1 Das Zahlenbuch Begleitband für Lehrerinnen und Lehrer
Das Zahlenbuch 1, Begleitband für Lehrerinnen und Lehrer Die Bearbeitung erfolgte auf der Grundlage von: Das Zahlenbuch 1, Didaktischer Kommentar, Ernst Klett Verlag, 1. Auflage 2017, ISBN 978-3-12-201743-9 (Autorinnen und Autoren: Erich Ch. Wittmann, Gerhard N. Müller, Marcus Nührenbörger, Ralph Schwarzkopf, Melanie Bischoff, Daniela Götze, Birgit Heß); Das Zahlenbuch 1 Bayern, Didaktischer Kommentar, Ernst Klett Verlag, 1. Auflage 2021, ISBN 978-3-12-202443-7 (Autorinnen und Autoren: Erich Ch. Wittmann, Gerhard N. Müller, Marcus Nührenbörger, Ralph Schwarzkopf, Melanie Bischoff, Daniela Götze, Birgit Heß) 1. Auflage (Druck 0001) © by Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart, Bundesrepublik Deutschland, 2017 © der Lizenzausgabe: Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2023 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Philipp Krammer, Wien Herstellung: Harald Waiss, Wien Umschlaggestaltung: Koma Amok, Stuttgart Umschlagfoto: Jessica Hath, Freiburg Layout: Koma Amok, Stuttgart Illustrationen: Juliane Assies, Berlin Satz: Alexander Della Giustina, Leipzig; Arnold & Domnick, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-11986-5 (Das Zahlenbuch 1, Begleitband für Lehrerinnen und Lehrer) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1 Das Zahlenbuch Begleitband für Lehrerinnen und Lehrer von Erich Ch. Wittmann, Gerhard N. Müller, Marcus Nührenbörger und Ralph Schwarzkopf Bearbeitung und Beratung: Doris Bayer Albert Ellensohn Sabine Eller Angelika Kittner Franz Korn www.oebv.at Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2 Erste Orientierung 3 Differenzierung 3 Eigenaktives und interaktives Lernen 3 Übung der Basiskompetenzen 3 Förderung von Kindern mit Schwierigkeiten beim Mathematiklernen 4 Förderung mathematisch interessierter und/oder begabter Kinder 4 Allgemeine Praxishinweise 5 Lernumgebungen und didaktische Situationen 5 Unterricht in inklusiven Klassen 6 Unterricht in altersgemischten Klassen 6 Stoffverteilung 6 Einrichtung von Kleingruppen 7 Potenzial zum selbstgesteuerten Üben 7 Potenzial zur Sprachförderung 7 Themenblöcke 7 Arbeits- und Demonstrationsmittel in Band 1 8 Arbeitsmittel 8 Demonstrationsmittel 8 Hinweise zu den Doppelseiten im Schulbuch 9 Themenblock Entwicklung des Zahlbegriffs 10 Themenblock Geometrie 40 Themenblock Orientierung im Zwanzigerraum 48 Themenblock Größen und Sachrechnen 62 Themenblock Einführung der Addition 66 Themenblock Einführung der Subtraktion 92 Themenblock Addieren und Subtrahieren 112 Themenblock Zahlen und Aufgaben vergleichen 132 Grundkonzeption des ZAHLENBUCHs 164 1. Konzentration des Stoffes auf die tragenden Grundideen 164 2. Aktiv-entdeckendes und soziales Lernen 166 3. Grundlegendes, automatisierendes und produktives Lernen 168 4. Die Förderung von Kindern mit unterschiedlichen Voraussetzungen nach dem Prinzip von der natürlichen Differenzierung 170 5. Lern- und Leistungskontrollen 172 Inhalt Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 Erste Orientierung Das NEUE ZAHLENBUCH basiert auf dem langjährig bewährten und im Dialog mit der Praxis entwickelten didaktischen Konzept des ZAHLENBUCHs. Zugleich führt es dieses insofern weiter, als dass es eine umfassende Unterstützung für einen diagnosegeleiteten, differenziert strukturierten Mathematikunterricht bietet, der den gegenwärtigen Anforderungen im Kontext von Heterogenität und Inklusion sowie einer Orientierung an prozess- und inhaltsbezogenen Kompetenzen gerecht wird. Wichtig für die Arbeit in der täglichen Praxis ist es, die Eckpfeiler des ZAHLENBUCHs zu kennen, die grundlegend sind für einen kind- und fachgerechten guten Mathematikunterricht und Lösungen für aktuelle Schlüsselprobleme des Unterrichts anbieten. Diese seien hier kurz erläutert. Differenzierung Die häufig aus der Praxis zurück gemeldeten Methoden zu Differenzierung bestehen darin, dass die Lehrkraft Gruppen von Kindern oder einzelnen Kindern Aufgaben für ein bestimmtes Lernziel zuweist, die nach Einschätzung der Lehrkraft dem jeweiligen Lernstand entsprechen. Es gibt Werke, bei denen die Kinder weitgehend unabhängig voneinander Heftchen für Heftchen abarbeiten. Dadurch werden aber nicht nur die Kompetenzziele verfehlt, auch soziales Lernen wird verhindert. Individuelle Förderung wird verwechselt mit individueller Beschäftigung. Im ZAHLENBUCH wird ein grundsätzlich anderer Weg der Differenzierung beschritten: Das Buch ist so konzipiert, dass Kinder mit unterschiedlichen Voraussetzungen, Interessen und Möglichkeiten gemeinsam damit arbeiten können und gleichwohl individuell gefördert werden. Die Differenzierung ergibt sich aufgrund des besonderen Aufbaus und der Auszeichnung der Aufgaben von selbst: Das ZAHLENBUCH bietet eine Grundlage für den Erwerb der Kenntnisse und Fertigkeiten, die für das weitere Lernen notwendig und daher für alle Kinder in gleicher Weise verbindlich sind. Alle Themenblöcke enden mit einem Rückblick, in dem diese Basiskompetenzen noch einmal aufgegriffen und gesichert werden. Auf dieser Basis bauen Lernangebote auf, die sich ebenfalls an alle richten, aber von jedem Kind nach seinen Möglichkeiten individuell wahrgenommen werden können und dürfen (natürliche Differenzierung). Die Differenzierung zeigt sich nicht allein in einer unterschiedlichen Anzahl an bearbeiteten Aufgaben, sondern gerade auch darin, dass die Lernenden auf unterschiedliche Weise mathematische Zusammenhänge erkennen und darstellen sowie erörtern und reflektieren können. Ferner bietet das ZAHLENBUCH sowohl zahlreiche offene Aufgaben an, die von den Kindern mit selbstgewählten Zahlen und Umfang bearbeitet werden, als auch die wiederkehrenden Seiten zum Forschen und Finden, die nach einem niederschwelligen Einstieg Vertiefungen der inhaltlichen und prozessbezogenen Kompetenzen zum Ziel haben. Die Aufgaben im Zahlenbuch weisen einen unterschiedlichen Grad an Komplexität auf und können so eingeteilt werden: – Grundlagen aufbauen und sichern, – Zusammenhänge entdecken und anwenden, – Beziehungen reflektieren und nutzen, – selbstgesteuert üben und Aufgaben produzieren. Die Kinder werden natürlich bei der Bearbeitung der Übungen unterschiedlich weit kommen. Das ist aber kein Problem, sondern eine Lernchance: Gerade wegen der unterschiedlichen Bearbeitungen ist ein sozialer Austausch möglich, den wir als hohes Gut ansehen. Wenn beispielsweise die Ergebnisse von Rechnungen an der Tafel zusammengetragen werden, damit auf dieser Grundlage Muster erkannt und