F 1 Variablen und Gleichungen 145 1.2 Gleichungen und ihre Lösung durch Probieren Judith erzählt Leila: „Wenn meine Cousine um 17Jahre älter wäre, hätte sie das gleiche Alter wie unsere neue Lehrerin. Die ist nämlich 30.“ Leila überlegt nun, wie alt die Cousine von Judith ist. Sie kennt solche Aufgaben schon aus der Volksschule: „17 und wie viel ist 30?“ Leila findet hier sofort die richtige Lösung, nämlich . Den hier angeführten Zusammenhang können wir mit Hilfe einer Variablen als 17 + x = 30 schreiben. Dies nennt man eine Gleichung mit einer Variablen. Der einzig richtige Wert der Variablen x (sodass die Gleichung stimmt) heißt Lösung der Gleichung. In unserem Fall ist die Lösung der Gleichung x = 13. Judiths Cousine ist also 13 Jahre alt. Wird zur Überprüfung die gefundene Lösung in die Gleichung eingesetzt, führt dies zu einer wahren Aussage (w. A.): 17 + x = 30 17 + 13 = 30 30 = 30 Wird eine andere Zahl eingesetzt, zB 14, führt das zu einer falschen Aussage (f. A.): 17 + 14 = 30 (f. A.) Eine Variable in einer Gleichung hat im Gegensatz zu Variablen in Formeln eigentlich gar nichts „Variables“ (also Veränderbares) an sich, denn sie steht nur für eine ganz bestimmte Zahl: Sie steht für die Lösung der Gleichung. Deshalb bezeichnet man sie oft als Unbekannte. Lösen durch Probieren Die Gleichung 17 + x = 30 konnten wir rasch lösen. Aber wie sieht es mit der Gleichung 2·z + 5 = 15 aus? Man kann die richtige Zahl leicht durch Probieren finden: Wir probieren z = 2: 2·2 + 5 = 9 und 9 = 15 ist eine falsche Aussage. Das Ergebnis ist um 6 zu klein. Für den nächsten Versuch kann man nun z = 3 probieren. Man überlegt: Der erste Versuch war um 6 zu klein. Wir müssen also z vergrößern. In der Gleichung wird z mit 2 multipliziert – daher wählen wir einen um 3 größeren Wert: z = 5 passt, denn 2·5 + 5 = 15 (w. A.) Die Zahl z = 5 ist daher die Lösung. Löse die Gleichung! a) 17 = x + 1 c) y – 25 = 2 e) 6·r = 36 g) a5 = 9 i) 25 – b = 20 b) 25 + v = 99 d) 13 = z – 67 f) w·7 = 77 h) 18 = h2 j) 39 = 49 – c In Gleichungen werden Variablen als Platzhalter für Zahlen und Größen verwendet. Durch Lösen der Gleichung wird der Wert dieser Unbekannten herausgefunden. Die Variable steht dabei für eine ganz bestimmte Zahl. Diese Zahl heißt Lösung der Gleichung und ergibt beim Überprüfen eine wahre Aussage. Gleichungen 629 B O M DI 64di3k Arbeitsblatt Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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