3 Das Zahlenbuch
Das Zahlenbuch 3, Schulbuch Schulbuchnummer: 220420 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung vom 18.07.2024, Geschäftszahl 2023-0.721.740, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch an Volksschulen für die 3. Klasse im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. Die Bearbeitung erfolgte auf der Grundlage von: Das Zahlenbuch 3, Ernst Klett Verlag, 1. Auflage 2018, ISBN 978-3-12-201760-6 (Autorinnen und Autoren: Erich Ch. Wittmann, Gerhard N. Müller, Marcus Nührenbörger, Ralph Schwarzkopf, Melanie Bischoff, Daniela Götze, Birgit Heß, Diana Hunscheidt); Das Zahlenbuch 2 Bayern, Ernst Klett Verlag, 1. Auflage 2021, ISBN 978-3-12-202460-4 (Autorinnen und Autoren: Erich Ch. Wittmann, Gerhard N. Müller, Marcus Nührenbörger, Ralph Schwarzkopf, Melanie Bischoff, Daniela Götze, Birgit Heß, Diana Hunscheidt) Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ 1. Auflage (Druck 0001) © by Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart, Bundesrepublik Deutschland, 2018 © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2025 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Philipp Krammer, Wien Herstellung: Claudia Dießner, Wien Umschlaggestaltung: Koma Amok, Stuttgart Umschlagfoto: Jessica Hath, Freiburg Layout: Koma Amok, Stuttgart Illustrationen: Juliane Assies, Berlin Satz: Arnold & Domnick, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-11961-2 (Das Zahlenbuch 3, Schulbuch) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
von Erich Ch. Wittmann, Gerhard N. Müller, Marcus Nührenbörger und Ralph Schwarzkopf Bearbeitung und Beratung: Doris Bayer Albert Ellensohn Franz Korn Das Zahlenbuch www.oebv.at 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2 Inhalt Wiederholung und Vertiefung AH ■ Einfache Malaufgaben 6 ■ Einfache und schwierige Malaufgaben 8 3 ■ Multiplizieren und Dividieren 10 4 ■ Tabellen und Diagramme 12 ■ Addieren und Subtrahieren 14 5 ■ Rechenwege bei der Addition 18 7 ■ Rechenwege bei der Subtraktion 20 8 ■ Rückblick 22 9 ■ Forschen und Finden: Zahlengitter 23 10 Geld und Sachaufgaben ■ Mit Geld rechnen 24 11 ■ Sachaufgaben 26 13 Körper ■ Würfelgebäude 28 14 Orientierung im Tausenderraum ■ Zählen, Bündeln und Schätzen 30 15 ■ Die Zahlen bis 1000 32 16 ■ Die Stellenwerttafel 34 17 ■ Das Tausenderfeld 36 18 ■ Der Zahlenstrahl bis 1000 38 20 ■ Der Rechenstrich 40 21 ■ Rückblick 42 22 ■ Forschen und Finden: Die Stellenwerttafel 43 23 Geld und Längen ■ Geldwerte 44 ■ Meter, Dezimeter und Zentimeter 46 24 ■ Zentimeter und Millimeter 48 25 Addition und Subtraktion im Tausenderraum AH ■ Einfache Aufgaben 50 26 ■ Schwierige Additionsaufgaben 52 27 ■ Schwierige Subtraktionsaufgaben 56 29 ■ Ergänzen 60 31 ■ Rückblick 62 32 ■ Forschen und Finden: Zahlenpaare am Tausenderbuch 63 33 Figuren ■ Formen aus Quadraten 64 34 ■ Bandornamente und Parkettierungen 66 35 Sachaufgaben und Längen ■ Überschlagsrechnen 68 36 ■ Meter und Kilometer 70 37 ■ Mit Entfernungen rechnen 72 38 Einführung der schriftlichen Addition ■ Schriftlich addieren 74 39 ■ Übungen zur schriftlichen Addition 78 42 ■ Mit Geld rechnen 80 44 ■ Rückblick 82 46 ■ Forschen und Finden: Streichquadrate 83 47 Gewicht und Volumen ■ Kilogramm und Gramm 84 48 ■ Kilogramm und Tonne, Liter und Milliliter 86 49 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 Linien, Figuren und Körper AH ■ Rechte Winkel und parallele Linien 88 51 ■ Körper und Flächen 90 52 Einführung der schriftlichen Subtraktion ■ Schriftlich subtrahieren: Auffüllen 92 53 ■ Schriftlich subtrahieren 94 55 ■ Übungen zur schriftlichen Subtraktion 96 57 ■ Rückblick 98 58 ■ Forschen und Finden: Umkehrzahlen 99 59 Zeit und Sachaufgaben ■ Uhrzeiten 100 60 ■ Tabellen und Skizzen 102 61 Multiplikation und Division ■ Malaufgaben zerlegen 104 62 ■ Das Zehnereinmaleins 106 64 ■ Die Zehnereinmaleins-Tafel 108 65 ■ Rechenwege bei der Multiplikation 110 66 ■ Schriftlich multiplizieren 112 67 ■ Rechenwege bei der Division 114 68 ■ Schriftlich dividieren 116 69 ■ Rückblick 118 70 ■ Forschen und Finden: Malkreuz 119 71 Symmetrie und Umfang ■ Symmetrie und Umfang 120 72 ■ Umfang berechnen 122 73 Aufgaben vergleichen ■ Gleichungen und Ungleichungen 124 74 ■ Multiplizieren und Dividieren 126 75 Kennzeichnung für Lehrkräfte Zentrale fachliche Konzepte: ■ Zahlen und Daten ■ Operationen ■ Größen ■ Ebene und Raum AH weist auf Seiten im Arbeitsheft hin. In den Fußzeilen ausgewiesene prozessbezogene Kompetenzbereiche: M Modellieren O Operieren K Kommunizieren und Begründen P Problemlösen ■ Addieren und Subtrahieren 128 76 ■ Rückblick 130 77 ■ Forschen und Finden: Zahlenmauern 131 78 Sachaufgaben ■ Tabellen und Diagramme 132 79 ■ Lösungswege vergleichen 134 80 Kombinieren, Wahrscheinlichkeit, Miniprojekte ■ Spiele mit der Wahrscheinlichkeit 136 81 ■ Bald ist Weihnachten 138 ■ Bald ist Ostern 140 83 Schriftliche Subtraktion: Abziehverfahren (alternativ zu Seiten 92/93) ■ Schriftlich subtrahieren: Entbündeln 142 84 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
4 Hier findest du die Blitzrechen-Übungen: Einmaleins an der Einmaleins-Tafel 9 Einmaleins umgekehrt 11 Verdoppeln im Hunderter 14 Halbieren im Hunderter 15 Wie viele? 37 Zählen in Schritten 39 Inhalt Blitzrechnen Einfache Additionsaufgaben, Einfache Subtraktionsaufgaben 51 Verdoppeln im Tausender 53 Halbieren im Tausender 57 Ergänzen bis 1 000 60 Zehnereinmaleins 108 Mal 10, durch 10 109 Ich begleite dich durch das Zahlenbuch! Schreibe die Aufgaben aus dem Schulbuch in dein Heft. Wenn du möchtest, kannst du zu einer Aufgabe noch weitere Rechnungen erfinden und lösen. Wie du ins Heft schreiben sollst, zeigt dir das Karopapier: 7a) 53−23=30 8 6 − 2 3 = 6 3 4 5 − 2 3 = 2 2 So arbeitest du mit deinem Heft Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