beschrieben werden, können auch Kinder einbezogen werden und den Anschluss finden, die selbst nur wenige Rechnungen durchgeführt haben. Eigenaktives und interaktives Lernen Die Lernenden erhalten umfangreiche Unterstützungen beim Entdecken und Verstehen der mathematischen Inhalte. Dazu werden die Kinder zu Beginn eines Themenblocks stets angeregt, eigenständig inhaltliche Vorstellungen zu entwickeln und Lösungen zu erproben, die an ihre Vorerfahrungen anknüpfen. Die Eigenaktivität der Lernenden in der Auseinandersetzung mit Materialien ist grundsätzlich von besonderer Bedeutung. Aber sie darf sich nicht auf konkrete Handlungen mit Materialien beschränken. Diese sind zugleich verbal zu beschreiben, bildlich darzustellen oder symbolisch zu notieren, um langfristig verinnerlichte Vorstellungen aufzubauen, die eigenständig verändert werden können. Diese Vernetzung der Darstellungsebenen ist eine wesentliche Voraussetzung für die Entwicklung mathematischer Kompetenzen. Zugleich müssen die Kinder aber ihre Ideen mit anderen Kindern austauschen, um neue Erkenntnisse aufzubauen oder zu sichern. Daher bieten wir im ZAHLENBUCH von Anfang an zahlreiche Aktivitäten an, gemeinsam mit anderen Kindern und auch spielerisch mathematische Handlungen durchzuführen, Fragestellungen und Lösungswege zu erkunden und über Mathematik zu sprechen. Übung der Basiskompetenzen Zum Grundangebot gehört der „Blitzrechenkurs“ mit zehn Übungen pro Schuljahr, der ständig auf der Tagesordnung stehen muss. Allen Beteiligten muss bewusst gemacht werden, dass es sich lohnt, an dieser Stelle intensiv und fortgesetzt zu üben. Hilfreich ist hier der Vergleich mit dem Sport, wo Fitness- und Konditionsprogramme eine Selbstverständlichkeit sind. Wer sich körperlich fit hält, kann körperlich etwas leisten. Wer in der Mathematik die Basiskompetenzen übt, kann damit seine mathematische Leistung steigern. Zum Wesen der Basiskompetenzen gehört es ja, dass sie ständig benutzt werden. Jede Blitzrechenübung wird an der entsprechenden Stelle im Schulbuch eingeführt. Die Kinder lernen dabei, sich gegenseitig Aufgaben zu stellen. Die Praxis des Blitzrechnens wird durch die Rechenkartei „Blitzrechnen. Basiskurs Zahlen“ und die Blitzrechnen-App unterstützt. Die Rechenkartei für jedes Schuljahr enthält ca. 400 Aufgabenkarten. Auf der Vorderseite jeder Karte ist eine Aufgabe symbolisch und bildlich dargestellt. Die Lösung steht auf der Rückseite. Mit der Kartei können alle Kinder trainieren. Sie kann auch eine Hilfe sein für externe Rechentrainer. Die App enthält zu allen Blitzrechenübungen interaktive Übungen. Die Kinder können somit jederzeit per Tablet oder Smartphone üben. Auch im Sachrechnen und in der Geometrie gibt es Basiskompetenzen, die besondere Übungsanstrengungen erfordern. Hierfür stehen die Karteien „Sachrechnen im Kopf. Basiskurs Größen 1/2 und 3/4“ sowie „Geometrie im Kopf. Basiskurs Formen“ (ab Klasse 3) zur Verfügung. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
4 Förderung von Kindern mit Schwierigkeiten beim Mathematiklernen Der Erfolg in der Mathematik steht und fällt mit dem Aufbau von Verständnis. Was man verstanden hat, kann man besser anwenden und behalten. Damit hat man auch für das Weiterlernen eine bessere Grundlage. Dies kann man nicht oft genug betonen. Wegen seines auf Verständnis ausgerichteten Ansatzes bewährt sich das ZAHLENBUCH gerade bei Kindern, die Schwierigkeiten beim Aufbau mathematischer Verständnisgrundlagen zeigen, wie empirische Untersuchungen zeigen. Mehrere Elemente des Werkes wirken sich hier positiv aus: – der schlüssige Aufbau des Werkes – die wiederkehrende, Lehr-/Lernstrukturen und übersichtliche Doppel-Seitenstrukturierung, die den Aufbau eines ganzheitlichen mathematischen Verständnisses unterstützen, – die kleine Anzahl gut ausgewählter Anschauungsmittel, die langfristig tragbar sind und als Hilfs- und Erkenntnismittel genutzt werden können, – die prägnanten zeichnerischen Darstellungen und Sprechweisen als zugängliche Anregung für mathematische Aktivitäten, – die durchgehenden Übungsformate, die eine Konzentration auf den Inhalt ermöglichen, – die vielen offenen Aufgaben und reflektiven Übungen, die eine Bearbeitung auf unterschiedlichen Niveaus erlauben. All dies hilft auch den Erklärungsbedarf zu reduzieren und trägt zur Entlastung der Lehrkräfte bei. Darüber hinaus ist gerade auch der Blitzrechenkurs ein eingebautes Förderprogramm für die Kinder, die Schwierigkeiten beim Mathematiklernen zeigen und ausreichend Zeit benötigen. Denn er umfasst nicht nur das übliche Kopfrechnen, sondern auch grundlegende Zahlvorstellungen und Zahlbeziehungen, die für das Verständnis entscheidend sind. Der Kurs konzentriert sich auf die Basiskompetenzen, die ja so heißen, weil von ihnen andere Kompetenzen abhängen. Für eine intensive Übung der grundlegenden Anforderungen kann auch die Reihe „Verstehen und Trainieren. Grundaufgaben zum ZAHLENBUCH“ ergänzend zum Arbeitsheft eingesetzt werden. In der Reihe geht es nicht um das bloße Rechentraining, sondern um Üben im Hinblick auf Verständnis. Für das überarbeitete ZAHLENBUCH wurden zur Förderung von Kindern mit größerem Unterstützungsbedarf zudem noch weitere ergänzende Materialien entwickelt: (1) Der Förderkommentar Lernen bietet Anregungen dafür, wie schwächere Kinder bei der Bewältigung der mathematischen Grundlagen bei der Arbeit am ZAHLENBUCH unterstützt werden können. Dazu werden ausgewählte Seiten des ZAHLENBUCHs, auf denen die grundlegenden mathematischen Inhalte thematisiert werden, um weitere Förderseiten ergänzt. Besondere Förderansätze werden anhand der zugehörigen ZAHLENBUCHseiten und mit Hilfe eines eigens dazu entwickelten zusätzlichen Förderhefts aufgezeigt. (2) Der Förderkommentar Sprache widmet sich einer weiteren Schwierigkeit bei der Organisation des heutigen Mathematikunterrichts: Für viele Kinder ist die Sprache ein Problem für die erfolgreiche Teilhabe am (Mathematik-)unterricht, so dass mehr und mehr die Anforderungen für einen sprachsensiblen Unterricht in den Vordergrund rücken. Im Förderkommentar finden sich zu ausgesuchten Themenbereichen und Schulbuchseiten des ZAHLENBUCHs Hinweise für die Identifizierung und Überwindung sprachlicher Hürden im Mathematikunterricht. Wir möchten darauf hinweisen, dass die Förderkommentare für das deutsche Zahlenbuch konzipiert wurden, aber auch über den Verlag öbv (siehe www.oebv.at) erhältlich sind. Daher sind Seitenzuordnungen in den Förderkommentaren nicht immer ident oder vollständig, dennoch sind sie eine wertvolle