passen! Sechs runde Tische mit 1,20 m Durchmesser, zwei rechteckige Tische mit einer Länge von 2 m und einer Breite von 1 m, drei Blumentöpfe mit einem Durchmesser von 60 cm, die auf quadratischen Rollwägen mit einer Kantenlänge von 70 cm stehen. 19 B O M DI 20 B O M DI 21 B O M DI 22 B O M DI 1 m 2,50 m 8,50 m 6 m 4 m Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Teilbarkeit A 16 kx9h4j Video Teilbarkeit Primzahlen – Bausteine der Mathematik Was für die Stoffe in der Natur zutrifft, gilt auch für die natürlichen Zahlen in der Mathematik. Auch die Zahlen setzen sich aus „Urbausteinen“ zusammen. Will man die Entstehung der Zahlen mit Hilfe der Multiplikation erreichen, so lässt man zunächst einmal die Zahlen 0 und 1 weg. Das erste eigentliche „Element“ ist die Zahl 2. Aus ihr entstehen der Reihe nach die Zahlen 2, 2 ∙ 2 = 4, 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8, usw. Auf diese Weise erhält man aber noch lange nicht alle Zahlen. Die nächste kleinste Zahl, die in dieser Liste fehlt, ist 3, dann 5 und 7. Diese „Elemente“ im Zahlenreich nennt man in der Mathematik Primzahlen. Gold oder Silber sind unzerlegbare Elemente, so wie Primzahlen unzerlegbare Zahlen sind. Sie haben nur 1 und sich selbst als Teiler. Und das, was in der Chemie „chemische Verbindungen“ heißt, nennt man in der Mathematik „zusammengesetzte Zahlen“. Das sind Zahlen, die sich als Produkte zweier oder mehrerer Primzahlen schreiben lassen. In der Antike erfand der große Gelehrte Eratosthenes ein Verfahren, wie man Primzahlen aus der großen Anzahl der natürlichen Zahlen „aussieben“ kann. (➞ S. 30) Eratosthenes von Kyrene um 284–202 vor Chr. Chemische Elemente – Bausteine der Materie Alchemie war im Mittelalter und am Beginn der Neuzeit eine höchst geheime und von Kaisern und Königen sehr begehrte „Wissenschaft“. Denn die Alchemisten beschäftigten sich mit der Kunst, Stoffe zu verwandeln. Eines ihrer Ziele war, aus unedlen Metallen Gold herzustellen. Der erste große Kritiker der Alchemie war der irische Naturforscher Robert Boyle (1627–1691). Er hatte erkannt, dass in der Natur elementare Grundstoffe existieren, die nicht chemisch erzeugt werden können. Diese Urstoffe nannte er Elemente. Für ihn war klar, dass die Versuche, aus Blei oder Quecksilber Gold zu machen, zum Scheitern verurteilt waren. Denn Gold ist so ein Grundstoff, also ein Element. Andere Stoffe, wie zB Wasser, sind keine Elemente, sondern chemische Verbindungen, sie haben andere Urstoffe als „Bestandteile“. Wasser besteht zB aus Wasserstoff und Sauerstoff. Die Alchemisten wollten Gold erzeugen, da Gold sehr wertvoll war. Ein Kilogramm hatte den Wert eines großen Hauses. Hat sich das geändert? Was erhält man heute um ein Kilogramm Gold? Schätze und kreuze an! A B C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
A 17 Worum geht es in diesem Abschnitt? • Teiler und Vielfache • größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches zweier oder mehrerer Zahlen • Teilbarkeitsregeln • Summen- und Produktregel zum Erkennen von Teilbarkeiten • Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen Zusammengesetzte Zahlen Ein Beispiel für eine zusammengesetzte Zahl ist 60, denn 60 kann als Produkt von Primzahlen geschrieben werden: 60 = 2·2·3·5. Es ist nicht einfach, große zusammengesetzte Zahlen und große Primzahlen zu unterscheiden. Auch ist es mühsam, die Primzahlen zu finden, aus