5 So lernst du mit dem Zahlenbuch 30 Zahlen bis 1000 lesen und darstellen lernen. 1 Unstrukturierte Anzahlen bündeln, Hunderter als fortzusetzende Einheit (10 Z = 1 H) bewusst erfahren, Darstellungen (Stellentafel, Stellenkarten, Bündel) vergleichen. 2 Mengen an unstruk- turierten Materialien (Eicheln, Büroklammern, …) geschickt bündeln, Ergebnisse präsentieren und vergleichen. æ (K, O) Orientierung im Tausenderraum Erik Sophie 2 4 0 3 0 0 Das sind 3 Hunderter, 4 Zehner und 2 Einer. H Z E 3 4 2 3 4 2 Bündeln der Einer der Zehner der Hunderter 10 Einer = 1 Zehner 10 Zehner = 1 Hunderter 10 Hunderter = 1 Tausender 1 2 Wie zählen die Kinder? Beschreibt. Zählt weitere Gegenstände. Wie viele sind es? Bündelt ebenso. « Karim Milena Kim Lilly 20 Zehner sind 2 Hunderter, bleiben noch 1 Zehner und 5 Einer. Es sind 21 Zehner und 5 Einer. Wir können bündeln. Zweihundertfünfzehn, erst schreibe ich die Hunderter, dann die Zehner, dann die Einer. Dreihundertzweiundvierzig, ich schreibe erst die Hunderter, dann die Zehner, dann die Einer. 200 und 10 und 5, das sind zweihundertfünfzehn. 36 37 4, 5 Zerlegung von Zahlen notieren. Beziehungen zwischen den Zahlen erkennen. 6 1000 in zwei Teilmengen zerlegen, evtl. am Tausenderfeld mit Strohhalmen oder Biegeplüsch zeigen. æ (K, O) 1 Arbeitsheft, Seiten 18, 19 1 – 3 Orientierungsübungen am Tausenderfeld, Zahlen am Tausenderfeld mit Abdeckwinkel oder 2 Blättern zeigen, als Zahlbild und in der Stellentafel notieren. æ (O) Das Tausenderfeld 1 5 6 4 2 3 Welche Zahlen sind es? Zeichne die Zahlbilder. Schreibe die Zahlen. Zeige die Zahlen am Tausenderfeld und zerlege sie in Hunderter, Zehner und Einer. a) 124, 142, 214, 241, 412, 421 b) 321, 231, 213, 123, 312, 132 c) 670, 760, 706, 607, 67, 76 d) Wähle eigene Zahlen und zerlege ebenso. Immer 1000: Zerlege am Tausenderfeld. e) Finde ebenso Aufgaben. Wie heißen die Zahlen? Zeige die Zahlen am Tausenderfeld und schreibe sie in die Stellenwerttafel. a) 310, 320, 330 b) 137, 237, 337 c) 250, 500, 750 d) 8, 88, 888 e) Wähle eigene Zahlen. Schreibe die Zahlen in die Stellenwerttafel und zerlege sie in Hunderter, Zehner und Einer. e) Vergleiche die Zahlen. Was fällt dir auf? 2 a) H Z E 3 1 0 3 2 0 3 a) H Z E 4 3 2 432=400+30+2 4 a) 300+40+6=346 5 a) 1 24=1 00+20+4 1 4 2 = 1 0 0 + a) b) c) a) c) d) b) 7 Wie viele? Zahl zeigen und nennen. 256 Ich sehe 10 Hunderterfelder. Ich sehe 5 rote Hunderter und 5 blaue Hunderter. Jedes Hunderterfeld hat 10 Zehner. a) 300+40+ 6 300+60 + 4 300+80 300 + 6 a) 500+ 300+ 700+ b) 400+ 410+ 390+ c) 900+ 875+ 925+ d) 500+ 501+ 499+ c) 400+40+ 4 400+40 400 + 4 40 + 4 b) 400+30+ 6 400+60 + 3 700+10 700 + 9 d) 900+30+ 7 900+70 + 3 900 + 9 900+90 + 9 2 Hunderter, 5 Zehner und 6 Einer 200 + 50 + 6 200 und 56 zweihundertsechsundfünfzig Metin Eva Leo So könnt ihr mit dem Thema starten. Mit den Aufgaben kannst du lernen und üben. Blitzrechnen: Übt zu zweit und trainiert das Rechnen im Kopf immer wieder. Der orange Bereich zeigt dir, was du im nächsten Kapitel lernen wirst. Auf den grünen Seiten findest du spannende Aufgaben zum Knobeln, Forschen und Tüfteln. Auf den blauen Seiten wiederholst du, was du im letzten Kapitel neu gelernt hast. 83 Forschen und Finden Schöne Päckchen Forschen und Finden: Streichquadrate 1 Aufgabenformat „Streichquadrate“ kennenlernen. Besonderheit der letzten beiden Streichquadrate hervorheben (konstante Streichsumme). 2 Besondere Streichquadrate mit konstanter Streichsumme herausarbeiten, Konstruktion aus Additionstabellen nachvollziehen. 3 Eigene Streichquadrate konstruieren. æ (P, K, O) 1 Arbeitsheft, Seite 47 Metin Leo 1 3 2 Findet in jedem Streichquadrat verschiedene Streichzahlen. Was fällt euch auf? Erstellt weitere Streichquadrate aus Plustabellen mit der … a) … Streichzahl 66. b) … Streichzahl 100. c) … Streichzahl 500. d) … Streichzahl . Streichquadrate aus Plustabellen: a) Berechnet die fehlenden Zahlen des Streichquadrats. b) Findet die größte und die kleinste Streichzahl. Was fällt euch auf? c) Addiert die Randzahlen der Plustabelle. Was stellt ihr fest? d) Schreibt die Aufgaben in das Streichquadrat. Vergleicht die Streichzahl mit der Summe der Randzahlen. Erklärt. Streichregeln: 1. Wähle eine Zahl und kreise sie ein. 2. Streiche alle restlichen Zahlen in der gleichen Zeile und Spalte. 3. Kreise eine weitere Zahl ein. Streiche wieder alle restlichen Zahlen der gleichen Zeile und Spalte. 4. Eine Zahl bleibt übrig. Kreise sie ein. 5. Addiere die drei eingekreisten Zahlen. Das Ergebnis ist die Streichzahl. b) 3 4551 6217 8 391381 d) 4 8 23 121631 7 1126 a) 171229 201514 251311 c) 2 1237 381417 6847 5 e) 141833 222641 172136 « 2 c) 8+1 2+1 6+9+14+7= + 9 14 7 8 1722 12 16 Das gelbe Quadrat ist das Streichquadrat. Wir müssen immer zwei Randzahlen addieren: 8 + 7 = 15. Das Ergebnis müssen wir hier hineinschreiben. Ich kreise ein, erst 12, dann 20 und dann noch 11. Deine Streichzahl ist 43. Gibt es noch andere Streichzahlen? 12 + 20 + 11 43 David 17 12 29 20 15 14 25 13 11 17 12 29 20 15 14 25 13 11 17 12 29 20 15 14 25 13 11 2 d) 17+30+ 19=66 8+9+1 6+14+1 2+7=66 + 9 14 7 8+9 8 8+14 8+7 12+9 12 12+14 12+7 16+9 16 16+14 16+7 82 Rückblick Wesentliche Aspekte des Kapitels noch einmal reflektieren. Über den Lernstand sprechen. æ (O) 1 Arbeitsheft, Seite 46 Ich kann Zahlen im Hunderterraum und Geldbeträge schriftlich addieren. Ich kann Additionsaufgaben überschlagen und die schriftliche Rechnung damit überprüfen. 1 Rechne schriftlich. a) 234 +442 b) 601 +306 c) 563 + 52 d) 305 + 68 e) 438 + 44 f) 246 +567 2 5 6 3 4 Rechne schriftlich. Schreibe stellengerecht untereinander. Rechne schriftlich. Schreibe stellengerecht untereinander. Reicht das Geld? Überschlage zuerst. Rechne genau, wenn es notwendig ist. Schreibe immer drei Aufgaben. a) Die Rechnung hat keinen Übertrag. b) Die Rechnung hat einen Übertrag. c) Die Rechnung hat zwei Überträge. d) In der Rechnung kommt eine Null vor. Welche Ziffern fehlen? a) 264+147 e) 568+201 d)298+ 77 c)125+ 57 b) 350+457 a) 2 1 2 + 1 4 3 5 8 c) 4 8 + 5 5 1 5 7 3 e) 4 2 0 + 3 7 9 8 b) 3 2 4 + 4 1 7 3 6 d) 3 9 + 2 3 1 1 1 6 1 0 a) 134 + 256 + 47 b) 284 + 132 + 83 c) 153 + 471 + 63 d) 312 + 411 + 56 7 Rechne schriftlich. Überprüfe die Rechnung mit einem Überschlag. a) 16,32 € + 52,81 € 51,53 € + 12,38 € 25,76 € + 36,21 € 87,12 € + 34,56 € b) 27,64 € + 31,58 € 52,74 € + 41,68 € 27,93 € + 11,67 € 54,13 € + 24,87 € c) 75,48 € + 147,25 € 38,44 € + 27,65 € 119,76 € + 24,77 € 48,58 € + 37,67 € a) 16,35 € + 23,12 € 15,35 € + 22,12 € b) 47,18 € + 11,23 € 48,37 € + 11,51 € c) 58,64 € + 22,31 € 50,46 € + 28,31 € Symbole im Buch Arbeitet zu zweit. H ier brauchst du Plättchen oder andere Hilfsmittel. F inde eine passende Frage zur Sachaufgabe. Löse danach. Das sollst du dir merken. « Finde Aufgaben und übe selbstständig. Blitzrechnen Besprecht und erklärt gemeinsam. Besprecht und vergleicht in einer Rechenkonferenz. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
