Lösungswege 3, Schulbuch [Teildruck]

Teildruck © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2025 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Roman Miksch, Wien Herstellung: Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung: Petra Michel, Essen Layout: Petra Michel, Essen Illustrationen: Angelika Citak, Wipperfürth Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn Teildruck zu ISBN 978-3-209-12253-7 (Lösungswege US 3 SB) Lösungswege Unterstufe 3 SB Teildruck zu ISBN 978-3-209-12253-7, W6519-104 Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Mathias Bortenschlager Andreas Fischer Max Koller Julia Marsik Markus Olf Markus Wittberger Lösungswege Mathematik 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

A Die ganzen Zahlen.................... 6 Wiederholung und Vertiefung .. . . . . . . . . . . . . . . 7 Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen. . . . 12 Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen .. . 18 Verbindung der vier Grundrechnungsarten in Z .. 22 Zusammenfassung .......................... 26 Selbstkontrolle.............................. 27 B Die rationalen Zahlen................. 30 Darstellen und Vergleichen von rationalenZahlen............................ 31 Addieren und Subtrahieren von rationalen Zahlen...................................... 34 Multiplizieren und Dividieren von rationalen Zahlen...................................... 38 Verbindung der vier Grundrechnungsarten in Q .. 40 DIGI Rechnen mit rationalen Zahlen......... 42 Zusammenfassung .......................... 44 Selbstkontrolle.............................. 45 C Potenzen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 DiePotenzschreibweise.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Rechenregeln bei Potenzen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Die Vorrangregeln erweitern .. . . . . . . . . . . . . . . . 54 Zehnerpotenzen und Gleitkommadarstellung .. 56 DIGI Rechnen mit Potenzen .. . . . . . . . . . . . . . . . 60 Zusammenfassung .......................... 62 Selbstkontrolle.............................. 63 D Terme................................... 66 Terme aufstellen und auswerten.. . . . . . . . . . . . . 67 Addieren und Subtrahieren von Termen.. . . . . . 70 Multiplizieren mit Termen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 FaktorisierenvonTermen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 BinomischeFormeln......................... 84 DIGI Rechnen mit Termen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Zusammenfassung .......................... 92 Selbstkontrolle.............................. 93 E Gleichungen und Formeln............ 96 LösenvonGleichungen....................... 97 Textgleichungen............................. 102 Formeln..................................... 106 Zusammenfassung .......................... 110 Selbstkontrolle.............................. 111 F Vierecke und Vielecke................. 114 Flächeninhalt von Dreiecken und Vierecken – Wiederholung und Vertiefung .. . . . . . . . . . . . . . . 115 Flächeninhalt allgemeiner Vielecke. . . . . . . . . . . 122 Umkehraufgaben............................ 126 RegelmäßigeVielecke........................ 130 DIGI Flächeninhalte und Excel .............. 132 Zusammenfassung .......................... 134 Selbstkontrolle.............................. 135 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2 Inhalt Zahlen und Maße Variable, funktionale Abhängigkeiten Geometrische Figuren und Körper Statistische Darstellungen und Kenngrößen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

G Verhältnisse und Ähnlichkeit........ 138 Verhältnisse................................. 139 Verhältnisgleichungen....................... 144 Direkte und indirekte Proportionalität.. . . . . . . . 148 ÄhnlicheFiguren............................ 152 Zusammenfassung .......................... 158 Selbstkontrolle.............................. 159 H Rechnen mit Prozenten............... 162 Grundlagen der Prozentrechnung.. . . . . . . . . . . . 163 Vertiefung der Prozentrechnung – Änderungsfaktoren.......................... 170 Zinsrechnung................................ 176 Zinseszinsrechnung.......................... 182 DIGI Zinseszinsrechnung mit Technologie .. . . 186 Zusammenfassung .......................... 188 Selbstkontrolle.............................. 189 I Wachstums- und Abnahmeprozesse .. . 192 Lineare Wachstums- und Abnahmeprozesse.. . 193 Nicht lineare Wachstums- und Abnahmeprozesse........................... 200 DIGI Nicht lineare Wachstums- und Abnahmeprozesse mit Technologie........... 204 Zusammenfassung .......................... 206 Selbstkontrolle.............................. 207 J Statistik................................. 208 StatistischeKennzahlen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Darstellen und Interpretieren von Häufigkeitsverteilungen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Manipulation mit Statistik.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 DIGI Statistik.............................. 228 Zusammenfassung .......................... 230 Selbstkontrolle.............................. 231 K Wahrscheinlichkeitsrechnung .. . . . . . . 234 Der Wahrscheinlichkeitsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . 235 Wahrscheinlichkeit als relativer Anteil.. . . . . . . . 238 Wahrscheinlichkeit als relative Häufigkeit.. . . . 242 Zusammenfassung .......................... 247 Selbstkontrolle.............................. 249 L Prisma und Pyramide................. 252 Eigenschaften und Darstellung gerader Prismen..................................... 253 Netz und Oberfläche von Prismen.. . . . . . . . . . . . 256 VolumendesPrismas........................ 262 Eigenschaften und Darstellung von Pyramiden.................................. 268 Volumen und Masse von Pyramiden .. . . . . . . . . 272 Zusammenfassung .......................... 276 Selbstkontrolle.............................. 277 Anhang Lösungen der Selbstkontrollaufgaben . . . . . . . . 278 Sachregister................................ 287 Bildnachweis............................... 288 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