Unterstützung für den Unterricht mit dem Zahlenbuch. (3) Die Lernzielkontrollen werden um eine Variante ergänzt, die für Lernende mit Schwierigkeiten eine zugängliche Form der Leistungskontrolle darstellen kann, da hierbei der Zahlenraum und die Anzahl der Aufgaben reduziert sind. Das Ziel aller Zusatzmaterialien liegt ganz klar darin, die Kinder weitestgehend im Unterricht zu fördern und den verstehensorientierten Ansatz des ZAHLENBUCHs für die Überwindung der inhaltlichen und sprachlichen Schwierigkeiten fortzuführen. Mit Blick auf den inklusiven Unterricht empfehlen wir dringend, dass bei Kindern mit zusätzlichem Förderbedarf primär auf die Möglichkeiten des ZAHLENBUCHs und seiner Begleitmaterialien zurückgegriffen wird, da nur dadurch das gerade für diese Kinder wichtige, inhaltlich stimmige Lernen gesichert werden kann. Von besonderer Bedeutung für gemeinsames Lernen im inklusiven Unterricht sind folgende Kernmerkmale des neuen ZAHLENBUCHs: – die Akzentuierung der Basiskompetenzen und die Fokussierung auf materialgestützte Zugänge, – die klare visuelle Strukturierung und Konzentration auf wenige, nachhaltig tragfähige Anschauungsmittel, – die sprachsensible Aufbereitung von Aufgabenstellungen und die Unterstützung kommunikativer Lernsituationen und – die klar strukturierten Anregungen und Anleitungen zum eigenständigen und kooperativen Lernen. Förderung mathematisch interessierter und/oder begabter Kinder Mathematisch interessierte und begabte Kinder werden im ZAHLENBUCH durch die zahlreichen Aufgaben zum Erkunden und Beschreiben von mathematischen Problemstellungen gefördert. Dadurch finden sie im Klassenverband kognitiv herausfordernde Anregungen, ohne vom gemeinsamen Thema aller Lernenden getrennt zu werden. Auch werden auf den Seiten zum Forschen und Finden Aufgabenformate vorgestellt, die immer ein Angebot zur vertieften und zusätzlichen mathematischen Auseinandersetzung darstellen. Zur weiteren Förderung steht ferner die Reihe „Probieren und Kombinieren. Igelaufgaben zum ZAHLENBUCH“ zur Verfügung, die aber keinesfalls als exklusives Angebot für diese Gruppe zu verstehen ist. Auch andere Kinder können und sollen sich an diesen Aufgaben versuchen. Probieren ist eine mathematische Grundstrategie, die gerade dann eingesetzt wird, wenn man noch keine Lösungsstrategien kennt. Da das ZAHLENBUCH mathematisch gehaltvoll ist, können mathematisch interessierte oder begabte Kinder viele Themen des Buches selbstständig weiterführen. Entsprechend werden diese Kinder insbesondere dadurch gefördert, dass sie das Potenzial der zahlreichen offenen Aufgaben zum selbstgesteuerten Üben voll ausreizen. Zudem werden sie auf den Seiten zum Forschen und Finden angemessene Anreize finden. Erste Orientierung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
5 Allgemeine Praxishinweise In diesem Abschnitt sollen Hinweise vorweg genommen werden, die für den Unterricht generell wichtig sind. Dies erspart bei den Hinweisen zu den einzelnen Seiten Wiederholungen. Im ZAHLENBUCH werden mathematische Grundideen von der Frühförderung beginnend über die Schulstufen hinweg konsequent entwickelt. Dies wird in der Grundkonzeption erläutert. Umfassende mathematikdidaktische Hinweise finden sich auf eingeschobenen Seiten vor jedem Themenblock. Lernumgebungen und didaktische Situationen In den letzten Jahren hat es sich eingebürgert, den Unterricht in „Lernumgebungen“ zu gliedern. Durch diese Bezeichnung kommt zum Ausdruck, dass den Lernenden Spielräume für eigene Aktivitäten geboten werden müssen. Eine Lernumgebung kann kleinere Lernumgebungen enthalten und selbst Teil einer umfassenderen Lernumgebung sein. Das ZAHLENBUCH wurde so konzipiert, dass in der Regel jede Doppelseite als Lernumgebung erscheint. Das betreffende Thema wird in der Überschrift benannt. Man kann die Beschreibung einer Lernumgebung mit einem Theaterstück vergleichen, das aufgeführt werden soll. Die Lehrkraft führt dabei Regie. Als Regisseurin hat sie selbst Freiheiten, die sie nutzen darf und soll. Die in diesem Begleitband unter der Rubrik „Wie kann man vorgehen?“ gemachten Regiehinweise sind daher grundsätzlich nur als Empfehlungen zu verstehen. Für die Unterrichtsorganisation hat sich eine Unterscheidung „didaktischer Situationen“ bewährt, die der französische Didaktiker Guy Brousseau vorgeschlagen hat: 1. Einführung in eine Lernumgebung 2. Aktive Bearbeitung der Aufgaben durch die Kinder 3. Bericht und Diskussion 4. Reflexion (Erklärung eines Lösungswegs, Begründung eines Musters 5. Zusammenfassung („Institutionalisierung“) Der Lehrkraft und den Kindern fallen bei den einzelnen Situationen unterschiedliche Aufgaben zu: Zu 1: Bei der Einführung in eine Lernumgebung geht es darum, die Aufgabenstellung möglichst klar zu beschreiben. Dies geschieht am besten mit Hilfe prägnanter Beispiele. Vor der Arbeit mit dem Buch müssen immer Aktivitäten stehen, die auf die Aufgabenstellungen im Buch vorbereiten. Dafür werden in der Regel einzelne Aufgaben aus dem Buch herausgegriffen. Im ersten Schuljahr müssen Texte, für welche die Lesefähigkeiten der Kinder noch nicht ausreichen, vorgelesen werden. Zu 2: Wenn die Aufgabenstellung verstanden ist, sollen die Kinder möglichst selbstständig arbeiten, alleine, in Zweiergruppen oder in Kleingruppen. Die Lehrkraft muss sich nur vergewissern, ob alle verstanden haben, worum es geht und ggf. steuernd eingreifen. In manchen Fällen arbeitet die gesamte Klasse gemeinsam an einer Aufgabe. Zu 3: Nach Bearbeitung der Aufgabenstellung werden die Ergebnisse z. B. an der Tafel gesammelt, von den jeweiligen Kindern präsentiert, überprüft und gemeinsam geordnet. Beim Austauschen über die verschiedenen Lösungswege und Ergebnisse achtet die Lehrkraft auf die Nutzung einer Fachsprache, indem sie konsequent als sprachliches Vorbild agiert, Fachbegriffe visualisiert und sammelt sowie auf diese regelmäßig verweist. Zu 4: In der Reflexionsphase ist es das Ziel, die Kinder zu Erklärungen von Lösungswegen und zu Begründungen von Mustern anzuleiten. Dazu müssen Impulse gegeben werden, die auf die zentralen mathematischen Inhalte fokussieren, ein Gespräch zwischen den Kindern initiieren und eine breite Beteiligung ermöglichen. Zu 5: Zum Abschluss der Arbeit werden die wichtigen Ergebnisse von der Lehrperson herausgestellt und zusammengefasst. Wie ersichtlich beschreiben diese Situationen die idealtypische Abfolge der Phasen, die bei der Untersuchung einer mathematischen Aufgabenstellung durchlaufen werden. Sie müssen natürlich von der Lehrkraft den faktischen