6 1 Sammeln, welche Aufgaben den Kindern noch als einfache Aufgaben in Erinnerung sind. Aufgabentypen im Folgenden ggf. wiederholen. 2, 3 Einfache Malaufgaben mit der 2 zeigen und rechnen, die Idee der Tauschaufgaben thematisieren. æ (K, O) Wiederholung und Vertiefung mit 5 mit 10 mit 2 Quadrat 3 × 5 2 × 5 10 × 2 9 × 4 7 × 6 8 × 9 1 × 7 2 × 3 4 × 10 4 × 1 9 × 6 2 × 9 × 1 2 3 Welche Aufgaben findest du einfach? Zeige mit dem Malwinkel, schreibe und rechne. Zeige und rechne einfache Aufgaben mit 2 . Tauschaufgaben mit 2 : Welche Aufgaben rechnest du? Kreuze an. 1) 2 · 5 = 1 0 3 a) 6 · 2 = x 2 · 6 = 1 2 a) 2×8 a) 6×2 2×6 b) 2×3 3×2 d) 9×2 2×9 f) 8×2 2×8 c) 7×2 2×7 e) 2×5 5×2 g) 2×6 6×2 b) 2×4 e) 2×3 h) 2×6 c) 2×5 f) 2×1 i) 2×2 j) 2×10 g)2× 9 d)2× 7 10×2 9×3 8×4 7×5 6×6 5×7 4×8 3×9 2×10 10×3 10×4 9×4 10×5 9×5 10×6 8×5 9×6 8×6 7×6 8×7 9×7 10×7 10×8 9×8 7×7 8×8 9×9 10×9 10×10 8×9 9×10 8×10 7×8 6×7 6×8 6×9 7×9 7×10 6×10 5×8 5×9 4×9 5×10 4×10 3×10 10×1 9×1 9×2 8×1 8×2 8×3 7×1 7×2 7×3 7×4 6×1 6×2 6×3 6×4 6×5 5×1 5×2 5×3 5×4 5×5 5×6 4×1 4×2 4×3 4×4 4×5 4×6 4×7 3×1 3×2 3×3 3×4 3×5 3×6 3×7 3×8 2×1 2×2 2×3 2×4 2×5 2×6 2×7 2×8 2×9 1×1 1×2 1×3 1×4 1×5 1×6 1×7 1×8 1×9 1×10 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
7 4, 5 Aufgaben mit der 10 nutzen, um Aufgaben mit der 5 zu lösen. Die Idee der Tauschaufgaben nutzen. 6 Quadrataufgaben wiederholen. 7 Das Rechnen mit Kernaufgaben üben. æ (P, K, O) 6 Zeige und rechne einfache Aufgaben Quadrat . Zeige und rechne einfache Aufgaben mit 5 mit 10 . Zeige und rechne einfache Aufgaben mit 5 mit 10 . a) 6×6 b) 2×2 e) 3×3 h) 4×4 c) 5×5 f) 1×1 i) 9×9 j) 10×10 g) 8× 8 d) 7× 7 Einfache Malaufgaben 4 5 Finn Ina Metin 10 mal 4 ist das Gleiche wie 4 mal 10. Einfache Malaufgaben mit 5 mit 10 mit 1 mit 2 sind Kernaufgaben. 7 Kernaufgaben: Rechne. a) 1×3 2×3 5×3 10×3 a) 4×10 4× 5 b) 6×10 6× 5 c) 8×10 8× 5 d) 5×10 5× 5 e) 7×10 7× 5 f) 9×10 9× 5 a) 10×4 5×4 b) 10×3 5×3 f) 10×9 5×9 e) 10×7 5×7 d) 10×10 5×10 c) 10×6 5×6 c) 1×6 2×6 5×6 10×6 e) 1×8 2×8 5×8 10×8 b) 1×4 2×4 5×4 10×4 d) 1×7 2×7 5×7 10×7 f) 1×9 2×9 5×9 10×9 4 mal 10 sind 4 Zehner, also 40. 4 Fünfer sind die Hälfte von 4 Zehnern. 5 mal 4 ist die Hälfte von 10 mal 4. Eva Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
8 Wiederholen, dass man Kernaufgaben zur Berechnung von schwierigen Aufgaben nutzen kann. 1, 2 Aufgaben mit 5 und mit 10 zur Lösung schwieriger Nachbaraufgaben nutzen. æ (K, O) Einfache und schwierige Malaufgaben Das sind zwei Sechser mehr als 6 · 6. Das ist die Nachbaraufgabe von 5 · 8. Es kommt einfach ein Achter dazu. Die Tauschaufgabe ist 8 · 6, also 10 · 6 minus 2 · 6. Leo Teo Milena Max Kim 1 2 Rechne Nachbaraufgaben mit 5 . Rechne Nachbaraufgaben mit 10 . a) 5×3 6×3 b) 5×7 4×7 c) 5×8 6×8 e) 5×7 6×7 g) 5×6 4×6 d) 5×4 6×4 f) 5×9 4×9 h) 5×8 4×8 1 a) 5 · 3 = 1 5 6 · 3 = 1 5 + 3 = 1 b) 5 · 7 = 3 5 4 · 7 = 3 5 − 7 = 6 × 8 = Aus 10 mal 4 kann ich 9 mal 4 machen. Das ist ein Vierer weniger. Ich rechne erst 10 mal 4 gleich 40 und dann 40 minus 1 mal 4. e) 2× 10 2× 9 f) 5× 10 5× 9 g) 7× 10 7× 9 h) 3× 10 3× 9 a) 10 ×4 9 ×4 b) 10 ×8 9 ×8 c) 10 ×7 9 ×7 d) 10 ×6 9 ×6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
9 3 Einmaleins-Tafel wiederholen und besprechen, dass man alle schwierigen Aufgaben auf einfache Nachbaraufgaben zurückführen kann. Quadrataufgaben wiederholen und zur Lösung der Nachbaraufgaben nutzen. 4 Kernaufgaben zum Ableiten nutzen, um schwierige Aufgaben zu lösen. æ (P, K, O) 1 Arbeitsheft, Seite 3 5 Einmaleins an der Einmaleins-Tafel Malaufgabe zeigen und nennen, Aufgabe im Kopf rechnen. 10×2 9×3 8×4 7×5 6×6 5×7 4×8 3×9 2×10 10×3 10×4 9×4 10×5 9×5 10×6 8×5 9×6 8×6 7×6 8×7 9×7 10×7 10×8 9×8 7×7 8×8 9×9 10×9 10×10 8×9 9×10 8×10 7×8 6×7 6×8 6×9 7×9 7×10 6×10 5×8 5×9 4×9 5×10 4×10 3×10 10×1 9×1 9×2 8×1 8×2 8×3 7×1 7×2 7×3 7×4 6×1 6×2 6×3 6×4 6×5 5×1 5×2 5×3 5×4 5×5 5×6 4×1 4×2 4×3 4×4 4×5 4×6 4×7 3×1 3×2 3×3 3×4 3×5 3×6 3×7 3×8 2×1 2×2 2×3 2×4 2×5 2×6 2×7 2×8 2×9 1×1 1×2 1×3 1×4 1×5 1×6 1×7 1×8 1×9 1×10 16 4 ∙ 4 eine Quadratzahl 4 weniger als 5 ∙ 4 das Doppelte von 2 ∙ 4 10×2 9×3 8×4 7×5 6×6 5×7 4×8 3×9 2×10 10×3 10×4 9×4 10×5 9×5 10×6 8×5 9×6 8×6 7×6 8×7 9×7 10×7 10×8 9×8 7×7 8×8 9×9 10×9 10×10 8×9 9×10 8×10 7×8 6×7 6×8 6×9 7×9 7×10 6×10 5×8 5×9 4×9 5×10 4×10 3×10 10×1 9×1 9×2 8×1 8×2 8×3 7×1 7×2 7×3 7×4 6×1 6×2 6×3 6×4 6×5 5×1 5×2 5×3 5×4 5×5 5×6 4×1 4×2 4×3 4×4 4×5 4×6 4×7 3×1 3×2 3×3 3×4 3×5 3×6 3×7 3×8 2×1 2×2 2×3 2×4 2×5 2×6 2×7 2×8 2×9 1×1 1×2 1×3 1×4 1×5 1×6 1×7 1×8 1×9 1×10 a) 8×8 7×8 e) 3×3 2×3 g) 7×7 8×7 i) 9×9 8×9 c) 6×6 7×6 f) 3×3 4×3 h) 7×7 6×7 b) 8×8 9×8 j) 9×9 10×9 d) 6×6 5×6 4 a) 5 · 8 =4 0 4 · 8 = 4 0 − 8 = 3 a) 8 · 8 = 6 4 7 · 8 = 6 4 − 8 = 3 4 Zeigt an der Einmaleins-Tafel. Rechnet schwierige Aufgaben mit einfachen Aufgaben. Rechne geschickt. Achte auf mit 5 mit 10 mit 2 Quadrat . Anna Sophie Wir können jede schwierige Aufgabe mit einer einfachen Aufgabe geschickt rechnen. 7 mal 8 rechne ich mit einer Quadrataufgabe. 4 × 8 3 × 4 9 × 7 7 × 4 7 × 3 7 × 6 8 × 7 3 × 9 9 × 4 4 × 9 7 × 9 8 × 4 6 × 9 3 × 7 4 × 6 3 × 8 4 × 7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
10 1 – 4 Beziehungen zwischen Aufgaben, Tauschaufgaben und deren Umkehraufgaben wiederholen und nutzen. Begriff Umkehraufgabe wiederholen, Begriffe Multiplizieren und Dividieren einführen. æ (K, O) Multiplizieren und Dividieren Die Umkehraufgabe von 4 · 6 = 24 ist 24:6 = 4. Multiplizieren: Malrechnen Dividieren: Geteiltrechnen 2 4 1 3 Zeichne das Punktebild und schreibe immer vier Aufgaben. Rechne geschickt mit der Umkehraufgabe. Multipliziere und dividiere. Schreibe immer vier Aufgaben. 24 a) b) c) e) d) Zeichne Punktebilder und schreibe immer vier Aufgaben mit … a) … 12 Punkten. b) … 24 Punkten. c) … 15 Punkten. d) … Punkten. a) 2×7 e) 3×3 c) 4×4 c) 30÷5 b) 3×4 d) 5×3 f) 10÷2 a) 54÷9 d) 24÷4 b) 27÷3 g) 18÷9 g) 32÷8 e) 45÷9 f) 42÷6 1 a) 4·5=20 20:5= 5 · 4 = 2 0 : 4 = 2 a) 2∙7=14 14:7=2 7∙2=14 14:2=7 4 a) 5 4 : 9 = 6 6 ∙ 9 = 5 4 Teo David Sophie Leo Immer zwei Malaufgaben und zwei Geteiltaufgaben 6 × 4 24 ÷ 4 4 × 6 24 ÷ 6 Ich sehe 4 Sechser. Es sind 4 Zeilen und in jeder Zeile sind 6 Plättchen. Ich sehe die Umkehr- aufgabe. Insgesamt 24. Wie viele Zeilen mit 6 Plättchen sind es? Ich sehe 6 Vierer. Das ist die Tauschaufgabe von 4 · 6. Ich sehe 24 Plättchen in 6 Spalten. 24 : 6 = 4 Plättchen in jeder Spalte. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