B Die rationalen Zahlen Die ersten Zahlen, mit denen sich Kinder beschäftigen, sind die natürlichen Zahlen. Diese eignen sich super zum Abzählen. 1, 2, 3, 4, 5, … Wenn wir über Temperaturen unter 0 °C sprechen, sind die ganzen Zahlen hilfreich. Mit ihnen können wir auch negative Temperaturen beschreiben. Wie so oft in der Mathematik muss es noch mehr geben. Man möchte Torten teilen, Zehntelsekunden messen, einen halben Punkt mehr bei der Schularbeit haben. Für alle diese Beispiele muss man neue Zahlen einführen und damit wirst du dich in diesem Abschnitt beschäftigen: Die rationalen Zahlen – 2 _ 3 – 2 _ 3 = –0,5 + (–0,3) = – 2 _ 3 + 2 – 3 _ 4 3 = – 2 _ 3 · 2 – 2 _ 3 3 = Reden wir darüber … Welche Zahlenmengen hast du bereits gelernt? Was weißt du noch darüber? Wo kommen natürliche bzw. ganze Zahlen und Brüche im Alltag vor? Nenne Beispiele. Wo kommen negative Dezimalzahlen im Alltag vor? Was weißt du noch über das Bruchrechnen? Wie rechnet man mit Brüchen? Welche Rechenregeln hast du dir gemerkt? Das Schöne an den rationalen Zahlen ist, dass du in den vorigen Kapiteln und in deiner Schulzeit eigentlich schon viel über sie gelernt hast. — Du kannst mit Brüchen rechnen. — Du kannst mit negativen Zahlen rechnen. — Du kannst mit Dezimalzahlen umgehen. Sieh dir nebenstehende Beispiele an. Hast du eine Idee, wie du diese lösen könntest? 28 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Da in den ganzen und in den natürlichen Zahlen z.B. keine echten Brüche enthalten sind, muss eine neue Zahlenmenge gefunden werden. Diese neue Zahlenmenge nennt man rationale Zahlen. Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die man als Bruch ganzer Zahlen anschreiben kann. Rationale Zahlen Jede Zahl, die man als Bruch a _ b (b ≠ 0) anschreiben kann, nennt man eine rationale Zahl. Dabei müssen sowohl der Zähler a als auch der Nenner b ganze Zahlen sein. Jede rationale Zahl kann man entweder als endliche (z.B. 3,0; 4,23; …) oder als periodische Dezimalzahl (z.B. 2,3˙ ) anschreiben. Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um. a) – 2 _ 5 b) – 2 _ – 7 a) Es gilt (–) : (+) = (–). Daher muss das Ergebnis negativ sein. Für die Dezimalzahl kann man entweder – 2 durch 5 dividieren ((– 2) : 5 = – 0,4) oder man bringt den Bruch auf den Nenner 10. Es gilt daher: – 2 _ 5 = – 2 _ 5 = – 4 _ 10 = – 0,4 Man erhält eine endliche Dezimalzahl. b) Es gilt (–) : (–) = (+). Daher muss das Ergebnis positiv sein. Für die Dezimalzahl ist eine Division notwendig. Man erhält: 2 :7 = 0,2857142857142… Da sich die Dezimalstellen immer wiederholen, liegt eine periodische Dezimalzahl vor. Es gilt: – 2 _ – 7 = 0, _ 285714 126 Bringe die rationale Zahl zuerst auf einen Dezimalbruch (Nenner: 10, 100, 1000 usw.) und schreibe sie dann als Dezimalzahl an. a) – 2 _ 5 b) + 3 _ – 5 c) – 3 _ – 20 d) + 8 _ + 20 e) – 8 _ – 25 f) + 13 _ – 25 g) – 9 _ – 50 h) + 4 _ 5 i) – 8 _ – 5 j) + 25 _ – 20 k) – 23 _ + 20 l) + 30 _ – 25 m) – 28 _ – 25 n) + 78 _ – 50 127 Verbinde den Bruch mit der ihm entsprechenden Dezimalzahl. Schreibe diese wichtigen Zusammenhänge in dein Heft. Merke Ó Arbeitsblatt f5dg6j Muster DI – a _ b = – a _ b a _ – b = – a _ b – a _ – b = + a _ b + 0,5 – 0,75 0,3 + 0,4 – 0,25 + 0,25 – 0,5 + 3 _ + 4 – 1 _ – 2 + 1 _ – 4 + 3 _ + 10 – 2 _ – 5 – 1 _ – 4 + 3 _ – 4 – 1 _ 2 + 0,75 DI 5 Darstellen und Vergleichen von rationalen Zahlen ææ Ich kenne die rationalen Zahlen und kann diese beschreiben. ææ Ich kann rationale Zahlen als Dezimalzahlen und als Bruchzahlen anschreiben. ææ Ich kenne den Betrag und die Gegenzahl einer rationalen Zahl. ææ Ich kann rationale Zahlen auf der Zahlengeraden darstellen. ææ Ich kann rationale Zahlen vergleichen und ordnen. Maria und Hannah unterhalten sich über ganze Zahlen und über negative Brüche. Hat Maria recht? Hast du eine Idee, wie Hannah die beiden Brüche vergleichen könnte? Ich weiß, dass – 5 kleiner als – 2 ist. Und wie sieht es mit – 1 _ 2 und – 1 _ 3 aus? 29 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

128 Schreibe die rationale Zahl als Dezimalzahl an und gib an, ob eine endliche oder eine periodische Dezimalzahl vorliegt. a) – 4 _ 15 b) + 3 _ 4 c) – 2 _ – 3 d) – 5 _ – 3 e) + 2 _ 9 f) – 3 _ – 8 g) + 5 _ 9 h) 23 _ 125 i) 5 _ 6 j) – 3 _ – 7 k) + 5 _ – 7 l) – 1 _ – 7 m) + 8 _ – 25 n) – 12 _ – 9 Schreibe die endliche Dezimalzahl als Bruch an. a) – 0,7 b) 0,34 a) –0,7 = –7 Zehntel = –7 _ 10 = – 7 _ 10 = 7 _ – 10 b) 0,34 = 34 Hundertstel = 34 _ 100 = – 34 _ – 100 129 Schreibe die Dezimalzahl als Bruch in zwei Schreibweisen an und kürze soweit wie möglich. a) 0,9 b) – 0,4 c) – 0,2 d) + 1,4 e) – 0,07 f) + 0,34 g) – 0,005 h) – 0,0002 Die Menge der rationalen Zahlen ℚ Die negativen und die positiven rationalen Zahlen bilden gemeinsam mit Null die Menge der rationalen Zahlen. Diese wird mit ℚ abgekürzt. Auch bei den rationalen Zahlen gilt: Der Betrag einer rationalen Zahl ist der Abstand zu 0. Die Gegenzahl unterscheidet sich von der Zahl im Vorzeichen. Man schreibt für die Menge ℚ auch: ℚ = { a _ b | a, b * ℤ, b ≠ 0 }. Dies ist die mathematische Schreibweise für: ℚ ist die Menge aller Bruchzahlen a _ b , wobei der Zähler und der Nenner ganze Zahlen sind und b nicht Null sein darf. 130 Kreuze an, in welcher Zahlenmenge die gegebene Zahl enthalten ist. 4 + 3 – 3 – 5 0,6 – 2 _ 3 + 3 _ 5 – 8 _ 4 + 20 _ 4 – 100 + 13 _ 4 + 20 _ – 5 ℕ ææææææææææ æ æ ℤ ææææææææææ æ æ ℚ ææææææææææ æ æ 131 Setze * oder + ein. a) – 3 ℕ b) – 6 _ 3 ℤ c) – 2 _ 3 ℤ d) 0 ℚ e) – 7 ℚ f) – 3 ℤ g) – 11 _ 3 ℤ h) – 2 _ 3 ℚ i) – 3 ℤ j) – 6 _ 3 ℕ k) – 1 _ 2 ℕ l) – 14 ℕ 132 Vier Jugendliche stellen verschiedene Behauptungen über die Zahlenmengen auf. Haben sie recht? Begründe deine Entscheidung. DI Muster DI Merke –6–5–4–3–2–1 0 1 2 3 4 5 6 –0,8 –3,2 0,7 2 3_1 2 DI DI V 8 _ 2 = 4 ist auch eine natürliche Zahl. * bedeutet, dass die Zahl in der Menge enthalten ist. + bedeutet, dass die Zahl in der Menge nicht enthalten ist. Jede natürliche Zahl ist eine rationale Zahl. Jede rationale Zahl ist auch eine ganze Zahl. Jede rationale Zahl ist eine natürliche Zahl. Es gibt ganze Zahlen, die auch natürliche Zahlen sind.  Sprachliche Bildung 30 5 Darstellen und Vergleichen von rationalen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