denen sich eine große zusammengesetzte Zahl bilden lässt. So hat vor 300 Jahren Leonhard Euler zum Beispiel entdeckt, dass sich die riesige Zahl 4 294 967297 in das Produkt der Primzahlen 641 und 6700 417 zerlegen lässt. Die erst im Jahr 2018 gefundene, bisher größte Primzahl hat knapp 25 Millionen Stellen und würde fast 13 000 A4-Seiten füllen. So große Zahlen können natürlich nur mehr mit dem Einsatz von Computern gefunden werden. Wenn man allerdings glaubt, dass die Beschäftigung mit Primzahlen nur eine mathematische Spielerei ist, irrt man. Heute sind Primzahlen ein wichtiges Hilfsmittel zur Verschlüsselung beim Übertragen von Daten im Internet und im Bankwesen. Nur mit Hilfe von Computern können so große Primzahlen gefunden werden. Zufälligerweise stimmt die Anzahl der Primzahlen von 1 bis 100 einschließlich der Zahl 1 mit der Anzahl der Buchstaben in unserem Alphabet überein: 1…A 2…B 3…C 5…D 7…E 11…F 13…G 17…H 19…I 23…J 29…K 31…L 37…M 41…N 43…O 47…P 53…Q 59…R 61…S 67…T 71…U 73 … V 79 … W 83 … X 89 … Y 97 … Z Damit hast du eine Geheimschrift mit Primzahlen in der Hand. Was heißt: 1 31 3 17 7 37 19 7? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
18 Teilbarkeit A 1 1.1 Teiler und Teilermenge Hanna besucht ihre Großeltern. Vom Apfelbaum im Garten pflückt sie 24 Äpfel. Hanna möchte die Äpfel schön auf einem Tisch auflegen. Sie kann: 1 Reihe mit 24 Äpfeln auflegen oder 2 Reihen mit Äpfeln oder 3 Reihen mit Äpfeln oder Reihen mit Äpfeln. Die Zahlen 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 und 24 heißen Teiler der Zahl 24, weil sie diese Zahl ohne Rest teilen. Die Teiler kann man in der Teilermenge zusammen und auf zwei Arten darstellen: als Mengendiagramm in Mengenschreibweise 1 2 3 4 6 8 12 24 T24 T 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Bemerkung: In diesem Abschnitt sprechen wir immer nur von natürlichen Zahlen ≠ 0. Diese werden hier als Zahlen bezeichnet. Die Zahl Null ist einerseits durch jede andere Zahl „teilbar“. Andererseits darf durch Null nicht dividiert werden. Daher wird die Zahl Null in diesem Abschnitt „ausgeschlossen“. Schreibe die Teilermenge auf! a) T12 b) T35 c) T23 d) T42 e) T96 f) T61 g) T70 h) T100 Wie viele Teiler hat die gegebene Zahl? Stelle die Teiler in einem Mengendiagramm dar! a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 f) 18 g) 21 h) 25 Teilbar oder nicht? Verwende den Sprachbaustein, um die Textangaben in mathematische Sprache zu übersetzen! a) Melanie will 15 Muffins auf drei Kinder aufteilen. b) Elias will 30 Würfel auf sechs Becher verteilen. c) Celina will 33 Kirschen in fünf Gläser aufteilen. d) Marco will 36 Spielkärtchen auf fünf Stapel verteilen. interaktive Vorübung ky2c9m AH S. 11 Eine Zahl t ist ein Teiler der Zahl a, wenn man a durch t ohne Rest dividieren kann. Wir schreiben t ! a. Wenn eine Zahl a nicht durch t ohne Rest teilbar ist, schreiben wir t ~ a. Jede Zahl a ≥ 2 hat mindestens zwei Teiler: Die Zahl 1 ist ein Teiler von a: 1 ! a und jede Zahl a teilt sich selbst: a ! a. 1 und die Zahl a selbst nennt man unechte Teiler der Zahl a, alle übrigen Teiler heißen echte Teiler. Man kann alle Teiler in einer Teilermenge zusammenfassen. Teiler und Teilermenge t 1 a: „t teilt a.“ „t ist ein Teiler von a.“ t ~ a: „t teilt a nicht.“ „t ist kein Teiler von a.“ Sprachbaustein B O M DI 23 24 B O M DI 25 * B O M DI * Sprachliche Bildung und Lesen 1 Teiler und Vielfache Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