11 5 Aufgaben aufschreiben und lösen. Beziehungen zwischen den Aufgaben erläutern. 6 Punktebilder zeichnen. 7 Mal- und Geteiltaufgabe mit Rest finden und rechnen. 8 Beziehungen zwischen den Aufgaben herstellen und nutzen. æ (K, O) 1 Arbeitsheft, Seite 4 9 Einmaleins umgekehrt Malaufgabe zeigen, nennen und beide Umkehraufgaben rechnen. 4 ∙ 5 5 ∙ 4 8 6 7 Schöne Päckchen: Beschreibe das Muster und setze fort. Zeichne Punktebilder. Schreibe immer beide Aufgaben. Einfache Reste: Erkläre. a) 9÷3 10÷3 11÷3 b) 36÷4 37÷4 38÷4 e) 40÷8 44÷8 48÷8 c) 13÷6 19÷6 25÷6 d) 20÷9 30÷9 40÷9 a) 13÷5 a) 21÷4 b) 22÷4 c) 23÷4 d) 24÷4 a) 65÷10 b) 98÷10 d) 84÷10 c) 72÷10 e) 47÷10 b) 17÷3 d) 13÷4 c) 24÷5 e) 20÷6 20 : 5 = 4 20 : 4 = 5 5 Teilen mit und ohne Rest: Schreibe immer beide Aufgaben. 5 a) 2 1 : 4 = 5 R 1 2 1 = 5 ∙ 4 + 1 6 a) 1 3 : 5 = 2 R 3 1 3 = 2 ∙ 5 + 3 7 a) 6 5 : 1 0 = 6 R 5 6 5 = 6 ∙ 1 0 + 5 21 : 4 = 5 Rest 1 1 bleibt übrig. 20 : 4 = 5, denn 5 · 4 = 20 20 : 5 = 4, denn 4 ∙ 5 = 20 Es bleiben 5 Einer übrig. 65 sind 6 Zehner und 5 Einer. Kim Lilly e) Wie verändert sich der Rest? Erkläre. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
12 zu Fuß Fahrrad Roller Bus/Bahn Auto Befragung: sonniger Tag 1 Kind 1 Aus erfassten Daten ein Säulendiagramm erstellen und relevante Informationen entnehmen; vorgegebene Fragen beantworten bzw. begründen, warum sich einzelne nicht genau beantworten lassen. 2 Diagramme vergleichen: Wie verändern sich die einzelnen Säulen? Evtl. Satzanfänge zur Beantwortung nutzen. æ (K, M) 1 2 Tabellen und Diagramme Schönes Wetter! Heute bin ich zu Fuß zur Schule gekommen. Ich bin mit meinem Roller gefahren. Teo Esra Die Kinder machen eine Umfrage zum Schulweg. Die Sonne scheint. a) W ie kommen die Kinder zur Schule? Beschreibt und zeichnet ein Säulendiagramm. Es regnet. Die Kinder machen eine neue Umfrage. a) W ie kommen die Kinder zur Schule? Beschreibt und zeichnet ein Säulendiagramm. b) V ergleicht mit der Befragung an einem sonnigen Tag. b) W elche Fragen könnt ihr genau beantworten? Welche Fragen könnt ihr nicht genau beantworten? Wie viele Kinder werden mit dem Auto zur Schule gebracht? Wie viele Kinder fliegen zur Schule? Wie kommen die meisten Kinder zur Schule? Wie viele Kinder werden zur Schule gefahren? Wie kommen die wenigsten Kinder zur Schule? Wie viele Buben gehen in die Klasse? Wie viele Kinder werden von Eltern zur Schule gebracht? Wie viele Kinder sind in der Klasse? zu Fuß Fahrrad Roller Bus/ Bahn Auto Schulweg 0 5 Anzahl der Kinder 1a) An einem regnerischen Tag kommen … … weniger als … … mehr als … … genauso viele wie … An einem sonnigen Tag kommen … zu Fuß Fahrrad Roller Bus/Bahn Auto Befragung: regnerischer Tag 1 Kind Wie kommen die anderen Kinder eigentlich zur Schule? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
13 3, 4 Vor- und Nachteile der verschiedenen Darstellungen (Tabelle und Säulendiagramm) besprechen. Bei Aufgabe 3 können die Kinder auch noch eigene Sätze schreiben. 5 Klassenausstellung planen. Über den Lernstand sprechen. Weiterführung und Vertiefung: Thema Haushaltsführung. æ (K, M) 3 4 b) Vervollständigt die Sätze. b) I hr könnt Diagramme auch mit dem Computer erstellen. Probiert es mit einem geeigneten Programm aus. Sport mögen insgesamt … Kinder am liebsten. Die wenigsten Mädchen mögen am liebsten… Die meisten Buben mögen am liebsten… In der Klasse sind … Mädchen als Buben. Die Kinder machen eine Umfrage zu ihrer Lieblingsbeschäftigung in der Freizeit. a) W as könnt ihr aus der Befragung ablesen? Beschreibt und zeichnet ein Säulendiagramm. Die Kinder machen eine Umfrage zu den Schülerzahlen im 3. Schuljahr. a) W as könnt ihr aus der Befragung ablesen? Beschreibt und zeichnet ein Säulendiagramm. spielen Sport Musik lesen Lieblingsbeschäftigung Buben Mädchen Anzahl der Kinder 3a) 0 5 malen/ basteln Lena Welche Unterschiede gibt es? Wir haben eine Umfrage in allen 3. Klassen gemacht. Diese Tabelle zeigt unser Ergebnis. spielen Sport malen/ basteln Musik lesen Buben Mädchen Klasse Buben Mädchen 3a 12 13 3b 13 12 3c 14 10 3d 12 12 5 Macht eigene Umfragen in eurer Klasse und eurer Schule. « So kann ich Daten sammeln So kann ich Daten auswerten Säulendiagramm mit Plättchen mit Strichen mit Zetteln Tabelle Buben Mädchen 12 13 zu Fuß 0 Lieblingsbeschäftigung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
14 Fachwörter Addieren und Summe besprechen. 1 Einfache Additionsaufgaben rechnen. 2 Verdoppeln auf einfache Additionsaufgaben zurückführen. æ (K, O) Addieren: Plusrechnen Summe: Ergebnis einer Plusaufgabe 3 Verdoppeln im Hunderter Zahl bis 50 nennen, legen oder zeichnen und Zahl verdoppeln. Das Doppelte ist 96. 2 ∙ 40 = 80 und 2 ∙ 8 = 16, also 2 ∙ 48 = 96 48 2 ∙ 45 = 90, also ist 2 ∙ 48 = 96 Hannah Addieren und Subtrahieren 54+ 31 Plusrechnen heißt auch Addieren. Wir addieren 31 zu 54. Die Summe ist 85. 54 plus 31 ist einfach. Ich rechne 3 Zehner und 1 Einer dazu. 1 2 Rechne einfache Plusaufgaben. Verdopple. a) 54+10 54+30 a) 40+40 3+ 3 43+43 b) 20+20 1+ 1 21+21 c) 30+30 5+ 5 35+35 d) 10+10 6+ 6 16+16 e) 40+40 7+ 7 47+47 f) 71+14 31+14 e)85+ 4 25+ 4 j) 14+35 14+36 d)42+ 6 72+ 6 i) 32+17 32+18 c) 30+12 50+12 h) 24+35 24+45 b) 43+10 43+30 g) 24+12 54+12 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