133 Bestimme den Betrag und die Gegenzahl der angegebenen Zahl, und gib die nächst größere und die nächst kleinere ganze Zahl an. a) – 2 _ 3 b) + 3 _ 5 c) – 0,08 d) – 0,5 e) – 2 _ 9 f) – 3 _ 8 g) + 5 _ 9 134 Gib die auf der Zahlengeraden markierten Zahlen in Bruch- und Dezimalschreibweise sowie den Strichabstand und die Schrittweite an. a) b) c) d) e) f) 135 Zeichne eine Zahlengerade und markiere die angegebenen Zahlen. a) – 0,7; – 0,3; – 0,1; 0,5; 1,0 b) – 3,7; – 2,8; – 2,4; – 2; – 1,5 c) – 0,08; – 0,05; – 0,01; 0,03; 0,05 d) – 2 _ 3 ; – 1 _ 3 ; + 2 _ 3 ; + 1 e) – 5 _ 6 ; – 1 _ 6 ; + 2 _ 6 ; + 1 f) – 5 _ 8 ; – 2 _ 8 ; + 0,125; + 5 _ 8 Setze <, > oder = ein. – 2 _ 3 – 3 _ 4 Bringt man die beiden Brüche auf den gleichen Nenner, dann kann man diese leichter vergleichen. gemeinsamer Nenner = 12 – 2 _ 3 = – 8 _ 12 ; – 3 _ 4 = – 9 _ 12 w – 8 _ 12 > – 9 _ 12 w – 2 _ 3 > – 3 _ 4 136 Setze das richtige Zeichen <, > oder = ein. a) – 0,3 – 0,4 b) – 0,98 – 0,95 c) – 0,27 – 0,2 d) – 0,504 – 0,4999 137 Setze das richtige Zeichen <, > oder = ein. a) – 1 _ 3 – 2 _ 5 b) – 3 _ 4 – 6 _ 8 c) – 5 _ 7 – 8 _ 9 d) – 3 _ 6 – 4 _ 8 e) – 1 _ 5 – 2 _ 9 f) – 5 _ 3 + 5 _ 3 138 Ordne die Zahlen mithilfe einer steigenden Ungleichungskette. i) Schreibe vorher alle Zahlen als Dezimalzahlen an. ii) Schreibe vorher alle Zahlen als Brüche an. a) – 1 _ 4 ; +1,5; – 3 _ 2 ; – 2 _ 3 ; + 1 2 _ 3 b) + 3 _ 5 ; – 1,8; – 1 3 _ 4 ; + 4 _ 8 ; – 17 _ 4 ; + 2,6 c) + 3 _ 4 ; – 1,6; – 1,75; + 4 _ 5 ; – 17 _ 10 ; + 2,6 Gecheckt? ææ Ich kenne die rationalen Zahlen und kann diese beschreiben. ææ Ich kenne den Betrag und die Gegenzahl einer rationalen Zahl. 139 Erkläre die Begriffe „rationale Zahlen“, „Betrag einer Zahl“ und „Gegenzahl“ und nenne Beispiele. 140 Setze * oder + ein. a) + 9 ℕ b) – 6 _ 4 ℤ c) – 2 _ 3 ℚ ææ Ich kann rationale Zahlen auf der Zahlengeraden darstellen und als Dezimalzahlen anschreiben. 141 Zeichne die rationalen Zahlen auf einer Zahlengeraden ein. – 3 _ 4 ; 0,5; 0,75 ææ Ich kann rationale Zahlen vergleichen und ordnen. 142 Setze das richtige Zeichen <, > oder = ein. – 3 _ 5 – 2 _ 6 O, DI DI 0 1 A B C D E A B C D E 0 1 A B C D E –0,1 0 A B C D E –1 –2 A B C D E –1 –2 A B C D E 0 –1 O, DI Muster DI DI O, DI Ó Komplettlösung nz4528 V DI O ÓArbeitsblatt f5re42 DI 31 B Die rationalen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

ææ Ich kann rationale Zahlen in Dezimalzahldarstellung addieren bzw. subtrahieren. ææ Ich kann rationale Zahlen in Bruchdarstellung addieren bzw. subtrahieren. Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen Beim Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen gelten dieselben Rechenregeln wie bei ganzen Zahlen. Bei Brüchen muss man vorher auf gemeinsamen Nenner bringen. Die Zähler werden addiert bzw. subtrahiert, die Nenner bleiben unverändert. Berechne. – 0,15 + (– 0,87) = Bringe die Rechnung in die Kurzform: – 0,15 + (– 0,87) = NR: 0,15 = – 0,15 – 0,87 = – 1,02 0,87 1,02 143 Bringe zuerst auf die Kurzform und berechne anschließend. a) + 1,2 + (– 2,3) = = b) + 12,5 – (+ 3,9) = = c) – 3,5 + (+ 5,2) = = d) + 5,7 – (– 4,2) = = e) – 9,8 + (– 7,4) = = f) – 2,6 + (– 8,3) = = 144 Ergänze die Rechenschlange. Wenn du richtig rechnest, sollte am Ende der Wert am Kopf der Schlange herauskommen. a) + (– 6,9) – (– 2,3) + (+ 1,1) – (+ 4,8) – (– 11,7) – 3,4 b) – (– 0,8) – (+ 8,4) – (– 0,2) + (– 3,8) + (– 1,5) + 2,7 145 Gegeben ist die Zahl – 2,4. Wie oft musst du 0,3 addieren oder subtrahieren um a) – 2,1 b) – 4,2 c) 0 zu erhalten? 146 Addiere die Zahlen zeilenweise und spaltenweise. a) b) Merke Ó Arbeitsblatt f625zj Muster O, DI O 0 – 10 DI O – 12,3 + 23,05 – 27,83 + 14,56 – 2,5 – 13,08 – 5,6 – 22,09 + 17,04 – 3,05 + 7,09 – 15,28 + 23,56 + 17,86 – 23,4 – 14,58 – 4,9 + 38,76 6 Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen Maria sieht sich das Thermometer an. Sie hat von ihrer Mutter gehört, dass es vor zwei Stunden noch 2,8 °C kälter war. Wie kalt war es vor zwei Stunden? 32 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

147 Ergänze in der Tabelle die fehlenden Zahlen. alter Kontostand Ein/Auszahlungen neuer Kontostand a + 1 235,84 € – 1 569,63 € € b – 814,59 € – 312,56 € € c + 539,42 € + 216,78 € d – 548,29 € – 2 034,36 € Berechne. – 2 _ 4 + 2 – 3 _ 4 3 = Zuerst wird die Rechnung in die Kurzform gebracht. Da die Nenner gleich sind, müssen nur die Zähler berücksichtigt werden. – 2 _ 4 – 3 _ 4 = – 5 _ 4 = – 1 1 _ 4 148 Bringe zuerst auf die Kurzform, berechne anschließend und kürze so weit, wie möglich. a) – 2 _ 3 – 2 – 5 _ 3 3 = b) – 3 _ 4 + 2 – 5 _ 4 3 = c) + 7 _ 8 – 2 + 5 _ 8 3 = d) – 2 _ 3 – 2 + 7 _ 3 3 = e) + 5 _ 12 + 2 – 11 _ 12 3 = f) – 3 _ 18 + 2 – 5 _ 18 3 = g) – 34 _ 17 + 2 – 8 _ 17 3 = h) + 7 _ 5 – 2 + 24 _ 5 3 = i) – 11 _ 6 + 2 + 13 _ 6 3 = 149 Ordne jeder Rechnung das passende Ergebnis zu. a) b) 150 Gib an, welche Rechnung auf der Zahlengeraden dargestellt ist und berechne das Ergebnis. a) b) Berechne. – 3 _ 4 + 2 – 3 _ 5 3 = Zuerst wird die Rechnung in Kurzform angeschrieben. – 3 _ 4 + 2 – 3 _ 5 3 = – 3 _ 4 – 3 _ 5 = Die Brüche werden auf denselben Nenner gebracht. = – 15 _ 20 – 12 _ 20 = – 27 _ 20 = – 1 7 _ 20 151 Vervollständige die Rechnung. a) – 4 _ 5 – 2 + 3 _ 4 3 = – _ 20 – _ 20 = – _ 20 = b) – 3 _ 4 – 2 – 1 _ 2 3 = – _ 4 + _ 4 = – _ 4 c) + 3 _ 5 + 2 – 7 _ 10 3 = + _ 10 – _ 10 = – _ 10 d) – 3 _ 8 – 2 + 4 _ 5 3 = – _ 40 – _ 40 = – _ 40 = 152 Berechne und kürze so weit, wie möglich. a) 2 – 5 _ 9 3 + 2 – 3 _ 5 3 = b) 2 + 6 _ 7 3 – 2 + 3 _ 4 3 = c) 2 – 9 _ 12 3 – 2 – 2 _ 5 3 = d) 2 – 3 _ 4 3 – 2 – 2 _ 5 3 = O Muster Kürzen bedeutet: Zähler und Nenner werden durch die gleiche Zahl dividiert (≠ 0). O O – 2 _ 8 – 2 – 5 _ 8 3 A + 3 _ 8 – 2 _ 8 – 2 + 10 _ 8 3 B – 7 _ 8 – 2 _ 8 + 2 – 5 _ 8 3 C + 1 2 _ 8 – 2 – 5 _ 8 3 D – 3 _ 2 E – 3 _ 8 F + 7 _ 8 – 3 _ 4 + 2 – 7 _ 4 3 A + 5 _ 2 – 3 _ 4 – 2 – 7 _ 4 3 B – 1 3 _ 4 – 2 – 7 _ 4 3 C – 5 _ 2 3 _ 4 – 2 + 7 _ 4 3 D – 10 _ 8 E + 1 F + 10 _ 8 M –1,1 +(–0,6) –0,5 +( ) 0 +_3 5 +_6 5 –_3 5 Muster O O  Wirtschafts-, Finanz- und Verbraucher/innenbildung 33 B Die rationalen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