19 A 1 Teiler und Vielfache Setze das richtige Zeichen ! bzw. ~ ein! a) 4 36 c) 3 35 e) 12 48 g) 21 121 i) 25 625 b) 8 82 d) 7 84 f) 25 25 h) 16 80 j) 16 144 Überprüfe durch Dividieren, ob die Zahlen a) 2, b) 5, c) 6, d) 9, e) 12, f) 15 g) 385, h) 1 260 Teiler von 13 860 sind! Verwende ! bzw. ~, um dies anzugeben! a) Gib jeweils drei Zahlen an, die 1) durch 2, 2) nicht durch 2 teilbar sind! b) Gib jeweils drei Zahlen an, die 1) durch 5, 2) nicht durch 5 teilbar sind! c) Gib jeweils drei Zahlen an, die 1) durch 10, 2) nicht durch 10 teilbar sind! Hannas Großvater möchte in seinem Garten 36 Apfelbäume pflanzen. Diese Apfelbäume sollen in Reihen mit jeweils gleich vielen Bäumen angeordnet werden. Welche Möglichkeiten hat Hannas Großvater, die Bäume anzuordnen? Emma hat a) 8, b) 12, c) 16, d) 25, e) 50, f) 100, g) 80, h) 120 gleich große würfelförmige Bausteine. Wie viele Möglichkeiten hat Emma, mit diesen Würfeln gleich hohe Türme zu bauen, indem sie einzelne Würfel übereinander stapelt? a) Welche Zahl der oberen Randzeile ist durch welche Zahl der linken Randspalte teilbar? Setze in der Tabelle an den entsprechenden Stellen das Teilbarkeitszeichen ! ! Zeile 1 und 2 der Tabelle sind bereits ausgefüllt. b) Überlege und begründe! 1) Warum ist jedes Feld in der Diagonale von links oben nach rechts unten markiert? 2) Warum ist jedes Feld in der ersten Zeile markiert? 1) Überprüfe, ob die Zahlen 258 258 und 715715 durch die Zahlen 7, 11 und 13 teilbar sind! 2) Wähle zwei weitere 6-stellige Zahlen, in denen die ersten drei Ziffern genau so lauten wie die letzten drei, und überprüfe ihre Teilbarkeit durch 7, 11 und 13! 3) Multipliziere zuerst 7, 11 und 13 miteinander! Multipliziere das Ergebnis mit einer beliebigen 3-stelligen Zahl! Was kannst du daraus schließen? Besondere Zahlen a) Zeige, dass 220 und 284 befreundete Zahlen sind (➞ Infobox)! b) Suche mit Hilfe des Internet nach weiteren befreundeten Zahlen! Wie viele vierstellige befreundete Zahlenpaare gibt es? a) Zeige, dass die Zahl 1) 6, 2) 28, 3) 496 eine vollkommene Zahl ist (➞ Infobox)! b) Wie viele vierstellige vollkommene Zahlen gibt es? Recherchiere! B O M DI 26 27 B O M DI 28 B O M DI 29 B O M DI B O M DI 30 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 31 * B O M DI * Sprachliche Bildung und Lesen 32 B O M DI Besondere Zahlen Befreundete Zahlen: Zwei Zahlen sind befreundet, wenn die Summe der Teiler der ersten Zahl (ausgenommen der Zahl selbst) die andere Zahl ergibt und umgekehrt. Vollkommene Zahl: Die Summe aller Teiler (ausgenommen die Zahl selbst) einer vollkommenen Zahl ergibt wieder die Zahl selbst. Bis heute ist unbekannt, ob es unendlich viele vollkommene Zahlen und befreundete Zahlenpaare gibt. 33 B O M DI B O M DI 34 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
20 Teilbarkeit A 1 1.2 Größter gemeinsamer Teiler Thomas möchte ein rechteckiges Blatt Papier (Länge 30 cm und Breite 20 cm) mit einem zweifärbigen, quadratischen Muster überziehen. Er stellt rasch fest, dass es viele Möglichkeiten dafür gibt: Quadratmuster 1 cm × 1 cm Quadratmuster 2 cm × 2 cm Quadratmuster 5 cm × 5 cm 30 Felder 20 Felder 15 Felder 10 Felder 5 Felder 4 Felder Thomas bemerkt, dass es sich bei den möglichen Quadratlängen nur um gemeinsame Teiler der Rechteckseiten handeln kann. Um dies genauer zu