15 Fachwörter Subtrahieren und Differenz besprechen. 1 Einfache Subtraktionsaufgaben rechnen. 2 Halbieren auf einfache Zerlegungen zurückführen. æ (K, O) 1 Arbeitsheft, Seite 5 6 Halbieren im Hunderter Gerade Zahl nennen, legen oder zeichnen und Zahl halbieren. Die Hälfte ist 36. 72 Ich halbiere erst die 70 und dann die 2. Ich denke an das Verdoppeln. 2 ∙ 35 = 70, also 2 ∙ 36 = 72 Anna 54– 31 Minusrechnen heißt auch Subtrahieren. Wir subtrahieren 31 von 54. Die Differenz ist 23. 4 5 Rechne einfache Minusaufgaben. Halbiere. a) 54−20 54−40 a) 90 4 94 b) 80 6 86 c) 70 8 78 d) 60 6 66 e) 50 4 54 f) 74−12 34−12 e)85− 4 25− 4 j) 68−27 68−28 d)42− 1 72− 1 i) 74−13 74−14 c) 87−30 87−50 h) 56−35 56−45 b) 63−10 63−30 g) 35−14 65−14 Subtrahieren: Minusrechnen Differenz: Ergebnis einer Minusaufgabe 5 a) 9 0 = 4 5 + 4 5 4 = 2 + 2 9 4 = 4 7 + 4 7 54 minus 31 ist einfach. Ich nehme 3 Zehner und 1 Einer weg. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
16 1 2 Schöne Päckchen: Setzt fort. Was fällt euch auf? Beschreibt und erklärt. Schöne Päckchen mit Lücken: Löse und setze passende Zahlen ein. a) 41+49 43+47 45+ +43 + b) 28+15 38+16 48+ +18 + c) 24+56 35+46 +36 57+ + d) 59+11 48+13 + + + 2 a) 4 1 + 4 9 = 9 0 4 3 + 4 7 = 9 0 4 5 + 4 5 = 9 0 4 7 + 4 3 = 9 0 4 9 + 4 1 = 9 0 Verbale und nonverbale Forschermittel wiederholen. 1 Regelmäßigkeiten in schönen Päckchen mit Forschermitteln beschreiben und begründen. 2 Struktur des schönen Päckchens erkennen und Lücken passend ausfüllen. æ (P, K, O) Addieren und Subtrahieren So kannst du beschreiben beschreiben und erklären erklären: die 1. Zahl die 2. Zahl die Summe Wenn …, dann … Deshalb … mit Farben mit Pfeilen mit Zahlbildern Zahlbildern mit Wörtern Wörtern und Sätzen Sätzen a) 10+23 20+23 30+23 f) 40+25 42+27 44+29 c)34+ 2 34+13 34+24 h) 34+60 35+61 36+62 b) 15+35 15+40 15+45 g) 20+35 25+40 30+45 d)23+ 4 32+ 4 41+ 4 i) 27+13 26+15 25+17 e) 55+33 66+22 77+11 j) 28+34 26+36 24+38 Die 1. Zahl wird immer um 10 größer. Die 2. Zahl bleibt gleich. Was passiert mit der Summe? Das ist ein schönes Päckchen. Ich beschreibe das Muster mit Farben und Pfeilen. Sophie Finn Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
17 Finn Sophie 3 Regelmäßigkeiten in schönen Päckchen zur Subtraktion untersuchen; nonverbale und verbale Darstellungsmittel zum Beschreiben und Erklären wiederholen. 4 Sprachliche Erklärungen vervollständigen. 5 Ausgehend von einer Startauf- gabe schöne Päckchen erstellen. æ (P, K, O) 1 Arbeitsheft, Seite 6 3 4 5 Schöne Päckchen: Setzt fort. Was fällt euch auf? Beschreibt und erklärt. Welche schönen Päckchen beschreiben die Kinder? Ordnet zu und ergänzt den letzten Satz. a) 82−20 82−30 82−40 b)76− 5 76−10 76−15 e) 47−12 48−13 49−14 d)57+ 6 52+11 47+16 c) 21−2 21−4 21−6 d) 57−5 55−5 53−5 f) 83−4 85−6 87−8 b) 57−6 59−6 61−6 a) 57+6 58+7 59+8 g) 67−6 70−4 73−2 c) 57−6 58−7 59−8 Wir nehmen von derselben Zahl immer 10 mehr weg. Dann muss die Differenz um 10 kleiner werden. Die 2. Zahl wird größer, aber die Differenz wird kleiner. Wie kann ich das erklären? Die 1. Zahl wird immer um 1 größer. Die 2. Zahl wird immer um 1 größer. Deshalb bleibt die Differenz … Mia Die 1. Zahl wird immer um 1 größer. Die 2. Zahl wird immer um 1 größer. Deshalb wird die Summe … Noah Die 1. Zahl wird immer um 2 größer. Die 2. Zahl bleibt gleich. Deshalb wird die Differenz … Lena Die 1. Zahl wird immer um 5 kleiner. Die 2. Zahl wird immer um 5 größer. Deshalb bleibt die Summe … Ben 3 a) 8 2 − 2 0 = 6 2 8 2 − 3 0 = 5 2 8 2 − 4 0 = 4 2 8 2 − 5 0 = 3 2 + 0 +10 –10 « 4 a) 5 7 + 6 = 6 3 5 8 + 7 = 6 5 5 9 + 8 = 6 7 Noah Deshalb wird die Summe immer um 2 größer. Findet schöne Päckchen. Beschreibt und erklärt. Startet mit … a) … 74 + 1. b) … 86 − 27. c) Findet weitere schöne Päckchen. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
18 So kannst du deinen Rechenweg beschreiben beschreiben und erklären erklären: mit Zahlen mit Zahlbildern Zahlbildern am Rechenstrich Rechenstrich mit Wörtern Wörtern mit Abkürzungen Abkürzungen 53 + 17 = 70 Schrittweise ZE, S, H 53 + 7 = 60 60 + 10 = 70 53 60 10 70 7 1, 2 Eigene Rechenwege wählen und darstellen, im Klassengespräch vergleichen (Mathekonferenz). æ (P, K, O) Rechenwege bei der Addition 1 2 Wie rechnet ihr 35 + 57? Beschreibt. Findet verschiedene Rechenwege. Rechnet geschickt. a) Wie rechnet ihr? Beschreibt und erklärt eure Rechenwege. b) Vergleicht und ordnet die Aufgaben nach den Rechenwegen. 35 92 60 3 95 Leo 35 40 52 92 Karim 5 2 a) 5 3 + 1 7 = 7 0 ZE 50+10=60 3 + 7 = 1 0 35+57=80+1 2=92 3 0 + 5 0 5 + 7 Anna 3 5 + 5 7 = 9 2 3 5 + 5 0 = 8 5 8 5 + 7 = 9 2 Eric 3 5 + 5 7 = 9 2 3 2 + 6 0 = 9 2 Lilly – 3 + 3 57 liegt nah bei einer Zehnerzahl. Schrittweise: S Hilfsaufgabe: H Zehner und Einer extra: ZE Zehner und Einer extra Karim Lilly 53 + 17 25 + 29 33 + 48 24 + 54 44 + 38 33 + 29 18 + 24 38 + 27 34 + 22 53 + 19 39 + 18 66 + 26 25 + 35 Schrittweise Hilfsaufgabe 35 + 57 Ich rechne erst bis zum Nachbarzehner. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
19 3, 4 Strategie Hilfsaufgabe weiterentwickeln und vertiefen. 5 Rechenwege zunehmend aufgabenabhängig auswählen. 6 Muster in den Aufgaben erkennen und nutzen. 7 Eigene Aufgaben finden. æ (P, K, O) 1 Arbeitsheft, Seite 7 5 6 + 1 9 = 7 5 56 75 20 1 76 5 6 + 1 9 = 7 5 5 5 + 2 0 = 7 5 – 1 + 1 56 + 19 3 7 Hilfsaufgaben: Rechne und schreibe den Rechenweg wie Eva oder wie Sophie. Wählt immer zwei Zahlen. Findet Plusaufgaben. Die Summe ist … a) … kleiner als 50. b) … gleich 50. c) … größer als 50. g) Finde Aufgaben, die du mit Hilfsaufgaben rechnest. Erkläre. Die 2. Zahl ist nah an einer Zehnerzahl. Ich addiere erst 20 und subtrahiere anschließend 1. Ich verkleinere die 1. Zahl und vergrößere die 2. Zahl genauso. Dann bleibt es gleich viel, aber die Aufgabe ist einfacher. a)56+19 b)58+19 c) 59+34 d)39+33 e)48+35 f) 28+14 6 Aufgabenpaare: Die Summe ist immer gleich. Erkläre. e) Finde Aufgabenpaare. a) 73+17 63+27 b) 38+12 18+32 c) 51+19 21+49 d) 54+26 34+46 4 Schöne Aufgabenpaare: Rechne immer erst die einfache Aufgabe. a) 39+52 39+50 b) 46+50 46+49 c) 24+40 24+38 d) 60+38 61+39 5 Rechne geschickt. a) 20+40 20+42 25+42 b) 47+30 47+33 48+33 c) 50+20 55+25 58+28 d) 30+50 39+51 31+59 e) 66+20 66+25 65+25 37 49 21 74 15 63 29 42 27 13 35 7 a) 2 9 + 1 5 = 4 4 7 b) 3 7 + 1 3 = 5 0 7 c) 6 3 + 1 5 = 7 8 Sophie Eva 4 a) 3 9 + 5 2 = 3 9 + 5 0 = 8 9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