153 Ergänze den Rechenturm. Dabei musst du benachbarte Zahlen addieren. a) b) c) 154 Berechne der Reihe nach und finde das Lösungswort. 2 – 3 _ 4 3 + 2 – 1 _ 8 3 = w 2 – 3 _ 5 3 – 2 + 4 _ 3 3 = w 2 + 3 _ 15 3 – 2 – 3 _ 5 3 = w 2 + 3 _ 7 3 + 2 – 12 _ 5 3 = w 155 Berechne, kürze so weit wie möglich und schreibe das Ergebnis als gemischte Zahl an. a) 2 – 3 2 _ 3 3 + 2 – 3 4 _ 5 3 = b) 2 + 2 4 _ 5 3 + 2 – 4 2 _ 3 3 = c) 2 – 4 5 _ 6 3 + 2 + 2 3 _ 7 3 = d) 2 + 1 5 _ 8 3 – 2 + 5 3 _ 6 3 = e) 2 – 2 5 _ 6 3 – 2 – 5 7 _ 8 3 = f) 2 – 1 9 _ 10 3 + 2 – 2  7 _ 15 3 = 156 Bei der Rechnung wurde ein Fehler gemacht. i) Finde den Fehler und stelle ihn richtig. ii) Beschreibe den Fehler in eigenen Worten. 157 Berechne und kürze so weit wie möglich. a) 2 – 2 2 _ 3 3 – 2 – 4 3 _ 3 3 + 2 – 5 1 _ 6 3 = b) 2 + 1 2 _ 5 3 + 2 – 4 5 _ 6 3 – 2 + 4 2 _ 3 3 = b) 2 – 4 1 _ 6 3 – 4 2 – 2 3 _ 4 3 – 2 + 1 7 _ 8 3 5 = d) 2 – 1 3 _ 10 3 – 4 2 + 2 4 _ 5 3 – 2 – 1 5 _ 6 3 5 = 158 Kreuze an, ob die Aussagen richtig oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung. Aussage richtig falsch Die Summe zweier rationaler Zahlen ist wieder eine rationale Zahl. æ æ Die Summe einer rationalen Zahl und ihrer Gegenzahl ist positiv. æ æ Addiert man zu einer ganzen Zahl eine rationale Zahl, dann ist das Ergebnis sicher wieder eine ganze Zahl. æ æ Die Summe zweier rationaler Zahlen kann auch eine natürliche Zahl sein. æ æ Die Differenz zweier rationaler Zahlen kann auch eine ganze Zahl sein. æ æ O – 2 _ 3 + 3 _ 4 – 3 _ 2 + 2 _ 3 – 3 _ 5 + 4 _ 10 – 3 _ 4 + 2 _ 5 5 _ 12 + 1 – 3 _ 6 + 3 _ 8 O T B Z H K U C Start – 1 1_2 5 – 1 –_1 2 – _7 8 –_3 8 +_7 8 –_3 4 +_4 5 1_1 15 + 1_4 15 3_4 35 O, DI Bringe die gemischten Zahlen zuerst auf unechte Brüche. DI, V O V Rechne zuerst in den eckigen Klammern! 2 – 2 1 _ 3 3 + 2 – 3 3 _ 4 3 = = – 7 _ 3 – 15 _ 4 = = – 28 _ 12 – 45 _ 12 = – 17 _ 12 2 – 1 4 _ 6 3 – 2 – 3 5 _ 8 3 = = 10 _ 6 + 29 _ 8 = = 40 _ 24 + 87 _ 24 = 127 _ 24 2 + 3 7 _ 8 3 – 2 + 5 3 _ 4 3 = = 31 _ 8 + 23 _ 4 = = 31 _ 8 + 46 _ 8 = 77 _ 8 = 12 1 _ 8 a) b) c) 34 6 Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

159 Gib zwei rationale Zahlen an, die keine ganzen Zahlen sind, deren i) Summe ii) Differenz die angegebene Zahl ergibt. a) 0 b) – 2,3 c) – 4 d) 12 e) – 8 160 Antonius liest in der Früh die Temperatur des Außenthermometers ab. Dieses zeigt eine Temperatur von – 5 °C. i) Die Temperatur steigt bis Mittag um 8,9 °C. Wie hoch ist die Mittagstemperatur? ii) Bis zum Abend fällt sie wieder um 6,4 °C. Berechne die Abendtemperatur. iii) Um Mitternacht hat es – 9 °C. Um wie viel °C ist die Temperatur gefallen? 161 Maria liest in der Früh die Temperatur des Außenthermometers ab. Dieses zeigt eine Temperatur von –12 °C. i) Die Mittagstemperatur ist – 2,7°C. Um wie viel °C ist die Temperatur gestiegen? ii) Bis zum Abend fällt sie wieder um 2,9 °C. Berechne die Abendtemperatur. iii) Um Mitternacht hat es –11,6 °C. Um wie viel °C ist die Temperatur gefallen? 162 Herr Hauer geht einkaufen und bezahlt immer mit seiner Bankomatkarte. Folgende Abbuchungen gehen auf sein Konto ein: – 54,32 €, –128,53 €, – 204,32 €, – 89,34 € i) Wie viel Geld wird ihm insgesamt vom Konto abgebucht? ii) Wie ist sein neuer Kontostand, wenn sein alter Kontostand +1135,67€ war? iii) Am nächsten Tag wird die Miete von 864,23 € von seinem Konto abgebucht. Wie lautet sein neuer Kontostand? 163 In einem Gefäß befindet sich Wasser. Es werden zuerst 3 _ 8 Liter und dann 1 _ 2 Liter Wasser entnommen. Anschließend werden 1 _ 5 Liter Wasser hinein geleert und später wieder 3 _ 4 Liter entnommen. a) Berechne die Gesamtveränderung des Wasserstands. b) Wie viel Liter Wasser sind noch im Gefäß, wenn zu Beginn 4 Liter Wasser darin enthalten waren? 164 Berechne die Zahl. a) Addiere zur Summe der Zahlen – 3 1 _ 2 und + 2 3 _ 4 die Differenz der beiden Zahlen. b) Ziehe von der Differenz der Zahlen – 2 _ 3 und – 3 _ 4 die Zahl – 2 1 _ 5 ab. Gecheckt? ææ Ich kann rationale Zahlen in Dezimalzahldarstellung addieren bzw. subtrahieren. 165 Gib die Rechnung in der Kurzform an und berechne. a) (– 12,3) + (– 13,4) = = b) (– 37,84) – (– 13,09) = = 166 Gegeben sind mehrere Kontoveränderungen. Gib den neuen Kontostand an, wenn zu Beginn des Tages 1 289,48 € auf dem Konto waren. – 324,89 €; + 43,23 €, – 308,23 €; – 23,89 €; + 34,57 € ææ Ich kann rationale Zahlen in Bruchdarstellung addieren bzw. subtrahieren. 167 Berechne. a) 2 – 7 _ 9 3 + 2 – 1 _ 9 3 = b) 2 – 2 _ 11 3 + 2 – 3 _ 5 3 = c) 2 – 4 1 _ 3 3 – 2 – 2 3 _ 4 3 = DI Ó Arbeitsblatt f668u7 O, DI O, DI O, DI M, O, DI O Ó Komplettlösung nz698v O, DI O, DI O Ó Arbeitsblatt f6ce3u  Wirtschafts-, Finanz- und Verbraucher/innenbildung 35 B Die rationalen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

