92 Die Subtraktion ist die Umkehroperation der Addition. Daher können die Ergebnisse von Subtraktionsaufgaben aus den Ergebnissen von Additionsaufgaben abgeleitet werden. Aus diesem Grund wird die Subtraktion in der Regel im Anschluss an die Addition behandelt. Das ZAHLENBUCH folgt dieser Tradition, allerdings nicht uneingeschränkt. Die Autoren sind sich bewusst, dass die Addition und die Subtraktion in der operativen Rechendidaktik von Arnold Fricke von Anfang an im Zusammenhang behandelt wurden. Auch ist ihnen bekannt, dass es in der japanischen Rechendidaktik einzelne Stimmen gibt, die sogar für eine Behandlung der Subtraktion vor der Addition plädieren, weil die Subtraktion schwieriger als die Addition ist. Um diesen Argumenten Rechnung zu tragen, werden im ZAHLENBUCH operative Beziehungen zwischen Addition und Subtraktion schon vor den Themenblöcken zur Addition und Subtraktion hergestellt: Zum Beispiel stellen die Schulbuchseiten und Blitzrechenübungen zu „Immer 10/Immer 20“ (S. 26/27) sowie zum „Zerlegen“ (S. 28/29) schon einen engen Bezug zwischen beiden Operationen her, wie sich auf den folgenden Seiten noch deutlicher zeigen wird. Weiter ist anzumerken, dass nach dem Themenblock „Einführung in die Subtraktion“ noch zwei Themenblöcke („Addieren und Subtrahieren“, sowie „Aufgaben vergleichen“) folgen, in denen die Operationen explizit verzahnt werden, was sich auf die weiteren Durchgänge durch diese Themen günstig auswirkt. Insbesondere sei hier auf die Übungsformate „Rechendreiecke“ und „Zahlenmauern“ hingewiesen, in denen sich die Beziehungen zwischen den Rechenoperationen besonders gut herstellen lassen. Besonderheiten der Subtraktion Die Subtraktion unterscheidet sich von der Addition formal dadurch, dass die beiden Zahlen auf der einen Seite des Gleichheitszeichens einen unterschiedlichen Status haben, was sich schon daran zeigt, dass für die Subtraktion nicht das Vertauschungsgesetz gilt. Daher ist es besonders wichtig, dass die Handlungen, die der Subtraktion zugrunde liegen, sorgfältig geklärt werden. Ein Rechensatz wie 8 – 2 muss strikt von links nach rechts gelesen und mit Handlungen verbunden werden: Die Zahl 8 ist durch eine Menge (z. B. von Plättchen) gegeben. Das Minuszeichen zeigt an, dass etwas weggenommen oder abgedeckt wird. Die hinter dem Minuszeichen stehende Zahl zeigt an, wie viel weggenommen oder abgedeckt wird. Die Anzahl der verbleibenden Plättchen steht als Ergebnis auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens. Genauso wenig wie man bei der Addition das Pluszeichen nur als „hinzufügen“ und das Gleichheitszeichen nur als „ergibt“ verstehen darf, darf man bei der Subtraktion das Minuszeichen nicht nur als „wegnehmen“ (insbesondere des vorher Hinzugefügten) und das Gleichheitszeichen nur als „ergibt“ interpretieren. Das Minuszeichen kann auch „abdecken“ bedeuten. Weiter muss das Wegnehmen oder Abdecken von Plättchen auch nicht immer „von rechts“ erfolgen. Von Anfang an muss also im Auge behalten werden, dass die Subtraktion als Umkehrung der Addition in zwei Varianten vorkommt: als Abziehen und als Ergänzen. Dass die Division als Umkehrung der Multiplikation zwei Aspekte hat, das Aufteilen und das Verteilen, ist allgemein bekannt und wird in den Schulbüchern berücksichtigt. Die Erkenntnis, dass der Fall bei der Subtraktion genauso liegt, ist noch nicht so weit verbreitet. Eins nach dem anderen Angesichts dieser Komplexität der Subtraktion verbietet es sich, alle ihre Besonderheiten auf einen Schlag zu behandeln. Der richtige Weg besteht daran, bei den verschiedenen Durchgängen durch die Subtraktion eine Besonderheit nach der anderen einzubeziehen und das Verständnis zu erweitern. Auf später aufgeschoben wird insbesondere der Aspekt „Ergänzen“, für den eine eigene Seite vorgesehen ist (Seite 104). DIE BEZIEHUNG „TEIL-GANZES“ Um die operativen Beziehungen zwischen Addition und Subtraktion deutlich zu machen, ist es sinnvoll, das Abdecken einer Teilmenge gegenüber dem Wegnehmen zu betonen. In der angelsächsischen Didaktik spricht man hier von der Notwendigkeit die Beziehung „Teil-Ganzes“ zu betonen. Was bedeutet das für den Unterricht? Wenn man 8 Plättchen legt und dann 2 Plättchen wegnimmt, sind diese 2 Plättchen verschwunden. Man sieht nur noch das Ergebnis: 6 Plättchen. Wenn dagegen 8 Plättchen gelegt und 2 davon nur abgedeckt werden, sieht man zwar auch nur noch das Ergebnis 6. Die 2 abgedeckten Plättchen sind aber trotzdem immer noch präsent. Man braucht die Abdeckung nur zur Seite schieben, um wieder die ursprüngliche Anzahl 8 herzustellen. Bei dieser Interpretation der Subtraktion ist eine enge Beziehung zum Zerlegen gegeben: Eine Zahl wird in zwei Zahlen zerlegt. Dazu kann man jeden Teil der Zahl abdecken, so dass zwei Subtraktionsaufgaben entstehen. Diese operativen Beziehungen werden bereits auf Seite 81 explizit angesprochen. Themenblock Einführung der Minusaufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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