Bedürfnissen des eigenen Unterrichts angepasst werden und hängen auch von den aktuell behandelten Schulbuchseiten ab. Wenn z. B. auf einer Seite nur Übungsaufgaben zu einer vorher eingeführten Fertigkeit gerechnet werden, bedarf es keiner neuen Einführung und die Besprechung kann kurz gehalten werden. Wenn die Kinder in Kleingruppen Blitzrechnen üben, ist nur die Situation 2 relevant. Bei der Überarbeitung des ZAHLENBUCHs wurde verstärkt darauf geachtet, dass die Kinder eine Vielzahl der Übungen in Eigenregie durchführen können – die Betonung des selbstständigen Arbeitens darf aber natürlich nicht bedeuten, dass die Kinder allein gelassen werden. Die unterschiedlichen Rollen der Lehrkraft und der Kinder bei den einzelnen Situationen gehen aus folgender Tabelle hervor: Situation Lehrkraft Kinder Einführung Aufgabe vorstellen und erklären, Probehandeln durchführen, an erste Erkundungen heranführen, Vermutungen sammeln Vorerfahrungen aktivieren, zuschauen, zuhören, mitmachen, Ideen einbringen Aktive Bearbeitung beobachten, Hinweise geben, unterstützen Individuelles Arbeiten, Zusammenhänge erkunden, mit anderen austauschen und ordnen Sammlung der Ergebnisse, Bericht zuhören, nachfragen berichten und vorstellen, zuhören und ordnen, Erkenntnisse systematisieren Reflexion Blick öffnen, anleiten und vernetzen erklären, begründen und auf andere Beiträge eingehen Zusammen- fassung prägnant darstellen zuhören, nachfragen Übung beobachten, Hinweise geben, unterstützen wiederholen und trainieren, automatisieren Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
6 Allgemeine Praxishinweise Unterricht in inklusiven Klassen In inklusiven Klassen kann erfolgreich mit den entsprechenden Jahrgangsbänden und den zusätzlichen Unterstützungsmaterialien des ZAHLENBUCHs gearbeitet werden. Für einen inklusiven Unterricht gelten grundsätzlich die gleichen didaktischen Prinzipien wie für einen guten „nicht-inklusiven“ Mathematikunterricht. Zugleich sind aber einzelne Prinzipien unter der Bedingung des gemeinsamen Lernens womöglich noch stärker hervorzuheben – dies betrifft insbesondere die Differenzierung, die konsequent berücksichtigt werden muss, ebenso die durchgängige Beachtung der unterschiedlichen Darstellungsebenen mit Akzentuierungen auf material- und sprachgestützte Aufgabenstellungen. In diesem Sinne sollte ein inklusiver Mathematikunterricht in erster Linie auf dem grundlegenden mathematikdidaktischen Konzept des ZAHLENBUCHs aufbauen. Um aber allen Kindern gerecht zu werden, bedarf es gezielter Aufmerksamkeit auf die Lernenden, die beim Lernen zusätzliche Unterstützung benötigen. Im Konzept des ZAHLENBUCHs sollen diese Kinder nicht durchgehend an isolierten Aufgabenstellungen getrennt von den anderen Kindern lernen. Vielmehr ist es das Anliegen des ZAHLENBUCHs, die größtmögliche fachliche Teilhabe aller Kinder am Mathematikunterricht zu gewährleisten, ohne individuelle Unterstützungen und auch zeitweilig fokussiertes Arbeiten an spezifischen Grundlagen auszuschließen. Dies gelingt in besonderer Weise, wenn der Mathematikunterricht an den fachlichen Kernideen orientiert ist und somit für alle Kinder wiederkehrend Zugänge zu den Basiskompetenzen ermöglicht. Durch den analogen Aufbau der ZAHLENBÜCHER können auch Kinder, die z. B. in den Klassen 3 oder 4 zieldifferent unterrichtet werden, an den ZAHLENBÜCHERN 1 oder 2 arbeiten, da sich immer wieder inhaltliche Schnittmengen ergeben, die ein gemein sames Lernen an einer mathematischen Grundidee trotz unterschiedlicher ZAHLENBÜCHER ermöglichen (z. B. Aufbau von Zahl- und Operationsvorstellungen in verschiedenen Zahlenräumen). In erster Linie schafft hierbei das Prinzip der natürlichen Differenzierung Möglichkeiten für alle Kinder, auf unterschiedlichen Niveaus an einem gemeinsamen Thema zu arbeiten, ohne einzelne Kinder vollständig im Fach zu separieren. Darüber hinaus sichern materialgestützte Angebote ebenso wie visuelle und sprachliche Unterstützungen bei der Auseinandersetzung mit Aufgabenstellungen zum einen Zugänglichkeit für alle Lernende, zum anderen auch Anregungen für verstehensorientiertes Arbeiten. Zu guter Letzt liefern auch die kooperativen Angebote des ZAHLENBUCHs einen bedeutsamen Eckpfeiler für einen erfolgreichen inklusiven Mathematikunterricht. Denn in der Kultur einer kleinen Lerngruppe können auch Kinder mit besonderen Bedürfnissen unterstützend und kooperativ gefördert werden. Für das überarbeitete ZAHLENBUCH wurden zur Förderung von Kindern mit größerem Unterstützungsbedarf zudem noch die Förderkommentare Lernen und Sprache entwickelt. Diese bieten zusätzliche Hinweise, Anregungen und Aufgabenstellungen, wie einzelne Kinder mit Blick auf die grundlegend für gemeinsames Lernen geeigneten Inhalte des ZAHLENBUCHs unterstützt werden können. Unterricht in altersgemischten Klassen In altersgemischten Klassen kann ebenso erfolgreich mit den entsprechenden Jahrgangsbänden des ZAHLENBUCHs gearbeitet werden. Die einzelnen mathematischen Themen eines Jahrgangs sind parallelisiert aufgebaut, so dass alle Kinder einer altersgemischten Klasse in einen thematischen Block eingeführt werden können. Anschließend arbeiten die Kinder in Einzelarbeit oder in Kleingruppen an spezifischen Fragestellungen, die zum Buch der jeweiligen Jahrgangsklasse passen und zugleich die Aufgabenstellungen in den unterschiedlichen Zahlenräumen verknüpfen. Ebenso wie im inklusiven Mathematikunterricht können auch im altersgemischten Unterricht nicht alle Themen zeitgleich von allen Kindern erlernt werden. Für das altersgemischte Lernen sind aber die Themen von besonderer Bedeutung, zwischen denen es vom Fach her auch Beziehungen gibt. Die Erkundung von Rechenwegen und die damit verbundene geschickte Nutzung von einfachen Aufgaben zur Bearbeitung schwieriger Aufgaben ist sowohl im Zahlenraum bis 20 als auch über 20 für die Kinder bedeutsam. Es kann hierbei sogar als jahrgangsälterer Lernender hilfreich sein, zu sehen, wie man früher gelernt hat und wie die Rechenstrategien im kleineren Zahlenraum für den größeren Zahlenraum nutzbar gemacht werden können. Die jahrgangsjüngeren profitieren zugleich nicht allein von der Unterstützung der erfahreneren Schülerinnen und Schüler, sondern erahnen bereits, wie sinnstiftend die Rechenkünste im kleineren Zahlenraum für das weitere mathematische Treiben sind. Der Unterricht muss unter den Bedingungen des jahrgangsgemischten Mathematiklernens in Abhängigkeit zum jeweiligen mathematischen Thema auf verschiedene Weise organisiert werden: Soll eine Lerngruppe gezielt in