ææ Ich kann rationale Zahlen multiplizieren und dividieren. Beim Multiplizieren und Dividieren rationaler Zahlen gelten die gleichen Vorzeichenregeln wie bei den ganzen Zahlen. Multiplizieren und Dividieren rationaler Zahlen Rationale Zahlen (in Bruchdarstellung) werden multipliziert, indem man die Zähler und die Nenner miteinander multipliziert. a _ b · c _ d = a · c _ b · d (b, d ≠ 0) Rationale Zahlen (in Bruchdarstellung) werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert. a _ b : c _ d = a · d _ b · c (b, c, d ≠ 0) Berechne und kürze soweit wie möglich. a) 2 – 3 _ 4 3 · 2 + 10 _ 12 3 = b) 2 + 2 1 _ 3 3 : 2 – 3 3 _ 4 3 = a) Möglichkeit 1: zuerst multiplizieren, dann kürzen. 2 – 3 _ 4 3 · 2 + 10 _ 12 3 = – 30 _ 48 = – 5 _ 8 Möglichkeit 2: gleich kürzen. 2 – 3 _ 4 3 · 2 + 10 _ 12 3 = – 3 · 10 _ 4 · 12 = – 5 _ 8 b) Zuerst werden die gemischten Zahlen in unechte Brüche umgewandelt, danach wird mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert. 2 + 2 1 _ 3 3 : 2 – 3 3 _ 4 3 = 7 _ 3 : 2 – 15 _ 4 3 = 7 _ 3 · 2 – 4 _ 15 3 = – 28 _ 45 168 Berechne und kürze so weit wie möglich. a) 2 – 4 _ 5 3 · 2 + 20 _ 6 3 = b) 2 – 7 _ 8 3 · 2 – 10 _ 35 3 = c) 2 + 3 _ 7 3 · 2 – 21 _ 3 3 = d) 2 – 15 _ 5 3 · 2 – 7 _ 20 3 = e) 2 – 3 _ 5 3 · 2 + 6 _ 7 3 = f) 2 – 77 _ 26 3 · 2 – 13 _ 11 3 = g) 2 + 14 _ 7 3 · 2 – 20 _ 10 3 = h) 2 – 12 _ 7 3 · 2 – 14 _ 10 3 = 169 Berechne und kürze so weit wie möglich. a) 2 – 14 _ 8 3 : 2 + 4 _ 16 3 = b) 2 – 7 _ 8 3 : 2 + 14 _ 12 3 = c) 2 – 15 _ 16 3 : 2 – 5 _ 8 3 = d) 2 + 2 _ 3 3 : 2 + 8 _ 9 3 = 170 Ordne jeder Rechnung die nächsten Rechenschritte sowie das Ergebnis zu. Male die passenden Kästchen in derselben Farbe an. 2 – 3 2 _ 8 3 : 2 + 3 1 _ 4 3 = 2 + 3 1 _ 8 3 : 2 – 2 3 _ 4 3 = 2 – 4 1 _ 8 3 : 2 – 2 2 _ 4 3 = 2 + 1 2 _ 8 3 : 2 + 4 1 _ 4 3 = = – 25 _ 8 : 11 _ 4 = = – 26 _ 8 : 13 _ 4 = = + 10 _ 8 : 17 _ 4 = = + 33 _ 8 : 10 _ 4 = = + 10 _ 8 · 4 _ 17 = = – 25 _ 8 · 4 _ 11 = = + 33 _ 8 · 4 _ 10 = = – 26 _ 8 · 4 _ 13 = = 1 13 _ 20 = – 1 = – 1 3 _ 22 = 5 _ 17 Merke Ó Arbeitsblatt f6f7gv Muster O O DI 7 Multiplizieren und Dividieren rationaler Zahlen Rosa und Anton gehen gerne Bergsteigen. In der Schule haben sie gelernt, dass die Temperatur pro 1 000 Höhenmeter um ca. 6 1 _ 2 °C abnimmt. Wenn es auf 1 000 Meter 7°C hat, um wie viel Grad ist es in 3 000 Meter Höhe kälter? 1 2 5 4 36 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

171 Berechne und kürze so weit wie möglich. a) 2 – 1 3 _ 5 3 : 2 + 2 7 _ 10 3 = b) 2 – 4 3 _ 8 3 : 2 – 3 3 _ 4 3 = c) 2 + 1 3 _ 7 3 : 2 – 2 1 _ 14 3 = d) 2 – 1 2 _ 6 3 : 2 + 1 3 _ 4 3 = 172 Suche zu jeder Rechnung das passende Ergebnis. Es gibt auch zwei falsche Ergebnisse. (– 2,3) · (+ 3,4) = (+ 5,3) · (– 2,1) = (– 4,2) · (– 3,05) = (– 4,5) · (+ 0,2) = (– 3,2) · (– 6,5) = (+ 2,6) · (+ 1,3) = – 1,13 – 0,9 – 11,13 + 20,8 + 12,81 – 7,82 + 2,18 + 3,38 173 Berechne. a) (– 5,6) : (+ 2,8) = b) (– 4,2) : (– 1,4) = c) (+ 28,8) : (– 7,2) = d) (– 35,8) : (+ 0,01) = e) (– 7,2) : (+ 3,2) = f) (– 13,2) : (+ 3,2) = 174 Kreuze an, ob die Aussagen richtig oder falsch sind. Aussage richtig falsch 2 – 3 _ 4 3 · 2 – 4 _ 3 3 = + 1 æ æ 2 – 1 _ 2 3 · 2 – 1 _ 2 3 · 2 – 1 _ 2 3 · 2 – 1 _ 2 3 · 2 – 1 _ 2 3 > 2 – 1 _ 2 3 · 2 – 1 _ 2 3 · 2 – 1 _ 2 3 · 2 – 1 _ 2 3 · 2 – 1 _ 2 3 · 2 – 1 _ 2 3 æ æ 2 – 1 _ 2 3 : 2 – 3 _ 4 3 > 2 – 4 _ 3 3 · 2 – 1 _ 2 3 æ æ 2 – 3 _ 4 3 : 2 – 1 _ 2 3 = – 0,75 · (– 2) æ æ 175 Berechne die Doppelbrüche. a) – 2 _ 3 _ + 3 _ 4 = b) – 3 _ 5 _ – 6 _ 10 = c) – 3 _ 4 _ + 6 _ 12 = d) + 3 _ 5 _ – 4 _ 10 = e) – 4 _ 6 _ + 6 _ 8 = 176 Max hat einen Trick für das Rechnen mit Doppelbrüchen gelernt. i) Erkläre den Trick von Max. Was versteht man unter den Außengliedern bzw. den Innengliedern? ii) Wende den Trick von Max bei diesen beiden Aufgaben an. – 3 _ 4 _ + 8 _ 10 = – 5 _ 7 _ – 10 _ 7 = iii) Erkläre, warum der Trick von Max funktioniert. 177 Bei welcher Aufgabe erhält man das größere Ergebnis? Wenn man eine Zahl, die größer als 1 ist, mit sich selbst multipliziert oder wenn man sie mit ihrem Kehrwert multipliziert. Begründe deine Entscheidung. Gecheckt? ææ Ich kann rationale Zahlen multiplizieren und dividieren. 178 Berechne das Ergebnis. a) 2 – 5 _ 6 3 · 2 + 12 _ 15 3 = b) 2 – 11 _ 12 3 · 2 – 24 _ 33 3 = c) 2 + 3 _ 8 3 · 2 – 24 _ 9 3 = 179 Berechne das Ergebnis. a) 2 – 2 2 _ 3 3 : 2 – 4 5 _ 9 3 = b) 2 + 2 7 _ 8 3 : 2 – 1 1 _ 4 3 = O DI O Ist der Divisor eine Dezimalzahl, dann musst du das Komma nach rechts verschieben: – 3,2 : (+ 1,6) = – 32 : (+ 16) = – 2 DI O Schreibe den Doppelbruch als Division an: – 2 _ 3 _ + 3 _ 4 = 2 – 2 _ 3 3 : 2 + 3 _ 4 3 M, O, V Ich muss die Außenglieder multiplizieren und die Innenglieder multiplizieren: – 3 _ 5 _ + 1 _ 2 = – 3 · 2 _ 1 · 5 = – 6 _ 5 = – 1 1 _ 5 M, V Ó Komplettlösung nz6e3t O O Ó Arbeitsblatt f6i9ed 37 B Die rationalen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