untersuchen, schreibt er die Teilermengen auf: T 20 = { } bzw. T30 = { }. Die gemeinsamen Teiler von 20 und 30 unterstreicht er und schreibt T 20 ° T 30 = {1, 2, 5, 10}. Im Bild rechts sind die Teilermengen und die gemeinsamen Teiler in einem Mengendiagramm dargestellt. Unter den gemeinsamen Teilern zweier oder mehrerer Zahlen gibt es immer einen größten gemeinsamen Teiler (ggT), nämlich 10 – wir schreiben also ggT (20, 30) = 10. Unter den gemeinsamen Teilern ist immer die Zahl 1. Es gibt Zahlen, die nur 1 als gemeinsamen Teiler haben, zB 9 und 10: T9 = { 1, 3, 9 }, T 10 = { 1, 2, 5, 10 } w T 9 ° T 10 = {1} w ggT (9, 10) = 1. Solche Zahlen nennt man teilerfremd. 1) Wie lautet die Teilermenge jeder dieser Zahlen? 2) Wie lautet die Menge der gemeinsamen Teiler? 3) Wie lautet der größte gemeinsame Teiler? 4) Zeichne ein Mengendiagramm zur Ermittlung der Menge der gemeinsamen Teiler! a) 12 und 16 b) 10 und 20 c) 17 und 19 d) 18 und 24 e) 36 und 48 Bestimme die gemeinsamen Teiler und den ggT! a)T 35 ° T 40 b)T 30 ° T 50 c) T 25 ° T 28 d) T 12 ° T 36 e) T48 ° T96 1 2 3 4 5 6 10 20 30 15 T20 T20 T30 T30 ° Der größte gemeinsame Teiler zweier oder mehrerer Zahlen hat folgende Eigenschaften: 1. Er teilt diese Zahlen. 2. Unter den gemeinsamen Teilern dieser Zahlen ist er der größte. Größter gemeinsamer Teiler (ggT) 35 B O M DI 36 B O M DI Beispiel T 10 ° T 15 = ? w T 10 = { 1, 2, 5, 10 }, T 15 = { 1, 3, 5, 15 }, T 10 ° T 15 = {1, 5}; ggT (10,15) = 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
21 A 1 Teiler und Vielfache Wie lautet der größte gemeinsame Teiler? Ermittle diesen durch Kopfrechnen! a) 7, 21 c) 5, 13 e) 48, 80 g) 25, 100 i) 60, 100 b) 12, 36 d) 7, 9 f) 32, 33 h) 35, 45 j) 21, 105 Wie lautet der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 17 und 55? Kreuze an! A 1 B 2 C 3 D 9 E 17 Alexander hat in seinem Garten 54 Äpfel und 36 Birnen gesammelt. Er möchte ausschließlich gleiche Pakete für seine Freunde zusammenstellen. Wie muss er die Pakete zusammenstellen, damit er möglichst viele gleiche Pakete hat? Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen ist 5. Eine der beiden Zahlen ist 25. Wie groß ist die andere Zahl? Gibt es mehrere Möglichkeiten? Begründe! Bestimme den größten gemeinsamen Teiler der gegebenen Zahlen! a) 16, 36, 52 c) 45, 60, 70 e) 64, 128, 256 g) 9, 11, 14 i) 72, 84, 96 b) 24, 40, 56 d) 78, 156, 208 f) 36, 60, 180 h) 110, 200, 250 j) 88, 138, 228 In einem Kübel befinden sich 16 Liter, in einem anderen Kübel 12 Liter Wasser. Das Wasser beider Kübel soll in je gleich große Messgefäße umgefüllt werden, sodass diese voll sind. Es stehen Messgefäße zu 1 Liter, 2 Liter, 3 Liter, 4 Liter und 5 Liter in beliebiger Anzahl zur Verfügung. 1) Welche Gefäße kommen in Frage? 2) Bei welchen Messgefäßen braucht man zum Umfüllen möglichst wenige Gefäße? Kreuze die teilerfremden Zahlenpaare an! A 12, 15 B 12, 14 C 12, 13 D 11, 12 E 10, 12 Gegeben sind zwei Zahlen und deren ggT. Gib eine mögliche dritte Zahl an, sodass sich der ggT nicht ändert! a) 6, 15; ggT = 3 b) 8, 22; ggT = 2 c) 10, 35; ggT = 5 Zu jedem Mengendiagramm links gibt es eine richtige Teilermenge. Ordne zu! 1 18 9 6 4 3 2 5 1 10 20 2 22 4 11 2 5 1 10 20 3 3 6 12 8 24 4 2 5 1 10 20 A T18 ° T20 = {1, 2} B T16 ° T20 = {1, 2, 4} C T22 ° T20 = {1, 2} D T28 ° T20 = {1, 2, 4} E T24 ° T20 = {1, 2, 4} B O M DI 37 B O M DI 38 39 B O M DI B O M DI 40* * Sprachliche Bildung und Lesen 41 B O M DI 16 l 3 l 2 l 4 l 5 l 1 l 12 l 42 B O M DI B O M DI 43 44 B O M DI B O M DI 45 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