eine Lernumgebung eingeführt werden oder sollen nur mit einer bestimmten Lerngruppe Ergebnisse, besprochen, reflektiert bzw. zusammengefasst werden, so müssen die anderen Kinder/Kleingruppen in dieser Zeit selbstständig am ZAHLENBUCH arbeiten. Sollen die Lernenden an parallelen Aufgabenstellungen arbeiten, wird das übergreifende mathematische Thema an Beispielen aus den jeweiligen Zahlenräumen eingeführt. Anschließend arbeiten die Kinder eigenständig an den inhaltlich ähnlichen Aufgabenstellungen der jeweiligen ZAHLENBÜCHER, so dass sogar eine gemeinsame Abschlussreflexion mit allen Kindern der Klasse denkbar wäre. Die Aufgaben zum selbstständigen Mathematiklernen eignen sich schließlich in herausragender Weise zum gemeinsamen altersgemischten Mathematiklernen. Denn die Kinder erfinden Aufgaben und arbeiten miteinander ganz unabhängig vom Einschulungsalter. Inklusiver oder altersgemischter Mathematikunterricht ist ohne Zweifel anspruchsvoll. Wenn an den Zielsetzungen des Mathematikunterrichts keine Abstriche gemacht werden sollen, wird hierzu ein Buch benötigt, das bewusst das eigenständige und gemeinsame Arbeiten in wohldosierter Balance fördert. Das ZAHLENBUCH genügt diesen Ansprüchen. Stoffverteilung Nicht alle Seiten/Doppelseiten erfordern den gleichen Aufwand. Langsamer vorgehen muss man bei der Grundlegung von Themen, um ein solides Verständnis aufzubauen. Ansonsten empfiehlt sich ein zügigeres Tempo. Im ZAHLENBUCH werden alle grundlegenden Themen des Bereichs „Zahlen und Operationen“ in mehreren Durchgängen behandelt und die Basiskompetenzen im „Blitzrechnen“ das gesamte Schuljahr hindurch geübt. Daher wird kein Kind „abgehängt“. Zudem werden explizit zu diesen Seiten Hinweise im Förderkommentar Lernen gegeben, wie mit Kindern mit besonderem Unterstützungsbedarf hierzu fachlich konzentriert weitergearbeitet werden kann. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
7 Bereits beim ersten Themenblock wird dieses Konstruktionsprinzip deutlich: Immer geht es um Anzahlen, die Zahlenreihe oder Ordnungszahlen. Immer steht die strukturierte Anzahlerfassung im Mittelpunkt. Bei dem Einspluseins folgt nach den Plusaufgaben in der Umwelt deren Übertragung auf das Zwanzigerfeld. Im nächsten Durchgang schließen sich Übungen an strukturierten Aufgabenformaten und die Vertiefung an der Einspluseintafel an. Begleitet wird dies durch die entsprechenden Blitzrechenübungen, die den Unterricht ständig begleiten. Es sind immer die gleichen Grundideen, die nach dem Spiralprinzip entwickelt werden. Das ZAHLENBUCH ist nicht als Angebot aufzufassen, Seite für Seite und Aufgabe für Aufgabe abzuarbeiten. Denn es enhält eine Vielzahl an wiederkehrenden Aufgabenstellungen, die für die Kinder anschaulich und zugänglich aufbereitet werden. Die Lernziele lassen sich auch mit dem sprichwörtlichen „Mut zu Lücke“ erreichen, zumal diese Lücken in den weiteren Durchgängen auch sukzessiv gefüllt werden. Wenn alle diese Punkte beachtet werden, sollte kein Stoffdruck entstehen. Als grobe Anhaltspunkte für die Stoffverteilung1 haben sich folgende Angaben bewährt: 1. Halbjahr: Orientierung und Einführung 2. Halbjahr: Festigung und Vertiefung Bis zu den Herbstferien: Entwicklung des Zahlbegriffs Bis zu den Osterferien: Addieren und Subtrahieren Herbstferien bis Weihnachten: Orientierung im Zwanzigerraum, Einführung der Addition Ostern bis Schuljahresende: Zahlen und Aufgaben vergleichen Weihnachten bis Ende des 1. Halbjahrs: Einführung der Subtraktion Die Miniprojekte „Bald ist Weihnachten“, „Bald ist Ostern“ sind zeitlich einzupassen. Einrichtung von Kleingruppen Um das selbstständige Arbeiten der Kinder zu unterstützen, empfehlen wir generell eine Organisationsform, die auf den ersten Blick überraschend anmuten mag: die Einrichtung relativ fester Kleingruppen. Wenn vom 1. Schuljahr an viel Wert auf die Koordination kooperativer Lernphasen gelegt wird, bauen die Lernenden eine solidarisch arbeitende Lerngruppe auf, die auf der Selbstorganisation des Einzelnen fußt und zugleich die Organisation der Gemeinschaft sichert. Die Kinder unterstützen sich gegenseitig im Lernprozess, sind sich gegenseitig Vorbild bei der Bearbeitung von Aufgabenstellungen und bieten zudem vielfältige Anregungen, die ausgetauscht und diskutiert werden können. Jede Lerngruppe soll dazu Aufgaben, die sie selbst bewältigen kann, in eigener Regie bearbeiten, und nur dann Hilfe von der Lehrkraft anfordern, wenn die eigenen Kräfte nicht ausreichen. Somit werden zwischen das einzelne Kind und die Lehrkraft Kleingruppen mit in der Regel zwei Kindern als Zwischenebene eingeschoben. Die Kinder jeder Gruppe sollen sich gegenseitig 1 Ausführlicher Jahresplan auf www.oebv.at. helfen, natürlich ohne einander die Arbeit abzunehmen. Es empfiehlt sich, die Gruppen im Laufe eines Jahres mehrfach neu zu mischen. Obgleich die Organisation der Gruppen zu Beginn aufwändig ist, lohnt sich diese Investition. Für einige Aufgabenstellungen des ZAHLENBUCHs sind Kleingruppen eine große Hilfe, z. B. deuten dies die Illustrationen oder auch das Symbol für Gruppenarbeit an. Ferner erleichtern Teams aus zwei Kindern das Blitzrechnen, da sich die Kinder gegenseitig Aufgaben stellen und kontrollieren können. In Mathekonferenzen erklären sich die Kinder gegenseitig ihre Rechen- und Lösungswege. Der möglichst selbstständige Umgang der einzelnen Kinder und der Kleingruppen mit dem Buch wird durch Lösungsbände zum Schulbuch und zum Arbeitsheft unterstützt. Potenzial zum selbstgesteuerten Üben Viele Aufgaben im ZAHLENBUCH öffnen trotz kurzer Formulierung ein weites Übungsfeld, das von den Kindern allein oder in Partner- oder Gruppenarbeit bearbeitet werden kann. Das funktioniert in der Regel so, dass einige wenige Aufgaben zum Start vorgegeben sind und die Kinder weitere, dazu passende Aufgaben mit selbstgewählten Zahlen und in selbstgewählter Anzahl finden, notieren und lösen sollen. Weil man einigen Aufgaben dieses Potenzial zum selbstgesteuerten Üben auf den Blick nur schwer ansieht, wurden sie zur besseren Übersicht entsprechend ausgewiesen: Man erkennt sie durch den entsprechenden Hinweis im Schnellzugriff, aber auch bereits durch das Symbol « direkt an der Aufgabe. Potenzial zur Sprachförderung Im Gegensatz zum traditionellen Rechenunterricht, der eher auf die Vermittlung von prozeduralem Wissen ausgerichtet war, legt der moderne Mathematikunterricht viel Wert auf die Durchdringung mathematischer Muster und Strukturen. Hierzu ist die Sprache ein notwendiges Hilfsmittel, denn die Darstellung von