ææ Ich kenne die Vorrangregeln und kann diese anwenden. Vorrangregeln KlaPuSTRix —— Rechnungen in Klammern müssen zuerst berechnet werden. KLA —— Punkt- vor Strichrechnung. PUSTRIX ——Man rechnet von links nach rechts. Berechne. 2 – 2 _ 3 3 + 2 – 2 3 _ 4 3 : 2 + 3 2 _ 3 3 = 1. Wandle die gemischten Zahlen in unechte Brüche um. – 2 _ 3 + 2 – 11 _ 4 3 : 2 + 11 _ 3 3 = 2. Berechne zuerst die Punktrechnungen. = – 2 _ 3 + 2 – 11 _ 4 3 · 2 + 3 _ 11 3 = 3. Berechne die Strichrechnungen. = – 2 _ 3 + 2 – 3 _ 4 3 = = – 8 _ 12 – 9 _ 12 = – 17 _ 12 = – 1 5 _ 12 180 Hier ist einiges durcheinandergeraten. Bringe die Rechenschritte in die richtige Reihenfolge. 2 – 3 _ 4 3 – 2 – 2 _ 4 3 : 2 – 6 _ 8 3 = 2 – 3 _ 4 3 – 2 + 2 _ 3 3 = 2 – 3 _ 4 3 – 2 – 2 _ 4 3 · 2 – 8 _ 6 3 = – 3 _ 4 – 2 _ 3 = – 17 _ 12 = – 1 5 _ 12 – 9 _ 12 – 8 _ 12 = 181 Berechne und kürze so weit wie möglich. a) 2 – 3 _ 4 3 + 2 – 2 _ 5 3 · 2 + 15 _ 6 3 = b) 2 – 5 _ 8 3 – 2 – 12 _ 16 3 · 2 – 8 _ 10 3 = c) 2 – 3 _ 5 3 + 2 – 9 _ 10 3 · 2 – 25 _ 3 3 = d) 2 – 12 _ 13 3 : 2 + 24 _ 26 3 – 2 – 1 _ 6 3 = e) 2 – 5 _ 9 3 : 2 – 7 _ 18 3 + 2 – 3 _ 7 3 = f) 2 + 8 _ 9 3 + 2 + 7 _ 18 3 : 2 – 14 _ 18 3 = 182 Ergänze die Lücken so, dass eine mathematisch richtige Aussage entsteht. Bei der Rechnung – 7 _ 9 – 2 + 3 _ 4 3 : 2 + 8 _ 5 3 = muss man zuerst die  berechnen, weil die  Vorrang hat.   Addition æ Strichrechnung æ Subtraktion æ Punktrechnung æ Division æ Rechnung in der Klammer æ 183 Berechne und achte auf die Vorrangregeln. a) – 2,3 + (– 3,4) : 0,01 = b) – 12,3 – (+ 7,6) · (– 2,1) = c) – 0,3 + 0,3 : (– 100) = Merke Ó Arbeitsblatt f6r98r Muster DI O DI, V O 8 Verbindung der vier Grundrechnungsarten in Q vor vor Klammerrechnung Punktrechnung Strichrechnung In der Abbildung siehst du ein Thermometer, das 23° Fahrenheit anzeigt. Diese Temperatur kannst du auch mit der Formel °C = (°F – 32) · 5 _ 9 in Grad Celsius umwandeln. Wie hoch ist die Temperatur in Grad Celsius? Worauf musst du bei der Rechnung achten? 38 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