20 1 Aufgabe auf eigenen Wegen rechnen und im Klassengespräch vergleichen (Mathekonferenz). Mit Rechenwegen der Seite vergleichen, evtl. neue Wege besprechen. 2 Rechenstrategien aufgabenabhängig wählen und begründen. æ (P, K, O) Rechenwege bei der Subtraktion 1 2 Wie rechnet ihr 52 − 38? Beschreibt. Findet verschiedene Rechenwege. Rechnet geschickt. a) W ie rechnet ihr? Beschreibt und erklärt eure Rechenwege. Ergänzen: E 12 14 40 2 52 Lilly 52−38=20−6=14 5 0 − 3 0 2 − 8 Anna 3 8 + 1 4 = 5 2 3 8 + 4 = 4 2 4 2 + 1 0 = 5 2 Sophie 5 2 − 3 8 = 1 4 5 4 − 4 0 = 1 4 Leo + 2 + 2 46 − 37 73 − 29 43 − 29 74 − 38 54 − 22 72 − 34 85 − 79 64 − 58 54 − 24 57 − 38 43 − 12 66 − 18 85 − 28 52−2−36=14 Karim 14 22 30 52 Eric 8 Ich rechne mit einer Hilfsaufgabe und ziehe erst 30 ab. Sophie Schrittweise: S Hilfsaufgabe Hilfsaufgabe: H Zehner und Einer extra: ZE 52 − 38 Bei Minus- aufgaben kann man auch ergänzen. b) Vergleicht und ordnet die Aufgaben nach den Rechenwegen. Ergänzen Noah Zehner und Einer extra Schrittweise Hilfsaufgabe H 4 3 – 2 9 = 1 4 13 14 30 1 43 = Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
21 3 Strategie Hilfsaufgabe weiterentwickeln und vertiefen. 4 Rechenwege zunehmend aufgabenabhängig auswählen. 5 Eigene Aufgaben finden. 6 Ergänzen im Kontext wiederholen. æ (P, K, O) 1 Arbeitsheft, Seite 8 5 3 − 3 8 = 1 5 5 5 − 4 0 = 1 5 + 2 + 2 53 − 38 3 4 5 6 Hilfsaufgaben: Rechne und schreibe den Rechenweg wie Erik oder wie Teo. Rechne geschickt. Wählt immer zwei Zahlen. Findet Minusaufgaben. In das Album passen 72 Sticker. Wie viele Sticker fehlen den Kindern noch? a) Anton hat 25 Sticker. b) Max hat 22 Sticker. c) Karim hat 54 Sticker. d) Sophie hat 36 Sticker. e) Finn hat 29 Sticker. f) Leo hat 18 Sticker. Die Differenz ist … a) … kleiner als 50. b) … gleich 50. c) … größer als 50. h) Finde Aufgaben, die du mit Hilfsaufgaben rechnest. Erkläre. Die 2. Zahl liegt nah bei einer Zehnerzahl. Ich ziehe erst 40 ab und addiere dann 2. Ich vergrößere beide Zahlen um 2. Dann bleibt die Differenz gleich. a)53−38 b)37−19 c) 51−38 d)74−18 e)63−34 f) 73−28 g)68−49 a) 70−20 70−23 71−23 b) 81−20 81−22 82−23 c) 62−32 62−33 61−33 d) 76−46 76−48 77−48 e) 90−45 92−45 92−46 79 33 57 15 29 7 68 24 45 18 5 a) 7 9 − 5 7 = 2 2 5 b) 7 9 − 2 9 = 5 0 5 c) 7 9 − 1 5 = 6 4 Teo Erik Metin Erik Ich habe schon 25 Sticker im Album. 25 + = 72 Wie viele fehlen dir noch? 5 3 − 3 8 = 1 5 13 15 40 2 53 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
22 Rückblick Wesentliche Aspekte des Kapitels noch einmal reflektieren. Über den Lernstand sprechen. æ (K, O) 1 Arbeitsheft, Seite 9 Ich kann Mal- und Geteiltaufgaben geschickt lösen. Ich kann Rechenwege für Plus- und Minusaufgaben finden und beschreiben: Zehner und Einer extra, Schrittweise, Hilfsaufgabe, Ergänzen. Ich kann schöne Päckchen beschreiben und erfinden. mit 5 mit 10 mit 2 Quadrat 5 3 4 Schöne Päckchen: Was fällt dir auf? Beschreibe und erkläre. Setze fort. Rechne einfache Aufgaben. Wie rechnest du? e) F inde 5 einfache Plus- und Minusaufgaben. e) F inde 5 Plus- und Minusaufgaben. a) 35+5 45+5 55+5 a) 43+20 43+50 a) 34+25 51+35 b) 36+4 36+7 b) 26+49 36+29 c) 72−20 72−50 d) 45−5 45−7 d) 45−29 41−37 c) 56−24 52−34 b) 46+14 45+15 44+16 c) 56+24 56+34 56+44 d) 78+19 79+20 80+21 6 Übt immer wieder. Einmaleins an der Einmaleins-Tafel (Seite 9) Einmaleins umgekehrt (Seite 11) Verdoppeln im Hunderter (Seite 14) Halbieren im Hunderter (Seite 15) Addieren: Plusrechnen Subtrahieren: Minusrechnen Multiplizieren: Malrechnen Dividieren: Geteiltrechnen Summe: Ergebnis einer Plusaufgabe Differenz: Ergebnis einer Minusaufgabe 1 Rechne geschickt. a) 2×6 3×6 c) 3×3 4×3 b) 5×4 6×4 d) 20÷2 18÷2 f) 25÷5 30÷5 e) 70÷7 63÷7 2 Rechne geschickt. a) 5×6 5×7 5×8 d) 5×1 6×2 7×3 b) 4×4 3×4 2×4 e) 8×2 8×3 8×4 c) 3×2 4×3 5×4 f) 5×5 6×6 7×7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
23 Forschen und Finden Schöne Päckchen Forschen und Finden: Zahlengitter Aufgabenformat „Zahlengitter“ kennenlernen. 1 – 4 Operative Veränderungen an den Zahlengittern durchführen. Beziehungen der Zahlengitter untereinander entdecken und mithilfe der Termdarstellung begründen. æ (P, K, O) 1 Arbeitsheft, Seite 10 Noah Was passiert mit der Zielzahl? Nach unten rechne ich immer plus 7, nach rechts immer plus 8. Die Startzahl wird um 1 erhöht. Diese Zahl wird auch um 1 größer. 0 8 16 7 15 23 14 22 30 Pluszahl + 8 + 7 Zielzahl Startzahl 1 9 + 8 + 7 Milena Anna Kim Alle Zahlen werden um 1 größer. 1 2 3 4 Rechnet Zahlengitter mit den Pluszahlen 7 und 8. a) S tartzahl: 0 Startzahl: 1 Startzahl: 2 b) S tartzahl: 4 Startzahl: 6 Startzahl: 8 c) S tartzahl: 5 Startzahl: 10 Startzahl: 15 d) Was fällt euch auf? Rechnet Zahlengitter mit der Startzahl 0. Was passiert mit der Zielzahl? a) P luszahlen: 7, 9 Pluszahlen: 7, 10 Pluszahlen: 7, 11 b) P luszahlen: 12, 13 Pluszahlen: 17, 18 Pluszahlen: 22, 23 c) Was fällt euch auf? Erklärt. Findet verschiedene Zahlengitter. Ordnet und erklärt. a) Die Startzahl ist 0 und die Zielzahl ist 20. b) Die Startzahl ist 10 und die Zielzahl ist 20. Findet Zahlengitter zu den Zielzahlen. a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29 f) 30 Findet eigene Zahlengitter! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
24 1 Kommaschreibweise von Geldbeträgen im Unterrichtsgespräch an der Stellentafel erklären. Begriff Komma einführen. Geldbeträge eintragen. Ggf. auch unkonventionelle Schreibweise ansprechen, z. B. 0,5 €. 2 Sprech- und Schreibweise bei gemischten Geldbeträgen (Euro und Cent) vergleichen, die Bedeutung der Ziffern hinter dem Komma hervorheben. æ (K, O) 1 Arbeitsheft, Seite 11 1 2 Wie viel Euro sind es? Schreibt den Betrag in eine Tabelle und mit Komma. a) b) b) c) c) f) g) d) e) h) i) Legt, sprecht und vergleicht die Beträge. a) Mit Geld rechnen 10€ 1€ 10c 1c 3 2 0 8 100 c = 1,00 =C 10 c = 0,10 =C 1 c = 0,01 =C 1=C 1 c =1,01=C 1=C 10 c =1,10=C Luka Lena Lena 1 a) 1 0=C 1 =C 1 0 c 1 c 2 1 0 5 2 1, 0 5 =C 6,50 € 38 € 0,01 € 65 c 3 € 80 c 1 € 1 c 6,05 € 3,80 € 10 € 60,50 € 30,08 € 0,10 € 6 € 5 c 0,38 € 1 € 10 c 0,65 € 3 € 8 c 1 € Das sind 6 Euro und 50 Cent. Sechs Komma fünf null Euro Luka 32 Euro und 8 Cent kann ich auch anders legen. Ich schreibe den Betrag in die Tabelle. Ich schreibe den Betrag mit Komma. 32,08 € Eva Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
