66 Es ist kaum zu glauben, trifft aber zu, dass die gesamte Addition und das „rechnende Zählen“ als mündliche Vorform der Addition auf lediglich zwei Rechengesetzen beruhen. Im ZAHLENBUCH werden sie von Anfang an zur Geltung gebracht: Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz): a + b = b + a und Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz): a + (b + c) = (a + b) + c. Die bewusste Nutzung dieser Gesetze erleichtert das Rechnen schon in der Volksschule, natürlich nicht in ihrer formalen Darstellung, sondern in der operativen Deutung nach Arnold Fricke. „Operativ“ heißt, dass man die in diesen Gesetzen verborgenen Handlungen zur Geltung bringt. Dies gelingt z. B. dadurch, dass man Zahlen durch Plättchenmengen darstellt, mit denen man konkret operieren kann. Wendeplättchen erlauben es, Summanden farblich zu unterscheiden. Die beiden Gesetze folgen aus der Tatsache, dass die Anzahl der Plättchen einer Menge nicht von der räumlichen Lage der Plättchen abhängt. Vertauschungsgesetz: Für die Anzahl der Plättchen einer aus zwei Teilmengen zusammengesetzten Menge ist es gleichgültig, ob man erst die eine und dann die andere Teilmenge legt. Verbindungsgesetz: Teilmengen einer Menge von Plättchen kann man beliebig zerlegen und die Teile beliebig neu kombinieren Auch dies ändert an der Gesamtzahl der Plättchen nichts. Bei diesem Themenblock wird die Addition lediglich eingeführt. Es wäre absurd anzunehmen, die Kinder sollten am Ende des Blocks das gesamte Einspluseins können. Es handelt sich hier um den ersten Durchgang, dem weitere folgen werden, besonders im Themenblock „Zahlen und Aufgaben vergleichen“, wo das Einspluseins mithilfe der Einspluseinstafel im Zusammenhang behandelt wird. Natürlich gehört das „Einspluseins“ auch zum „Blitzrechnen“ und wird später automatisiert. Anwendung der Rechengesetze auf das Rechnen Das Vertauschungsgesetz ist leicht anzuwenden. Man nutzt es um die größere von zwei Zahlen als ersten Summanden zu platzieren. Dies führt in der Regel zur Vereinfachung von Rechnungen. Mehr Aufmerksamkeit erfordert das Verbindungsgesetz, da es mindestens drei verschiedene Interpretationen erlaubt: 1. Interpretation: Eine Summe kann schrittweise berechnet werden, indem man den zweiten Summanden zerlegt und zuerst den ersten, dann den zweiten Teilsummanden addiert. Das ist die naheliegende Anwendung des Gesetzes. Beispiel: 7 + 5 = 7 + (3 + 2) = (7 + 3) + 2 = 10 + 2 = 12. Am Zwanzigerfeld wird zuerst 7 mit roten Plättchen gelegt. Dann werden 5 blaue Plättchen dazugelegt, 3 in der ersten, 2 in der zweiten Reihe. Nach der ersten Hinzufügung hat man das Zwischenergebnis 10. 2. Interpretation: Wenn ein Summand einer Summe um einen bestimmten Wert erhöht wird, erhöht sich die Summe genau um diesen Wert. Beispiel: 7 + 8 = 7 + (7 + 1) = (7 + 7) + 1 = 14 + 1 = 15 Am Zwanzigerfeld wird zuerst 7 + 7 gelegt. Wenn zur ersten 7 ein Plättchen hinzugefügt wird, erhöht sich nicht nur dieser Summand, sondern auch die Summe um 1. 3. Interpretation: Wenn ein Summand auf Kosten eines anderen erhöht wird, bleibt die Summe gleich. Beispiel: 10 = 5 + 5 = 5 + (2 + 3) = (5 + 2) + 3 = 7 + 3 = 10 Am Zwanzigerfeld wird 5+5 gelegt. Dann werden von der zweiten 5 zwei Plättchen gewendet. Ein Summand nimmt um genauso viel zu wie der andere abnimmt. Die Summe bleibt gleich. Freie Wahl von Rechenwegen Die beiden obigen Gesetze stehen fest, aber der Natur mathematischer Gesetze entsprechend ist ihre Anwendung frei. Nicht nur der Unterricht in der Volksschule sondern auch der spätere Algebraunterricht profitiert davon, dass die Kinder verschiedene Rechenwege kennenlernen. Dem Rechnen feste Wege vorzuschreiben, z. B. „den Zehnerübergang“, ist ein mathematischer Kunstfehler. Natürlich heißt dies nicht, dass jedes Kind möglichst viele verschiedene Wege gehen soll. Es heißt nur, dass es sich der Existenz verschiedener Wege bewusst sein und dieses Wissen für sich individuell nutzen darf. Einfache Aufgaben Das Verbindungsgesetz erlaubt es, schwierigere Einspluseinsaufgaben auf folgende einfachen Aufgaben zurückzuführen, die zum größten Teil schon behandelt wurden: – Addition von Zahlen im Fünferraum (Wie viele?) – Addition von 1 (Zahlenreihe) – Ergänzen bis 10 (Immer 10) – Addition von 5 (Kraft der Fünf) – Verdopplungsaufgaben Alle diese Aufgaben gehören, wie in den Klammern angedeutet, zum „Blitzrechnen“, zu dem auch noch das ebenfalls schon behandelte „Zerlegen“ gehört, das bei der Anwendung des Verbindungsgesetzes eine entscheidende Rolle spielt. Wie die neueren Forschungen zur Rechenschwäche zeigen (z.B. U. Häsel-Weide, M. Gaidoschik), ist es die beste Hilfe für schwächere Kinder, wenn sie in der Ableitung schwieriger Aufgaben aus einfachen unterstützt werden. Schriftliche Formulierung von Plusaufgaben Ganz neu bei diesem Themenblock ist die symbolische Notation von Plusaufgaben mithilfe des Gleichheitszeichens und die zugehörige Sprechweise. Das Pluszeichen ist den Kindern schon bekannt. Jetzt kommt das Gleichheitszeichen dazu. Schreib- und Sprechweisen sind in der Mathematik immer gewöhnungsbedürftig. Auch beim Gleichheitszeichen werden manche Kinder eine Weile brauchen, bis sie diese neue „Sprachform“ verstehen und beherrschen. Themenblock Einführung der Addition Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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