184 Berechne und achte auf die Vorrangregeln. a) 4 2 – 3 _ 4 3 + 2 – 3 _ 5 3 5 · 2 + 5 _ 9 3 = b) 4 2 – 2 _ 4 3 – 2 – 1 _ 3 3 5 · 2 – 12 _ 13 3 = c) 4 2 – 4 _ 9 3 + 2 – 5 _ 6 3 5 : 2 + 5 _ 9 3 = d) 2 – 3 _ 5 3 : 4 2 + 3 _ 5 3 + 2 – 5 _ 7 3 5 = 185 Hier sind die zwei Rechnungen durcheinandergeraten. Ordne die einzelnen Rechenschritte den Rechnungen zu und bringe sie in die richtige Reihenfolge. 2 – 3 4 _ 5 3 + 2 – 2 1 _ 3 3 : 2 + 3 2 _ 4 3 = – 184 _ 105 – 19 _ 5 – 4 _ 6 2 – 92 _ 15 3 : 2 + 14 _ 4 3 – 134 _ 30 – 114 _ 30 – 20 _ 30 = – 19 _ 5 + 2 – 7 _ 3 3 · + 4 _ 14 4 2 – 3 4 _ 5 3 + 2 – 2 1 _ 3 3 5 : 2 + 3 2 _ 4 3 = 4 2 – 19 _ 5 3 + 2 – 7 _ 3 3 5 : 2 + 14 _ 4 3 = 2 – 92 _ 15 3 · 2 + 4 _ 14 3 2 – 19 _ 5 3 + 2 – 7 _ 3 3 : 2 + 14 _ 4 3 = – 4 14 _ 30 – 4 7 _ 15 4 2 – 57 _ 15 3 + 2 – 35 _ 15 3 5 : 2 + 14 _ 4 3 = – 1 79 _ 105 186 Berechne das Ergebnis. a) 2 – 5 3 _ 4 3 – 2 + 3  3 _ 4 3 : 2 – 2 1 _ 3 3 = b) 4 2 – 2 1 _ 3 3 – 2 – 3 1 _ 4 3 5 : 2 – 1 1 _ 4 3 = c) 2 – 4 1 _ 5 3 : 4 2 – 2 _ 10 3 – 2 + 1 3 _ 5 3 5 = 187 Bei jeder Rechnung wurde ein Fehler gemacht. Finde den Fehler und stelle ihn richtig. Beschreibe den Fehler in eigenen Worten. a) b) 188 Berechne und achte auf die Vorrangregeln. a) [(– 3,2) + ( – 3,6)] : (– 1,7) = b) [(– 1,3) – ( – 1,9)] : (– 0,01) = c) [(– 3,4) + (– 2,76) : (+ 1,2)] · (– 0,01) = 189 Die Lufttemperatur nimmt bis zu einer bestimmten Höhe um 0,65 °C pro 100 Höhenmeter ab. a) Welche Temperatur hat es ungefähr in einer Seehöhe von 3 000 m, wenn es in 500 m Seehöhe 25 °C hat? b) Welche Temperatur hat es ungefähr in einer Seehöhe von 2 400 m, wenn es in 800 m Seehöhe 5 °C hat? 190 Berechne. a) Multipliziere die Summe der Zahlen – 2 3 _ 4 und + 3 2 _ 3 mit der Differenz der beiden Zahlen. b) Dividiere die Differenz der Zahlen – 3 1 _ 2 und + 2 1 _ 3 durch – 3 1 _ 4 . 191 Löse die Meisteraufgabe. a) 2 – 2 1 _ 3 3 : 4 2 – 7 _ 3 3 + 2 – 3 1 _ 2 3 · 2 – 2 1 _ 3 3 5 + 2 + 3 1 _ 4 3 : 2 + 1 _ 2 3 = b) 1 1 _ 2 + 2 – 3 _ 5 3 : 4 2 – 2 1 _ 4 3 : 2 + 1 2 _ 3 3 + 2 – 7 _ 10 3 5 = Gecheckt? ææ Ich kenne die Vorrangregeln und kann diese anwenden. 192 Berechne die Lösung. a) – 12 _ 14 + 2 – 3 _ 2 3 · 2 + 4 _ 7 3 = b) 4 2 – 2 1 _ 2 3 + 2 – 3 3 _ 4 3 5 : 2 – 1 1 _ 4 3 = O DI, V O DI, V 2 + 2 5 _ 8 3 + 2 + 2 8 _ 12 3 · 2 – 3 4 _ 6 3 = = 2 + 21 _ 8 3 + 2 + 32 _ 12 3 · 2 – 22 _ 6 3 = = 2 + 21 _ 8 3 + 2 – 88 _ 3 3 = = 63 _ 24 – 704 _ 24 = – 641 _ 24 2 – 2 1 _ 3 3 – 2 – 3 2 _ 3 3 · 2 + 3 3 _ 4 3 = = 2 – 7 _ 3 3 – 2 – 11 _ 3 3 · 2 + 15 _ 4 3 = = – 7 _ 3 + 11 _ 3 · 2 + 15 _ 4 3 = = 2 + 4 _ 3 3 · 2 + 15 _ 4 3 = + 5 O M, O O O Ó Komplettlösung nz856z O Ó Arbeitsblatt f6s9xy Rechne zuerst in der eckigen Klammer! 39 B Die rationalen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Æ  Informatische Bildung Dein Taschenrechner kann auch mit negativen Zahlen rechnen. Hier musst du genau zwischen Rechen- und Vorzeichen unterscheiden: Rechenzeichen: Vorzeichen: Die Rechnung – 8 – (– 4) gibst du z.B. so ein: 8 4 193 Du siehst hier eine Tastenkombination für den Taschenrechner. i) Welche Rechnung wurde hier eingegeben? ii) Wie lautet das richtige Ergebnis? iii) Überprüfe durch Eingabe in deinen Taschenrechner. a) 5 3 b) 5 3 4 c) 2 2 9 6 d) 3 8 3 7 2 e) 3 2 1 0 5 5 f) 2 2 5 5 194 Berechne das Ergebnis und kontrolliere anschließend mit dem Taschenrechner. a) – 84 – (– 59) = b) – 32 + (– 899) = c) –714 + (– 839) = d) – 659 + (– 844) = e) (− 12) · (− 14) = f) (− 48) · (+ 12) = g) (− 57) · (− 39) = h) (+ 13) · (− 17) = i) (− 1 002) · (− 3) = j) (+ 846) : (− 47) = k) (− 5 700) : (− 300) = l) (− 9 801) : (− 99) = 195 Berechne die Ergebnisse und überprüfe mit dem Taschenrechner. a) – 18 – 4 : (– 2) = b) – 32 + (– 14) · (– 16) = c) – 1,8 – 4,2 : (– 2,1) = d) – 95 : (– 5) – (– 44) : (– 10) = e) – 77 + 39 : (– 3) = f) – 12 · (– 12) – (– 84) : (– 2) = 196 Gib die einzelnen Rechnungen in den Taschenrechner ein. Beschreibe, was sich in der Angabe und beim Ergebnis bei jeder Rechnung ändert. a) (− 124) · (+ 3) = (− 124) · (+ 2) = (− 124) · (+ 1) = (− 124) · 0 = (− 124) · (− 1) = (− 124) · (− 2) = (− 124) · (− 3) = (− 124) · (− 4) = b) (+ 325) · (+ 3) = (+ 325) · (+ 2) = (+ 325) · (+ 1) = (+ 325) · 0 = (+ 325) · (− 1) = (+ 325) · (− 2) = (+ 325) · (− 3) = (+ 325) · (− 4) = 197 Bei der Eingabe in den Taschenrechner ist ein Fehler passiert. Erkläre, was falsch gemacht wurde. a) 3 7 2 8 b) 5 5 2 7 3 Dein Taschenrechner kann auch mit Brüchen rechnen. Dafür musst du diese Taste verwenden. Möchtest du eine gemischte Zahl eintippen muss du 7 drücken. Mit den Pfeiltasten kannst du dann zum Zähler und Nenner steuern. Drücke mit der Pfeiltaste nach rechts um weitere Rechenoperationen einzutippen. Beispiel: 2 _ 3 + 3 _ 4 = 2 3 3 4 Drückt man danach die Taste wird das Ergebnis als Dezimalzahl ausgegeben. DI O O O DI 40 Digi Rechnen mit rationalen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