22 Teilbarkeit A 1 1.3 Kleinstes gemeinsames Vielfaches Vielfache – Vielfachenmenge Natalie ist begeisterte Tennisspielerin. Tennisbälle gibt es im Handel auch in den abgebildeten 3er-Packungen. Wie viele Bälle sind in 1, 2, 3…, n solcher 3er-Packungen? Anzahl der 3er-Packungen 1 2 3 n Anzahl der Bälle 1·3 Das sind Vielfache von 3. Alle Vielfachen bilden die Vielfachenmenge von 3: V3 = {3, 6, , , , …}. Du kennst die Zahlen 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 unter dem Namen „Dreierreihe“. Jede Vielfachenmenge enthält unendlich viele Zahlen. Gemeinsame Vielfache – kleinstes gemeinsames Vielfaches Die Vielfachenmengen von 3 bzw. von 4 lauten: V3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,…} V4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36,…}. Die gemeinsamen Vielfachen schreiben wir als V3 ° V4 = {12, 24, 36,…} = {1·12, 2·12, 3·12, …}. Unter den gemeinsamen Vielfachen gibt es immer ein kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV). Wir schreiben: kgV (3, 4) = 12. Die Zahl Null wird von der Vielfachenmenge ausgeschlossen, da jedes Vielfache von Null gleich Null ist und somit jede Vielfachenmenge mit Null beginnen würde. Zusammenhang zwischen Teilern und Vielfachen Zum Beispiel: „4 ist Teiler von 28.“ ist gleichbedeutend mit „28 ist Vielfaches von 4.“ Das heißt „… ist Teiler von …“ ist die Umkehrung der Beziehung „… ist Vielfaches von …“. Schreibe die ersten fünf Vielfachen in einer Vielfachenmenge auf! a) 5 c) 9 e) 12 g) 100 i) 320 k) 536 m)764 o) 974 q) 2 500 b) 6 d) 11 f) 20 h) 125 j) 428 l) 689 n) 846 p) 1 000 r) 4 000 28 12 15 8 3 6 4 16 18 20 9 24 36… 21 27 30 V3 V3 ° V4 V4 33… 32… Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier oder mehrerer Zahlen hat folgende Eigenschaften: 1. Es ist Vielfaches jeder dieser Zahlen. 2. Unter den gemeinsamen Vielfachen dieser Zahlen ist es das kleinste. Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) Ist eine Zahl t Teiler der Zahl a, so ist die Zahl a Vielfaches der Zahl t. t ! a bedeutet a = t·n mit n = 1, 2, 3,… und umgekehrt. Zusammenhang zwischen Teilern und Vielfachen 46 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
23 A 1 Teiler und Vielfache Gegeben sind zwei Zahlen. Gib mindestens drei gemeinsame Vielfache an! a) 3 und 4 b) 9 und 15 c) 6 und 8 d) 10 und 12 e) 20 und 24 1) Gib die Vielfachenmengen der Zahlen an! 2) Wie lautet die Menge der gemeinsamen Vielfachen? 3) Wie lautet das kleinste gemeinsame Vielfache? a) 2 und 3 b) 4 und 6 c) 3 und 5 d) 2 und 6 e) 6 und 9 Begründe die Aussage! a) Es gibt kein „ggV“ (größtes gemeinsames Vielfaches). b) Die Frage nach dem „kgT“ (kleinsten gemeinsamen Teiler) ergibt wenig Sinn. Stelle die Vielfachenmengen auf dem Zahlenstrahl dar! Markiere die gemeinsamen Vielfachen und hebe das kleinste gemeinsame Vielfache hervor! Wähle geeignete Einheiten! a) V3 und V6 b) V2 und V5 c) V10 und V20 d) V12 und V18 e) V8 und V12 Wie lautet das kgV der gegebenen Zahlen? a) 4, 10 c) 12, 36 e) 17, 23 g) 4, 6, 9 i) 80, 100, 160 b) 16, 18 d) 15, 60 f) 18, 25 h) 15, 16, 20 j) 96, 144, 240 Elli hat leider Tee über ihr Mathematikheft getropft und kann nicht mehr alles erkennen. Gib mögliche Zahlen an, die sich unter dem Fleck verbergen