mathematischen Zusammenhängen ist prinzipiell sprachlicher Natur. Aus diesem Grunde ist die Erarbeitung von Mustern und Strukturen immer auch eine Situation, in der die Nutzung der Sprache inhaltsgebunden thematisiert werden kann und muss. Damit dieses Potenzial zur Sprachförderung transparent wird und bei der Unterrichtsvorbereitung sofort auffällt, wurden die zugehörigen Aufgaben ebenfalls im Schnellzugriff ausgezeichnet. Zudem werden die Kinder explizit aufgefordert und herangeführt, Zusammenhänge zu versprachlichen. Themenblöcke Die arithmetischen Inhalte sind so aufbereitet, dass sie in einem in sich geschlossenen Themenblock bearbeitet werden können. Dies bietet den Kindern die Möglichkeit, selbstständig innerhalb des Themenblocks voran zu schreiten und grundlegende Übungen zu bearbeiten. Jeder Themenblock schließt einerseits mit einem Rückblick auf die essentiellen Grundlagen. Dieser Rückblick soll Lehrkräften und Kindern transparent aufzeigen, welche Ziele sie in den thematischen Lernprozessen erreicht haben. Andererseits bietet immer eine Seite zum Forschen und Finden herausfordernde neue Problemfelder, um mit den Kindern auf mathematische Entdeckungsreise zu gehen. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
8 Im Folgenden werden die für das ZAHLENBUCH in Frage kommenden Arbeits- und Demonstrationsmittel beschrieben. Welche davon jeweils benötigt werden und welche Materialien sonst noch bereitgestellt werden müssen, ist bei den Hinweisen zu den einzelnen Doppelseiten unter der Rubrik „Was wird benötigt?“ angegeben. Arbeitsmittel Für die Arbeit mit dem Band 1 werden benötigt: – Zwanzigerreihe (dem Schulbuch beiliegend, für die Grundidee „Zahlenreihe“) – Zwanzigerfeld (beiliegend, für die Grundideen „Rechnen“ und „Zehnersystem“) – Wendeplättchen (rot/blau, für die Grundideen „Rechnen“ und „Zahlenmuster“) – Fünfer- und Zehnerstreifen (beiliegend, rot/blau, für die Grundidee „Zehnersystem“) – Wendekarten (beiliegend, für die Grundideen „Zahlenreihe“ und „Rechnen“) – Einspluseins-Tafel (auf der Rückseite des Arbeitsheftes, für die Grundideen „Rechnen“ und „Zahlenmuster“) – Rechengeld (Münzen und Scheine in Cent und Euro, für die Grundidee „Zahlen in der Umwelt“) – Legeplättchen (beiliegend, für die Grundidee „Formen legen“) Diese Arbeitsmaterialien wurden so ausgewählt, dass sie die arithmetischen Grundideen für den ersten Band voll abdecken. Die Materialien sollten für die Schüler stets greifbar sein. Zur Aufbewahrung der Wendeplättchen und Wendekarten empfehlen sich verschließbare Dosen oder kleine Schachteln (wie sie für Kosmetikartikel benutzt werden). Zum Zahlenbuch bzw. im Programm „mathe 2000“ sind folgende Arbeitsmaterialien erhältlich (Bestellnummern und Preise sind dem aktuellen Katalog für die Volksschule des Verlags öbv bzw. der Website www.oebv.at zu entnehmen): – Wendeplättchen, Klassensatz mit 1500 Stück aus dickem Karton – Fünferstäbe, 4 Fünferschiffchen mit 20 Wendeplättchen aus Holz – Magnetische Wendeplättchen in Metallbox mit Zwanzigerfeld – Wendekarten, im Zehner-Pack (zur Nachbestellung) – Der Hunderterrahmen, 10 Zehnerschiffchen mit 100 Wendeplättchen aus Holz im Holzrahmen Die Holzmaterialien erlauben einen erheblich besseren haptischen Zugang zum Rechnen als Wendeplättchen aus Karton, was für manche Kinder sehr wichtig ist. Die magnetischen Wendeplättchen eignen sich darüber hinaus gerade für Situationen, in denen Mengen dargestellt werden sollen, ohne dass diese zu leicht verschoben werden können. Demonstrationsmittel Die Unterrichtsarbeit wird erleichtert, wenn einige oder im Idealfall alle Arbeitsmittel auch als Demonstrationsmittel im Großformat zur Verfügung stehen. Kinder können dann Arbeitsaufträge, Aufgabenstellungen und Erklärungen, die von der Lehrkraft am Demonstrationsmaterial verdeutlicht werden, sofort am eigenen Material nachvollziehen und auch ihre am eigenen Material erarbeiteten Lösungswege und Überlegungen mithilfe des Demonstrationsmaterials der ganzen Klasse vorstellen. Dies ist effektiver als eine rein verbale Präsentation. Hierzu werden für das 1. Schuljahr folgende auf die Arbeitsmittel abgestimmte Demonstrationsmaterialien angeboten: – Wendeplättchen (100 Stück), blau/rot, doppelseitig magnetisch, Ø 4 cm, inklusive Zwanzigerfeld und Zwanzigerreihe – Wendekarten für die Zahlen 0 bis 20, doppelseitig magnetisch – Die Einspluseins-Tafel, Poster 84 cm x 119 cm, stabiles Kunststoffpapier Diese Materialien sind sehr haltbar und können jahrelang verwendet werden. Arbeits- und Demonstrationsmittel im Band 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
9 Dieser Abschnitt ist folgendermaßen aufgebaut: Jedem Themenblock ist eine Doppelseite vorangestellt, auf der die mathematischen und didaktischen Grundlagen erklärt werden. Anschließend werden Praxishinweise zu den einzelnen Seiten des Themenblocks gegeben. Links und rechts der Schulbuchseiten befindet sich der sogenannte „Schnellzugriff“. Hier erhält die Lehrkraft kurz und knapp die wichtigsten Informationen zum Einstieg und zu den einzelnen Aufgaben und die wichtigen Wörter sind auf einem Blick zu sehen. Auf der unteren Hälfte werden die Aufgaben ausführlicher erläutert, konkrete Hinweise zur Unterrichtsgestaltung, Diagnose und Unterstützung gegeben. Im Abschnitt Fortsetzung wird verwiesen auf anschließende Aufgaben/Seiten im Arbeitsheft, in den Heften „Verstehen und Trainieren. Grundaufgaben zum Zahlenbuch“, „Probieren und Kombinieren. Igelaufgaben zum Zahlenbuch“, die Rechenkartei „Blitzrechnen“, die App „Blitzrechnen“ sowie auf weitere Zusatzmaterialien. Es sei an dieser Stelle noch einmal angemerkt, dass die Aufgabenstellungen im Arbeitsheft, die Aufgaben im Heft „Verstehen und Trainieren“ und die Aufgaben in den Igelheften im Schulbuch erarbeitet werden. Daher eignen sich diese Hefte gut für Hausaufgaben. Hinweise zu den Doppelseiten im Schulbuch Übersicht über die Werkteile (siehe auch www.oebv.at/zahlenbuch) Das ZAHLENBUCH für das 1. Schuljahr Schulbuch (allgemeine Ausgabe) Förderheft Arbeitsheft Begleitband Förderkommentar Lernen Kopiervorlagen Förderkommentar Sprache Arbeitsmittel (Beilagen) im 5er-Pack Weitere Materialien für die Frühförderung und das 1. Schuljahr Übungsmaterialien Ziffernschreibkurs Software Schöne Ziffern – Schöne Muster Blitzrechnen 1-App für iOS und Android Arbeitshefte zum Fördern und Fordern Lernspiele Verstehen und Trainieren 1 Sieben auf einen Blick Probieren und Kombinieren 1 Das Zauberdreieck Vernetzen und Automatisieren 1 Spiegeln mit dem Spiegel Igelhefte 1 Die Denkschule 1/2 Mit Zahlen spielen Karteien Blitzrechnen 1 – Basiskurs Zahlen Sachrechnen im Kopf 1/2 – Basiskurs Größen Arbeits- und Demonstrationsmaterial Wendeplättchen, 1500 Stück, Klassensatz Fünferstäbe aus Holz Wendeplättchen, Demonstrationsmaterial, magnetisch Wendekarten, Demonstrationsmaterial, magnetisch Wendeplättchen magnetisch Wendekarten, 10er-Pack, Schülerausgabe Hunderterrahmen aus Holz Spiel- und Lernplakate 1/2 Digitale Unterrichtshilfen Digitaler Unterrichtsassistent Digitales Lehrer*innenexemplar Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