25 1 4, 5 0 =C 2 3 4 5 1 2, 1 0 =C 2 4, 2 0 =C 3 4 5 3 Geldbeträge verändern und ablesen. 4 Preislisten schreiben. 5 Mit den Preislisten die Beträge berechnen. 6, 7 Sachaufgaben mit den Preislisten lösen. Über den Lernstand sprechen. æ (M, P, O) 1 Arbeitsheft, Seite 12 3 4 5 6 7 Lege mit Rechengeld und schreibe mit Komma. Setze fort. a) Immer 5 Cent dazu. b) Immer 20 Cent dazu. Schreibe Preislisten. Wie viel kostet es? Schreibt passende Bestellungen. Was kostet zusammen … a) … 9,00 €? b) … 12,60 €? c) … 9,20 €? d) … 26,00 €? a) Milena bezahlt 6,30 € für ein Eis. Wie viele Eiskugeln hat sie gekauft? b) N oah gibt dem Eisverkäufer 10,00 € und bekommt 1,60 € zurück. Was kann er gekauft haben? c) Lilly, Sophie und Finn haben zusammen 10,50 €. Was können sie kaufen? d) K im, Erik und Luka haben zusammen 15,00 €. Jeder möchte zwei Kugeln Eis mit Schlagobers. Reicht das Geld? e) Findet Rechengeschichten. a) d) b) e) c) f) Finde Aufgaben. 10€ 1€ 10c 1c 1 2 9 1 1 2 9 6 1 3 0 1 10€ 1€ 10c 1c 2 9 7 4 2 9 9 4 3 a) 1 2, 9 1 =C 1 2, 9 6 =C 5 a) 4, 2 0 =C+4, 2 0 =C= Eiskugeln Anzahl Preis Anzahl Preis Anzahl Preis Waffeln Eisschokolade Eisschokolade 4,50=C Eiskugel 2,10=C Schlagobers 0,80=C Waffel 3,50=C 1 3, 5 0 =C 2 3 4 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
26 Tageskarte Kinder Preistabellen gemeinsam betrachten und erläutern. 1 Preise ggf. mit Rechengeld berechnen. 2 Überprüfen, welche Fragen anhand der Preistabellen beantwortet werden können. Anschließend Aufgaben lösen. æ (M, O) Sachaufgaben Schwimmbad „Ahoi“ Erwachsene Kinder 2-Stunden-Karte 8,00 € 4,00 € Jede weitere angefangene Stunde 3,00 € 1,50 € Tageskarte 12,00 € 6,00 € Shop Eis 2,30 =C Saft 2,50 =C Taucherbrille 15,50 =C Schwimmnudel 8,50 =C Wasserball 5,50 =C 1 2 Berechnet die Preise. Welche Fragen könnt ihr beantworten? a) H at das Schwimmbad auch an Feiertagen geöffnet? b) V ier Kinder möchten schwimmen gehen. Reichen 20 Euro für den Eintritt? c) K im und Lilly gehen um 16 Uhr schwimmen. Wie lange hat das Bad geöffnet? d) H err Hübscher kauft sich um 16 Uhr eine 2-Stunden-Karte. Um 18:30 Uhr verlässt er das Schwimmbad. Wie viel Euro muss er nachzahlen? e) K im hat 15 Euro. Sie kauft sich eine 2-Stunden-Karte. Nun möchte sie sich noch ein Eis und eine Schwimmnudel kaufen. Reicht das Geld? f) S ophie bezahlt im Shop mit einem 20-Euro-Schein. Sie bekommt 4,50 Euro zurück. Was kann sie gekauft haben? a) d) b) e) c) f) Findet weitere Aufgaben. 1 a) 8, 0 0 =C+4, 0 0 =C+ 1 5, 5 0 =C= 2-Stunden-Karte Erwachsene 2-Stunden-Karte Erwachsene 2-Stunden-Karte Erwachsene 2-Stunden-Karte Erwachsene 2-Stunden-Karte Erwachsene Tageskarte Erwachsene Tageskarte Kinder Tageskarte Kinder 2-Stunden-Karte Kinder 2-Stunden-Karte Kinder 2-Stunden-Karte Kinder Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
27 3, 4 Die Abkürzungen m und cm ansprechen, Sachaufgaben auf eigenen Wegen lösen. 5 Uhrzeiten ablesen, Zeitpunkte berechnen. 6 Baderegeln und Anforderungsbereiche bei den Schwimmabzeichen besprechen. Über den Lernstand sprechen. æ (P, M, O) 1 Arbeitsheft, Seite 13 Schwimmerabzeichen Fahrtenschwimmer – 15 Minuten Dauerschwimmen in beliebigem Stil – 10 m Streckentauchen – einmaliges Tieftauchen (ca. 2 m) und Heraufholen eines ca. 3 kg schweren Gegenstandes – 50 m Rückenschwimmen ohne Armtätigkeit – Kopfsprung aus ca. 1 m Höhe oder beliebiger Sprung aus 3 m Höhe ins Wasser – Kenntnis der 10 Baderegeln 3 4 5 5 a) 30 min 13.30 Uhr 14.00 Uhr Hannah Hannah Eva Erik Karim Die Kinder wollen 30 Minuten lang schwimmen. Die Uhren zeigen, wann sie ins Wasser gehen. Wann hören sie auf zu schwimmen? Welche Kinder sind groß genug für das Nichtschwimmerbecken? a) Wassertiefe 100 cm b) Wassertiefe 90 cm Esra, Anna und Metin üben für das Schwimmabzeichen Fahrtenschwimmer. a) Sie müssen 2 Meter tief tauchen. Wie viele Zentimeter fehlen noch? b) Sie wollen mindestens 100 Meter in 10 Minuten schwimmen. Eine Bahn ist 25 Meter lang. Hannah: 1 m 32 cm Kim: 1 m 19 cm Karim: 1 m 29 cm Eva: 1 m 18 cm Noah: 1 m 36 cm Milena: 1 m 22 cm Erik: 1 m 28 cm Finn: 1 m 28 cm Esra Tauchtiefe: 1 m 80 cm Anna Tauchtiefe: 1 m 35 cm Metin Tauchtiefe: 1 m 55 cm Esra schwimmt in 10 Minuten 5 Bahnen. Schwimmt sie schneller oder langsamer als Metin? Begründe. Anna ist bereits 50 Meter weit geschwommen. Wie viele Bahnen fehlen ihr noch? Metin schwimmt in 10 Minuten 4 Bahnen. Hat er sein Ziel erreicht? 6 Informiert euch über Baderegeln und die Schwimmabzeichen. Ihr könnt dazu auch im Internet recherchieren. a) 12 11 1 7 5 2 10 4 8 6 9 3 12 11 1 7 5 2 10 4 8 6 9 3 d) 12 11 1 7 5 2 10 4 8 6 9 3 c) 12 11 1 7 5 2 10 4 8 6 9 3 b) Ein Kind sollte mindestens 30 Zentimeter größer sein als die Wassertiefe, damit es im Nichtschwimmerbecken gut stehen kann. mindestens 30 cm Wassertiefe « Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
28 1 Würfelgebäude nach den Bauplänen bauen. Untersuchen, welche Gebäude zum gleichen Bauplan gehören. 2 Falschen Bauplan erkennen. Fehler erklären, Bauplan neu zeichnen. 3 Eigene Würfelgebäude bauen und alle vier Baupläne zeichnen. æ (P, K, O) Würfelgebäude 1 2 3 Immer 10 Würfel Baut Gebäude mit 5 (6, …) Würfeln. Zeichnet die Baupläne von allen vier Blickrichtungen. a) Baut nach dem Plan. b) I mmer 2 Kinder haben nach dem gleichen Plan gebaut. Ordnet die Namen den Plänen zu. 1 b) 1 3 2 2 1 1 Milena und Anna Lena Esra Max Teo Milena Anna Teo Erik Luka Hannah Kim Finn « Teo Lena Max Esra Finn Kim Ich sehe den Dreierturm vorne links. Von hier aus steht der Dreierturm hinten rechts. 1 3 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 3 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 Ein Bauplan stimmt nicht. Erklärt und zeichnet neu. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