könnten! a) kgV( ,7) = 21 b) kgV(4, ) = 12 c) kgV( , )=30 a) Ermittle das kgV von 1) 6 und 18, 2) 5 und 20, 3) 12 und 24, 4) 15 und 45! b) Wie lautet das kgV zweier Zahlen, wenn eine dieser Zahlen Teiler der anderen ist? (zB kgV(3, 12) = ?) Gib eine entsprechende Regel an! a) Ermittle das kgV von 1) 6 und 7, 2) 8 und 9, 3) 16 und 21, 4) 24 und 35! b) Wie lautet der ggT dieser Zahlen? c) Welche Regel kann aus diesen Beispielen für das kgV vermutet werden? Berechne 1) das Produkt, 2) den ggT, 3) das kgV und 4) das Produkt aus ggT und kgV der gegebenen Zahlen! Vergleiche 1) und 4)! Was fällt dir auf? a) 6, 8 c) 15, 20 e) 9, 18 g) 24, 25 i) 140, 160 k) 84, 156 b) 12, 16 d) 10, 18 f) 13, 17 h) 30, 40 j) 200, 350 l) 192, 208 47 B O M DI 48 B O M DI B O M DI 49 * B O M DI 50 Beispiel V6 und V8: 6 V6 V8 8 12 18 24 30 36 42 48 54 16 24 32 40 48 56 51 B O M DI 52 B O M DI 53 * B O M DI B O M DI 54 * 55 B O M DI Beispiel 4, 6 1) 4·6 = 24 2) ggT ( 4, 6 ) = 2 3) kgV ( 4, 6 ) = 12 4) 2·12 = 24 * Sprachliche Bildung und Lesen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
24 Teilbarkeit A 2 2 Teilbarkeitsregeln 2.1 Teilbarkeitsregeln für das Teilen durch bestimmte Zahlen Teilbarkeit durch 2, 5 bzw. 10 In der großen Pause wollen 20 Kinder gemeinsam Ball spielen und teilen sich in Gruppen auf. Jonas dividiert und stellt fest, dass die echten Teiler von 20 sind und nur diese Mannschaftsgrößen möglich sind. Dies kann man auch ohne zu dividieren feststellen. Begründungen Nur die geraden Zahlen sind durch 2 teilbar. Die Vielfachen von 5 haben an der Einerstelle immer abwechselnd 0 oder 5. Das Multiplizieren einer Zahl mit 10 entspricht dem Anhängen einer 0. Teilbarkeit durch 9 bzw. 3 Susanne betrachtet die Neunerreihe. Die Ziffernsumme ist immer gleich (zB von 9 – 18 – 27 usw.) oder ändert sich um ein Vielfaches von 9 (zB von 90 – 99 oder 999 – 1 008). Die Ziffernsumme ist also immer ein Vielfaches von 9. Ähnliches gilt für die Dreierreihe. Dabei ist die Ziffernsumme immer ein Vielfaches von 3. Teilbarkeit durch 4, 25 bzw. 100 Die Teilbarkeitsregel durch 100 ist leicht zu erraten – die letzten beiden Stellen einer Zahl müssen beide Nullen sein. Da alle Vielfachen von 100 auch durch 4 und 25 teilbar sind, kommt es auch bei der Teilbarkeit durch 4 und 25 nur auf die letzten zwei Stellen an. interaktive Vorübung ky6j29 AH S. 13 Eine Zahl ist Eine Zahl ist Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre durch 5 teilbar, wenn ihre durch 10 teilbar, wenn ihre Einerziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 Einerziffer 0 oder 5 Einerziffer 0 ist – sonst nicht. ist – sonst nicht. ist – sonst nicht. Teilbarkeit durch 2, 5 und 10 H Z E 0 9 1 8 2 7 9 0 0 9 9 1 0 8 – 1 + 9 – 1 – 1 + 1 + 0 + 1 – 9 + 1 Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 3 teilbar ist – sonst nicht. Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 9 teilbar ist – sonst nicht. Teilbarkeit durch 3 und 9 Eine Zahl ist durch 100 teilbar, wenn die letzten beiden Stellen 00 sind – sonst nicht. Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten beiden Stellen eine durch 4 teilbare Zahl bilden – sonst nicht. Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn die letzten beiden Stellen 00, 25, 50 oder 75 sind – sonst nicht. Teilbarkeit durch 100, 4 und 25 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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