10 Spielerisches Lernen Schulanfänger sind keine Lernanfänger, auch nicht in der Mathematik. In diesem Satz kann man die Erkenntnisse bündeln, die in den letzten Jahrzehnten über die Vorkenntnisse von Schulanfängern gewonnen wurden. Generell steht aus unserer Sicht im vorschulischen Bereich das spielerische Lernen im Vordergrund. Dementsprechend sind im Programm des ZAHLENBUCHs weitere Spielmaterialien entwickelt worden, die zusätzlich zur Entwicklung numerischer Bewusstheit beitragen sollen. Im Kern geht es darum, dass sich die Kinder im Spiel mit den wesentlichen Zahlaspekten anhand der Zahlen bis 10 auseinandersetzen: Bei den Spielen „Würfeltürme“ und „Wer hat mehr?“ geht es um die Entwicklung eines kardinalen Zahlaspekts. Diese Spiele werden im Schulbuch aufgegriffen, wobei die operative Erarbeitung der mathematischen Hintergründe stärker in den Vordergrund tritt: Die Kinder erforschen hierbei die Eigenschaften der Zahlen. Inhalte des Themenblocks Die Themen der Frühförderung werden im Bereich Zahlen in vollem Umfang behandelt. Der Nachdruck liegt dabei auf der strukturierten Anzahlerfassung: Unstrukturierte Mengen von beweglichen Plättchen sollten immer erst strukturiert werden, wobei durchaus unterschiedliche Strukturierungen zur Geltung kommen sollten. In der Volksschule muss deutlich werden, dass es sich bei der strukturierten Anzahlerfassung um ein „rechnendes Zählen“ handelt. Beispiel: Die Anzahl der Plättchen dieser Menge kann folgendermaßen ermittelt werden: „3 und 3 sind 6 und 1 dazu sind 7.“ Bei fortgeschrittenen Zahlkenntnissen kann ein Kind auch Gruppen mit 4 und 3 Plättchen „auf einen Blick“ sehen und dann 4 und 3 zu 7 zusammenrechnen. Wie man sieht, ist schlichtes Zählen bei der Anzahlbestimmung keineswegs verboten, sondern wird einbezogen. Es ist zu beachten, dass beim „rechnenden Zählen“ im Grunde genommen schon „gerechnet“ wird. Dabei werden die Rechnungen ganz bewusst noch nicht aufgeschrieben. Die formale Notation mit Symbolen hat ihre eigenen Schwierigkeiten, mit denen man die Zahlbegriffsentwicklung am Anfang nicht belasten darf. Die Anzahlbestimmung ist umso einfacher, je besser die zu zählenden Objekte strukturiert sind. Im weiteren Unterricht werden bei größeren Anzahlen aus gutem Grund Anschauungsmittel benutzt, die übersichtlich strukturiert sind, besonders das Zehnerfeld und das Zwanzigerfeld – aber auch die Finger werden genutzt, um bei den Kindern über die Kraft der Fünf und später auch die Kraft der Zehn Vertrauen in die Struktur des Zahlenraums aufzubauen. „Kraft der Fünf“ Eine besondere Bedeutung kommt bei der Strukturierung des Zwanzigerraums der Zahl 5, der Hälfte von 10, zu. Es gibt gute Gründe, die Zahl 5 beim Rechnen besonders hervorzuheben: 1. Die menschliche Hand hat 5 Finger. Da die Menschen in der Urzeit die Finger zum Zählen benutzten, hat sich die 5 als eigene Zähleinheit zwangsläufig ergeben. 2. Die meisten Kulturvölker benutzten die Kraft der Fünf in der einen oder anderen Form für die Darstellung von Zahlen – man denke nur zum Beispiel an die bekannten römischen Zahldarstellungen, aber auch an die Strichlisten, in denen vier einzelne Striche durch einen Querstrich ergänzt zu einem Fünfer werden. 3. Psychologische Experimente zeigen, dass das Gehirn in der Lage ist, bei ungeordneter Plättchenmengen die Anzahl relativ schnell zu erfassen, wenn diese klein ist. Die Zahl 5 markiert dabei die Grenze, nach der die Anzahlbestimmung deutlich mehr Zeit erfordert. Die 5 ist also die Grenze der „Simultanerfassung“. Aus diesen Gründen werden Arbeitsmittel genutzt, bei denen die Zahl 5 prägnant zur Geltung gebracht wird: Das Zehnerfeld besteht aus zwei Reihen mit fünf Feldern, die über- oder nebeneinander angeordnet sind: Das später eingeführte Zwanzigerfeld besteht aus zwei Zehnerfeldern bzw. vier Teilen mit je fünf Feldern: Diese Struktur kehrt auch auf der Rückseite der Wendekarten wieder. Der Fünfer kommt auch beim Geld vor. Gerade bei Kindern, die am Abzählen von Einern „kleben“, empfiehlt sich der Einsatz von Geld als Arbeitsmittel. Die bei Geld übliche Sprechweise „Fünfer“ ist auch für den Unterricht relevant. Sie bringt die Zusammenfassung von fünf Einern zu einer neuen Einheit treffend zum Ausdruck. Praktisch bedeutet Kraft der Fünf, dass die Zahlen unter 5 und zwischen 5 und 10 zur 5 in Beziehung gesetzt werden: 6 = 5 + 1 7 = 5 + 2 8 = 5 + 3 9 = 5 + 4 Wenn diese Beziehungen im Kopf „fest verdrahtet“ sind, lassen sich Aufgaben des Einspluseins und des Einsminuseins einfach legen und damit auch einfach rechnen – die Rechenstrategien leiten sich aus den Kenntnissen über die Zerlegungen der Zahlen ab. Die Aufgabe 6 + 7 lässt sich dann wie folgt legen und berechnen: 6 stellt sich als 5 + 1, 7 als 5 + 2 dar. Das Ergebnis 13 ist offensichtlich, da 5 + 5 = 10 und 1 + 2 = 3 ist. Themenblock Entwicklung des Zahlbegriffs Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
11 Blitzrechenübung „Kraft der Fünf“ Um das Einspluseins zu unterstützen wurde die Kraft der Fünf auch in die Blitzrechenübungen aufgenommen. Diese Übung kann zwar erst dann in vollem Umfang durchgeführt werden, wenn die Subtraktion eingeführt ist. Die Beziehungen 6 = 5 + 1, 7 = 5 + 2, 8 = 5 + 3, 9 = 5 + 4 können und sollen sich die Kinder aber schon vorher einprägen. Rechnen mit den Fingern An dieser Stelle ist auch ein kurzes Wort zur Benutzung von Fingern beim Rechnen angebracht. Dass Finger zum zählenden Rechnen verleiten und von manchen Kindern hartnäckig in dieser Weise benutzt werden, spricht nicht grundsätzlich gegen die Nutzung der Finger. Man kann dieses natürlich gegebene Anschauungsmittel auch gut für die strukturierte Anzahlerfassung einsetzen, wie es in guten Förderprogrammen für rechenschwache Kinder praktiziert wird. Im ZAHLENBUCHFrühförderprogramm, im Förderkommentar Lernen und im ZAHLENBUCH werden die Finger an verschiedenen Stellen in diesem Sinne einbezogen. Dabei wird vor allem ihre Fünferstruktur besonders hervorgehoben, um zwei strukturelle Aspekte im Zehnerraum deutlich zu machen: 1. Die Zahlen von 1 bis 5 unterscheiden sich von den Zahlen von 6 bis 10 nur dadurch, dass eine volle Hand hinzukommt – die Kraft der Fünf zeigt sich hier also ganz deutlich: 25 Vergleich von Fingerbilddarstellungen, um Zahlbeziehungen mit Bezug zur 5 (eine Hand mehr / weg) anzubahnen. 