29 4 Das Spiel ausgehend von den selbst gezeichneten Bauplänen aus Aufgabe 3 spielen. Veränderung im Würfelgebäude und Bauplan zeigen. 5 Verschiedene Möglichkeiten finden, genau einen Würfel wegzunehmen. Baupläne zeichnen. 6 Mit 6, 7, … Würfeln auf dem Bauplan bauen. Dabei darauf achten, dass gedrehte Gebäude gleich sind. æ (P, K, O) 1 Arbeitsheft, Seite 14 4 6 5 Spielt „Würfelumbau“. Legt immer … a) … einen Würfel dazu. b) … einen Würfel weg. c) … einen Würfel um. Baut auf dem Plan und zeichnet die Baupläne. Wie viele Möglichkeiten gibt es? a) Baut mit 6 Würfeln. b) Baut mit 7 Würfeln. c) Baut mit 8 Würfeln. d) B aut ein eigenes Würfelgebäude. Nehmt einen Würfel weg. Findet verschiedene Möglichkeiten und zeichnet die Baupläne. Immer 8 Würfel: Nehmt einen Würfel weg. Welche Gebäude können entstehen? Findet alle Möglichkeiten und zeichnet die Baupläne. a) b) c) « Ich habe zuerst auf jede Stelle einen Würfel gelegt. Leo 1. 3. 2. 4. 5 a) 3 3 3 2 2 2 2 1 2 1 1 vorher nachher Würfelumbau Hannah Sophie Dann drehe ich das Gebäude. Hier hast du einen Würfel dazugelegt. Ich lege einen Würfel dazu. Ich zeichne einen Bauplan und baue das Gebäude. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
30 Zahlen bis 1000 lesen und darstellen lernen. 1 Unstrukturierte Anzahlen bündeln, Hunderter als fortzusetzende Einheit (10 Z = 1 H) bewusst erfahren, Darstellungen (Stellentafel, Stellenkarten, Bündel) vergleichen. 2 Mengen an unstruk- turierten Materialien (Eicheln, Büroklammern, …) geschickt bündeln, Ergebnisse präsentieren und vergleichen. æ (K, O) Orientierung im Tausenderraum Erik Sophie 2 4 0 3 0 0 Das sind 3 Hunderter, 4 Zehner und 2 Einer. H Z E 3 4 2 3 4 2 Bündeln der Einer der Zehner der Hunderter 10 Einer = 1 Zehner 10 Zehner = 1 Hunderter 10 Hunderter = 1 Tausender 1 2 Wie zählen die Kinder? Beschreibt. Zählt weitere Gegenstände. Wie viele sind es? Bündelt ebenso. « Karim Milena Kim Lilly 20 Zehner sind 2 Hunderter, bleiben noch 1 Zehner und 5 Einer. Es sind 21 Zehner und 5 Einer. Wir können bündeln. Zweihundertfünfzehn, erst schreibe ich die Hunderter, dann die Zehner, dann die Einer. Dreihundertzweiundvierzig, ich schreibe erst die Hunderter, dann die Zehner, dann die Einer. 200 und 10 und 5, das sind zweihundertfünfzehn. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
31 3 Zehnerbündelungen herausstellen: 10 Einer sind 1 Zehner, 10 Zehner sind 1 Hunderter. 4 Zum Schätzen und Zählen Bündelungseinheiten schaffen oder vorhandene Strukturen sinnvoll nutzen, evtl. dafür Folien bereitstellen, damit die Kinder eigene Raster aufzeichnen können, um diese zum Zählen zu nutzen. æ (P, K, O) 1 Arbeitsheft, Seite 15 Zählen, Bündeln und Schätzen 4 3 Wie viele sind es ungefähr? Schätzt und zählt geschickt. Wie viele Hunderter (H), wie viele Zehner (Z), wie viele Einer (E) sind es? David Esra Wir bündeln immer 10 Zehner zusammen zu 1 Hunderter. Das sind 23 Zehner und 5 Einer. Das sind 2 Hunderter, 3 Zehner und 5 Einer, also 200 + 30 + 5. Zweihundertfünfunddreißig, ich schreibe erst die Hunderter, dann die Zehner, dann die Einer. a) d) b) e) c) 3 a) 200+30+5=235 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
32 Mit den Punktefeldern (evtl. auch mit Zehnersystemblöcken) Stellenwerte bewusst thematisieren (Prinzip der fortgesetzten Bündelung, stellengerechte Anordnung). 1 Anzahlen bestimmen und zeichnerisch darstellen (evtl. passende Zahlenkarten legen). 2 Aufbau des Zahlwortes besprechen, Schreib- und Sprechweise thematisieren (erst H, dann Z, dann E notieren). æ (K, O) Die Zahlen bis 1000 So kannst du Zahlbilder lesen und zeichnen: der Hunderter der Zehner der Einer 2 Zählt vorwärts und rückwärts. Was fällt euch auf? dreihundertzehn dreihundertzwanzig dreihundertdreißig … 310 320 330 three hundred and ten three hundred and twenty three hundred and thirty 1 Zeichne die Zahlbilder, sprich und schreibe. b) d) c) a) 1 a) 4 5 6 Noah Eva Die Zahl heißt vierhundert- sechsundfünfzig, ich schreibe erst die 4 Hunderter, dann die 5 Zehner und dann die 6 Einer. Das sind 4 Hunderter, 5 Zehner, 6 Einer. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
33 3 – 5 Lesen und Zeichnen von Zahlbildern, Fünferstruktur nutzen (Lücke lassen nach 5 Z bzw. 5 E; oder halben Zehnerstrich). Zahlen zunehmend systematisch legen. 6 Zahlwörter lesen. 7 Zahlendiktat: Ein Kind legt oder zeichnet Zahlbilder, das andere Kind nennt und notiert die Zahl. 8 Zahlwörter in verschiedenen Sprachen vergleichen. æ (K, O) 1 Arbeitsheft, Seite 16 8 Zählt vorwärts und rückwärts. Was fällt euch auf? dreihunderteinunddreißig dreihundertzweiunddreißig dreihundertdreiunddreißig … 331 332 333 three hundred and thirty-one three hundred and thirty-two three hundred and thirty-three 3 4 6 7 5 Wie heißen die Zahlen? Schreibe. Zeichne die Zahlbilder. Schreibe die Zahlen. Lies die Zahlen. Lege sie und schreibe sie auf. a) siebenhundertdreiundfünfzig b) fünfhundertdreiundsiebzig c) fünfhundertsiebenunddreißig d) achthundertzweiundsechzig e) sechshundertachtundzwanzig Zahlendiktat: Wie heißt die Zahl? Finde viele verschiedene Zahlen. Wie gehst du vor? d) Wähle eigene Zahlen. Zeichne und schreibe ebenso. 4 a) 1 2 4 5 a) 3 2 1 3 2 2 3 2 3 a) a) a) mit b) d) f) c) e) 3 a) 2 0 0 + 3 = 2 0 3 4 2 0 1 0 0 2 0 3 0 0 b) mit 4 0 5 0 0 c) mit 4 2 0 0 d) mit 6 5 0 b) 6 3 0 2 0 0 c) 4 4 0 4 0 0 « 6 a) 700+50+3=753 Kim Paula 5 Hunderter, 1 Zehner und 3 Einer. Wie heißt die Zahl? 500 plus 10 plus 3 gleich 513 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
34 1 Thematisieren unbesetzter Stellen und der Rolle der Null beim Schreiben von Zahlen, dazu die Zahlen als Zahlbilder darstellen. 2 Zahlbilder deuten und in die Stellenwerttafel übertragen, Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Aufgabenpaare markieren. 3 Additive Struktur in Stellenwerttafel übertragen, Veränderungen erkennen und darstellen. æ (K, O) Die Stellenwerttafel Zahlen werden mit Ziffern geschrieben. Das sind 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Aus 2 Ziffern können zweistellige Zahlen und aus 3 Ziffern dreistellige Zahlen gebildet werden. 1 a) H Z E 5 2 7 b) H Z E 5 0 4 d) H Z E 3 1 6 c) H Z E 7 3 2 e) H Z E 2 7 0 Zeichne die Zahlbilder. Schreibe die Zahlen. Karim Marie Das ist eine 3-stellige Zahl. Sie besteht aus 3 Ziffern. 6 Hunderter, 0 Zehner und 8 Einer H Hunderter Z Zehner E Einer 6 0 8 608 1 a) 5 2 7 2 3 Schreibe die Zahlen in die Stellenwerttafel. Vergleiche. Schreibe die Zahlen in die Stellenwerttafel. Vergleiche. a) b) c) d) a)500+20+ 3 20+ 4+500 c) 60+900+ 3 300+ 3+60 b)40+ 8+600 8+600+ 80 d)700+ 20+7 70+700 + 7 e)800+ 8 9+900 2 a) H Z E 5 0 4 5 4 0 3 a) H Z E 5 2 3 5 2 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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