11.3 Berechnen von Wahrscheinlichkeiten laplace-Versuche 11.31 Ein Satz Schnapskarten besteht aus 20 Spielkarten. Die Karten Zehn, Bube, Dame, König und Ass gibt es in den vier Farben Herz, Karo, Pik und Treff. Die Karten werden gemischt mit der Rückseite nach oben auf einen Tisch gelegt. Eine Person zieht zufällig eine Karte aus dem gesamten Kartensatz. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte die Herz-Dame ist! b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte ein Ass ist! lösung: a) Von 20 möglichen Karten ist nur eine, die Herz-Dame, gewünscht. Daher ist für das Ereignis E: „Die Herz-Dame wird gezogen“ die Wahrscheinlichkeit 1 _ 20 . b) Von 20 möglichen Karten sind vier Karten Asse (Herz Ass, Karo Ass, Pik Ass, Treff Ass). Daher ist für das Ereignis E: „Ein Ass wird gezogen“ die Wahrscheinlichkeit 4 _ 20 = 1 _ 5 . Jede Spielkarte hat die gleiche Chance, zufällig gezogen zu werden. Versuche dieser Art sind nach dem französischen Mathematiker Pierre simon de laplace (1749–1827) benannt: Ein Zufallsversuch, bei dem jeder Ausgang die gleiche Chance des Eintretens hat, wird als laplace-Versuch bezeichnet. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis E das Verhältnis der Anzahl der günstigen (zutreffenden) Versuchsausgänge zur Anzahl aller möglichen Versuchsausgänge ist. Es ist Ω die Menge aller Ausgänge eines Laplace-Versuchs, E ist ein Ereignis, M(E) die zugehörige Ereignismenge und P(E) die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von E, dann gilt: P(E) = Anzahl der für E günstigen (zutreffenden) Ausgänge ________ Anzahl aller möglichen Ausgänge Bemerkung: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E bezeichnet man mit P(E) (lies: „Wahrscheinlichkeit von E“). Der Buchstabe P kommt vom lateinischen Wort „probabilitas“ für Wahrscheinlichkeit. 11.32 Ein handelsüblicher Würfel wird geworfen. 1) Begründe, dass es sich hierbei um einen Laplace-Versuch handelt! 2) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sechser kommt! 3) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine ungerade Augenzahl kommt! lösung: 1) Bei diesem Zufallsversuch hat jede Augenzahl die gleiche Chance des Eintretens. 2) P(Es kommt ein Sechser) = 1 _ 6 3) P(Es kommt eine ungerade Augenzahl) = 3 _ 6 = 1 _ 2 Jede Wahrscheinlichkeit kann in Bruch-, Dezimal- oder Prozentdarstellung angegeben werden. ZB: P(Es kommt eine ungerade Augenzahl) = 1 _ 2 = 0,5 = 50% Bemerkung: Wird ein Lapace-Versuch oftmals wiederholt, kann die Wahrscheinlichkeit P(E) als Vorhersagewert für die relative Häufigkeit der Ergebnisse interpretiert werden. MP rk rk VB 264 k4 Daten Und ZUfall Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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