4 Strukturiertes Erfassen der Teilmengen und Umgruppieren mit Bezug zur 5. 5 Zahlen zwischen 0 und 4 vergleichen mit Zahlen zwischen 5 und 10. ■ (K, O) 6 sind 3 und 3. Aus 3 und 3 mache ich 5 und 1. 4 5 Aus … mache … Aus … mache … Aus … mache … Aus … mache … Wie viele? Immer 5 dazu. 2 5 2 7 David Marie 4 4 4 4 5 5 5 5 5 4 0 5 9 5 10 5 5 2 4 3 1 1 3 4 0 5 2 0 6 8 7 5 6 8 7 5 Buch_ZB-SB1_2023.indb 25 27.03.2023 17:59:12 Schulbuch 1, S. 25 2. Die Zahlen von 6 bis 9 kann man am übersichtlichen zeigen, wenn man den ihnen enthaltenen Fünfer durch eine volle Hand deutlich hervorhebt: 6 sind 3 und 3. Aus 3 und 3 mache ich 5 und 1. 4 5 Aus … mache … Aus … mache … Aus … mache … Aus … mache … Wie viele? Immer 5 dazu. 2 5 2 7 David Marie 4 4 4 4 5 5 5 5 5 4 0 5 9 5 10 5 5 2 4 3 1 1 3 4 0 5 2 0 6 8 7 5 6 8 7 5 Schulbuch 1, S. 25 Auf diese Weise können die Kinder auch anhand ihrer Finger Vertrauen in den systematischen Aufbau des Zahlenraums aufbauen und später auf tragfähigere Darstellungsmittel wie dem Zehner- und dem Zwanzigerfeld übertragen: 26 + Vergleich eines Fünfer mit einem Zehnerstreifen. Mit dem Stift Zerlegungen des Fünfers und des Zehners herstellen. 1 Zu den Zerlegungen Aufgaben schreiben, Aufgaben vergleichen. Begriffe klären: Fünferstreifen, Zehnerstreifen, Zerlegen, plus. Das Pluszeichen wird an dieser Stelle nur als Verknüpfungssymbol des Terms eingeführt, nicht im Sinne einer Plusrechnung. ■ (K, O) Immer 5 – immer 10 + + + + + + + + 4 1 9 + 1Zerlege und vergleiche. Immer 5. Immer 10. Ein Fünfer mehr. Das sind 6 plus 4. Fünferstreifen Zehnerstreifen 6+4 1 +4 5 sind 1 plus 4. Lena Luka Ina 2 3 3 2 5 0 0 5 1 7 3 8 2 10 0 5 5 Buch_ZB-SB1_2023.indb 26 27.03.2023 17:59:12 Schulbuch 1, S. 26 Nach und nach treten die Finger dann in den Hintergrund, denn das Legen von Plättchen am Zehner- und Zwanzigerfeld bietet viel mehr Möglichkeiten zum strukturierten Legen und Zerlegen von Zahlen – und später auch zum Operieren mit ihnen. Zudem ermöglichen diese Darstellungsmittel auch eine nahtlose Fortsetzung auf den Hunderter- und Tausenderraum. Bei der Arbeit an diesem Themenblock muss der Fokus auf das „rechnende Zählen“ gerichtet sein. Die Kinder müssen immer wieder angehalten werden, kleine Anzahlen „auf einen Blick“ zu erfassen. Anzahlen zusammen mit ihren möglichen Zerlegungen in Teilgruppen zu sehen ist das A und O des denkenden Rechnens. Das Strukturieren muss nach und nach das bloße Zählen ablösen. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
12 6/7 Zählen und Spielen Einstieg Zahlen an die Tafel schreiben, Zahlbilder dazu legen. 1 Würfelbilder: Woran erkennt man die Zahl? 2 Male oder schreibe: Was weißt du über Zahlen? Potenzial zum selbstgesteuerten Üben nutzen. WAS WIRD BENÖTIGT? Arbeits- und Demonstrationsmaterial: Zahlenkarten, Wendeplättchen, ggf. KV 1 Meine Lieblingszahl, für das Spiel „Räuber und Goldschatz“: Spielplan (ggf. Plakat), Spielwürfel, Plättchen o. Ä. (für den Schatz) WORUM GEHT ES? Auf dieser Doppelseite geht es vorrangig um die diagnostische Erhebung der vielfältigen Vorkenntnisse der Kinder. Die Hauptaktivität besteht im Spielen des Spiels „Räuber und Goldschatz“. Das Spiel bietet eine erste zwanglose Beschäftigung mit den Zahlen bis 20 (und auch schon mit Grundzügen der Addition und Subtraktion). Wie „Mensch ärgere dich nicht“ kann es schon mit geringen Zahlvorkenntnissen gespielt werden. Die Kenntnis der Zahlenreihe wird gefördert, ist aber nicht erforderlich, da die Kinder Feld für Feld rücken können. So können auch Kinder mit ganz unterschiedlichen Vorkenntnissen gut gemeinsam spielen. Während des Spielens ist es der Lehrkraft möglich, die erwartungsgemäß große Spannbreite an Vorkenntnissen in der Klasse zu erfassen. Es geht darum, die Kinder in ihren Auseinandersetzungen mit den Würfelzahlen zu beobachten und festzustellen, ob die Spielfigur Stein für Stein vorwärts gezogen wird, in Sprüngen (etwa die gewürfelte 6 in drei Zweierschritten) oder zielgerichtet (etwa von 10 direkt auf die 14, wenn eine 4 gewürfelt wurde) gesetzt wird. Die systematische Beschäftigung mit der Zwanzigerreihe anhand dieses Spiels erfolgt zu einem späteren Zeitpunkt. WIE KANN MAN VORGEHEN? Einstieg Zahlbilder erfassen Man kann die Kinder zunächst fragen, wie weit sie schon zählen können. Die Zahlenreihe wird von den Kindern entweder ein Stück gemeinsam aufgesagt oder einzelne Kinder zeigen, was sie können. Dann wird mit Blick auf die Abbildung im Einstieg erfragt, wer schon Zahlen lesen oder schreiben kann. Die Zahlen von 1 bis 10 werden von der Lehrkraft oder den Kindern, die sich das schon zutrauen, jeweils mit etwas Abstand an die Tafel geschrieben (oder als Zahlenkarten aufgehängt). Dazu werden Wendeplättchen in der entsprechenden Anzahl geheftet. Die Kinder können die Plättchen dabei so anordnen, wie sie es für richtig halten, wobei bekannte Zahlbilder (z. B. Würfelbilder) oder besonders übersichtlich geordnete Zahlbilder (etwa in Zweiern oder in Fünfern gebündelt) von der Lehrkraft hervorgehoben werden. Anschließend werden die Zahlbilder an der Tafel mit denen im Einstiegsbild verglichen und die Lehrkraft betont, dass Zahlbilder ganz unterschiedlich aussehen können. 1 Würfelbilder schnell erfassen Die Kinder verbinden jeweils die durch das Würfelbild angezeigte Zahl mit der passenden gegenständlichen Anzahl. Dabei beobachtet die Lehrkraft die Kinder und stellt insbesondere fest, wer die Zahlbilder der Würfel lesen kann und wer die Anzahl der Würfelaugen zählend bestimmt. Mit den Kindern wird dann darüber gesprochen, wie man möglichst schnell die Würfelaugen erkennen kann, ohne alle Punkte auf dem Würfel abzählen zu müssen. Insbesondere zur Vorbereitung des Spiels ist diese Diskussion hilfreich. 6 1 Die Anzahlen bestimmen und jeweils Anzahlbild mit passendem Würfelbild verbinden. 2 Kinder notieren bereits bekannte Zahlen und evtl. Aufgaben, Lehrperson erhält Informationen zum Vorwissen. ■ (K, O) 1 Diese Zahlen kenne ich: 2« 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Entwicklung des Zahlbegriffs (verschiedene Lösungen) Buch_ZB-SB1_2023.indb 6 27.03.2023 17:58:52 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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