198 Berechne und überprüfe mit dem Taschenrechner. a) 2 – 5 _ 9 3 + 2 – 2 _ 5 3 = b) 2 + 6 _ 7 3 – 2 + 1 _ 4 3 = c) 2 – 9 _ 12 3 – 2 – 3 _ 5 3 = d) 2 – 3 _ 4 3 + 2 – 2 _ 5 3 = e) 2 – 4 _ 5 3 · 2 + 20 _ 6 3 = f) 2 – 7 _ 8 3 · 2 – 20 _ 35 3 = g) 2 + 3 _ 7 3 : 2 – 3 _ 21 3 = h) 2 – 15 _ 5 3 : 2 – 20 _ 7 3 = 199 Berechne mit dem Taschenrechner und ordne die richtigen Ergebnisse zu. 2 + 2 3 _ 8 3 + 2 + 2 1 _ 12 3 · 2 – 3 5 _ 6 3 = 2 – 12 1 _ 3 3 – 2 + 3 2 _ 3 3 · 2 + 3 3 _ 4 3 = 2 + 2 5 _ 8 3 + 2 + 4 8 _ 12 3 · 2 – 3 4 _ 6 3 = – 101 _ 18 – 26,083 – 1043 _ 72 – 5,61 – 14,486 – 313 _ 12 200 Gib die Tastenkombination in deinen Taschenrechner ein. Erkläre dein Ergebnis. a) 7 3 4 5 b) 7 7 8 9 201 In den beiden Graphiken sind die Ausgaben und die Einnahmen Österreichs aus dem Jahr 2022 nach Bereichen dargestellt. Verwende zum Lösen dieser Aufgaben einen Taschenrechner. a) Wie groß waren die Einnahmen Österreichs im Jahr 2022 ungefähr? b) Wie groß waren die Einnahmen Österreichs im Jahr 2022 ungefähr? c) Ziehe von den Einnahmen aus dem Jahr 2022 die Ausgaben ab. Was bedeutet dieses Ergebnis? Einnahmen in Milliarden Euro Sozialbeiträge Einkommen- und Vermögensteuern Produktions- und Importabgaben Produktionserlöse Sonstige laufende Transfers Vermögenseinkommen Vermögenstransfers Subventionen 0 10 20 30 40 50 60 70 (Quelle: https://de.statista.com/statistik/daten/studie/889590/ umfrage/staatseinnahmen-in-oesterreich-nach-bereichen/) (Quelle: https://de.statista.com/statistik/daten/studie/889603/ umfrage/staatsausgaben-in-oesterreich-nach-bereichen/ 202 In der Abbildung sieht man einen Teil des Kontoauszugs von Herrn Meier. Sein aktueller Kontostand beträgt 6714 €. Verwende einen Taschenrechner. i) Wie hoch waren seine Ausgaben laut diesem Kontoauszug? ii) Gib seinen Kontostand nach dem 11.4.2024 an. O O DI O, DI Ausgaben in Milliarden Euro Soziale Sicherung Gesundheitswesen Wirtschaftliche Angelegenheiten Allgemeine öffentliche Verwaltung Bildungswesen Öffentliche Ordnung und Sicherheit Freizeitgestaltung, Sport, Kultur und Religion Verteidigung Umweltschutz Wohnungswesen und kommunale Gemeinschaftsdienste 0 20 40 60 80 100 O, DI Musterbank Konto-Nr. 12345678 BLZ 910 111 21 Musterbank Auszug Nr. 1 Datum Buchungstext Betrag 01.04.2024 Kreditrate – 419.– 02.04.2024 Gehalt + 2 445,39.– 04.04.2024 Miete – 845,87.– 08.04.2024 Einkauf – 278,53.– 09.04.2024 Handy – 29,99.– 11.04.2024 Überweisung – 351,78.– Musterstadt, den 06.11.2022 16:52 Uhr Saldo  Wirtschafts-, Finanz- und Verbraucher/innenbildung Informatische Bildung 41 Digi Rationale Zahlen und der Taschenrechner Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Die rationalen Zahlen Rationale Zahlen Die rationalen Zahlen sind alle Zahlen, die sich als Brüche ganzer Zahlen darstellen lassen. Jede rationale Zahl kann man entweder als endliche oder als periodische Dezimalzahl anschreiben. Die Menge der rationalen Zahlen wird mit Q abgekürzt. ℚ = { a _ b | a, b * ℤ, b ≠ 0} – 1 _ 2 = – 0,5 – 3 _ 4 = – 0,75 – 3 _ 8 = – 3 : 8 = – 0,375 – 1 _ 3 = – 0,333… = – 0,3˙ Ordnen von rationalen Zahlen Rationale Zahlen kann man auf zwei Arten vergleichen: – Man vergleicht sie in Bruchdarstellung und bringt sie auf den selben Nenner. – Man wandelt sie in Dezimalzahlen um. – 3 _ 5 … … – 8 _ 10 gemeinsamer Nenner: – 6 _ 10 > – 8 _ 10 w – 3 _ 5 > – 8 _ 10 mit Dezimalzahlen: – 0,6 > – 0,8 w – 3 _ 5 > – 8 _ 10 Zahl und Gegenzahl Zwei Zahlen, die sich nur durch das Vorzeichen voneinander unterscheiden, nennt man Gegenzahlen. Den Abstand einer Zahl a zu 0 nennt man Betrag von a und schreibt: |a| Gegenzahl von – 2 _ 3 ist + 2 _ 3 . Gegenzahl + 0,8 ist – 0,8. † – 14,6 † = 14,6 † 2 _ 3 † = + 2 _ 3 Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen Beim Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen gelten dieselben Rechenregeln wie bei ganzen Zahlen. Brüche muss man vorher auf den gemeinsamen Nenner bringen. Die Zähler werden addiert bzw. subtrahiert, die Nenner bleiben unverändert. – 2 _ 3 + 2 – 3 _ 8 3 = – 2 _ 3 – 3 _ 8 = = – 16 _ 24 – 9 _ 24 = – 25 _ 24 = – 1 1 _ 24 Multiplizieren und Dividieren rationaler Zahlen Rationale Zahlen (in Bruchdarstellung) werden multipliziert, indem man die Zähler und die Nenner miteinander multipliziert. Rationale Zahlen (in Bruchdarstellung) werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert. 2 – 4 _ 12 3 · 2 + 2 _ 3 3 = – 8 _ 24 = – 1 _ 3 2 – 3 _ 5 3 : 2 – 2 _ 3 3 = 2 – 3 _ 5 3 · 2 – 3 _ 2 3 = + 9 _ 10 Vorrangregeln Klammern müssen zuerst berechnet werden. Punkt vor Strichrechnung Man rechnet von links nach rechts. − 2 _ 3 + 2 − 3 _ 4 3 : 2 − 6 _ 4 3 = = − 2 _ 3 + 2 − 3 _ 4 3 · 2 − 4 _ 6 3 = − 2 _ 3 + 1 _ 2 = = − 4 _ 6 + 3 _ 6 = − 1 _ 6 42 Zusammenfassung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

ææ Ich kenne die rationalen Zahlen und kann diese beschreiben. 203 Ergänze die Lücken. Die rationalen Zahlen sind alle Zahlen, die man als ganzer Zahlen anschreiben kann. Es sind alle endlichen sowie alle Dezimalzahlen. 204 Gib an, ob die Aussage richtig oder falsch ist. Aussage richtig falsch Jede rationale Zahl ist auch eine natürliche Zahl. æ æ Jede natürliche Zahl ist auch eine rationale Zahl. æ æ Die negativen und die positiven rationalen Zahlen ergeben zusammen die Menge der rationalen Zahlen. æ æ Jede ganze Zahl ist kleiner als 0. æ æ ææ Ich kann rationale Zahlen als Dezimalzahlen und als Bruchzahlen anschreiben. 205 Ergänze die fehlende Darstellung der rationalen Zahlen und kürze so weit, wie möglich. Bruch – 3 _ 4 + 4 _ 5 – 3 _ 8 – 4 _ 20 Dezimalzahl + 0,5 2,3 – 0,25 206 Schreibe den Bruch als Dezimalzahl an. a) – 4 _ 9 = b) – 5 _ 7 = ææ Ich kenne den Betrag und die Gegenzahl einer rationalen Zahl. 207 Ergänze den Lückentext. Der Betrag der Zahl – 3 _ 4 ist und man schreibt . Die Gegenzahl von – 3 _ 4 ist . ææ Ich kann rationale Zahlen auf der Zahlengeraden darstellen. 208 Gib die auf der Zahlengeraden markierten Zahlen in Bruch- und Dezimalschreibweise sowie den Strichabstand und die Schrittweite an. Strichabstand: Schrittweite: A = , B = , C = , D = 209 Zeichne eine Zahlengerade und markiere auf dieser die angegebenen Zahlen. – 1 _ 4 – 3 _ 4 + 0,25 0,75 Ó Komplettlösung nz9dj7 DI DI O DI DI DI A –3 –2 B C D O 43 B Die rationalen Zahlen Selbstkontrolle Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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