1 0 2 1 2 QuickMedia App für digitale Zusatzmaterialien 3 Mathematik verstehen SALZGER | GERM | RIEDLER | SINGER | ULOVEC Teildruck Die Verkaufsauflage erscheint unter der ISBN 978-3-209-11901-8
Mathematik verstehen 3, Schülerbuch und E-Book Teildruck zu ISBN 978-3-209-11901-8, W6519-151 Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Teildruck © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2025 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Dipl.-Ing. Dr. techn. Frederic Brünner, Wien Herstellung: Ing. Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung: Jens-Peter Becker, normaldesign GbR, Schwäbisch Gmünd Layout: Jens-Peter Becker, normaldesign GbR, Schwäbisch Gmünd Illustrationen: Mag. Adam Silye, Wien Technische Zeichnungen: Ing. Mag. Dr. Herbert Löffler, Wien; Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Karten: Freytag-Berndt u. Artaria KG, Wien Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn Teildruck zu ISBN 978-3-209-11901-8 (Mathematik verstehen SB 3 und E-Book) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
www.oebv.at 3 Mathematik verstehen Prof. Mag. Dr. Bernhard Salzger Prof.in Mag.a Andrea Germ Prof.in Mag.a Barbara Riedler HS-Prof.in Mag.a Dr.in Klaudia Singer MMag. Dr. Andreas Ulovec Unter Mitarbeit von: Prof.in Mag.a Judith Bachmann, MPOS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Erklärungen zum Buch Wichtige Inhalte sind durch einen orangefarbenen Hintergrund hervorgehoben. Wichtige Begriffe sind zusätzlich fett geschrieben. 1.01 Musteraufgaben sind durch eine grüne Hinterlegung hervorgehoben. Lösung: Hier ist die gesamte Bearbeitung der Aufgabe ersichtlich. Aufgaben Die Farbe neben der Aufgabennummer gibt die Art der Aufgabe an. 1.02 … grundlegende Aufgaben 1.03 … weiterführende Aufgaben 1.04 … anspruchsvolle Aufgaben Die Kompetenzbereiche sind im Farbbalken ersichtlich. 1.05 … Modellieren und Problemlösen 1.06 … Rechnen und Konstruieren 1.07 … Darstellen und Interpretieren 1.08 … Vermuten und Begründen 1.09 Schraffierte Aufgabenbalken kennzeichnen jene Aufgaben, die laut Lehrplan nicht verbindlich sind, sondern geeignete Möglichkeiten zur Schwerpunktsetzung im Unterricht bieten. Diese Aufgaben können in Gruppenarbeit gelöst werden. Diese Aufgaben können in Partnerarbeit gelöst werden. Dieses Symbol bedeutet, dass hier die Verwendung des Computers empfohlen wird. Wenn zusätzlich ein Online-Code angeführt ist, gibt es dazu eine entsprechende Online- Ergänzung. Der Online-Code ist im Suchfeld auf www.oebv.at einzugeben. Ein QR-Code am Kapitelanfang führt ebenso zu den Zusatzmaterialien. Für diese Aufgaben ist der Einsatz von Technologie sinnvoll. Aufgaben zu fächerübergreifenden Themen werden mit Sternen neben der Aufgabennummer ausgezeichnet. In der Fußzeile kann das Thema abgelesen werden. Über die Herkunft vieler mathematischer Begriffe informiert das Glossar auf Seite 284. MP RK DI VB C B Ó Ó Weiterführende Materialien kw6q5y Hier siehst du, in welchem zentral fachlichen Konzept du dich gerade befindest. 1. Scanne den QR-Code (unten) und lade die App auf dein Smartphone oder dein Tablet. 2. Scanne deinen Buchumschlag oder wähle dein Schulbuch in der App-Medienliste aus. 3. Scanne eine mit gekennzeichnete Buchseite oder wähle ein digitales Zusatzmaterial aus der App-Medienliste aus. 4. Öffne das digitale Zusatzmaterial. öbv QuickMedia Android iOS 2 K1 Zentral fachliches Konzept Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Inhaltsverzeichnis Wiederholen und Festigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 K1 Zahlen und Maẞe 1 Mit Ganzen Zahlen rechnen 14 1.1 Die Menge der ganzen Zahlen ....................................................... 14 1.2 Ganze Zahlen addieren und subtrahieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Ganze Zahlen multiplizieren und dividieren ........................................ 21 1.4 Alle vier Grundrechenarten verbinden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5 EXTRABLATT Das Minus ist das Plus des Negativen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.6 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 Rationale Zahlen 30 2.1 Eigenschaften rationaler Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 Rationale Zahlen ordnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 Rationale Zahlen addieren und subtrahieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4 Rationale Zahlen multiplizieren und dividieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5 Der Absolutbetrag einer rationalen Zahl ............................................ 44 2.6 Alle vier Grundrechenarten verbinden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.7 EXTRABLATT Rationale Zahlen konstruieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.8 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Potenzen 54 3.1 Was ist eine Potenz? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2 Mit Potenzen rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3 Zehnerpotenzen verwenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4 EXTRABLATT Das Gnomon und seine Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.5 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 K2 Variablen und Funktionen 4 Mit Termen und Gleichungen arbeiten 70 4.1 Terme und Gleichungen aufstellen und interpretieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.2 Terme addieren und subtrahieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.3 Terme multiplizieren .................................................................. 80 4.4 Die binomischen Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.5 Mit Bruchtermen arbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.6 Gleichungen und Formeln umformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.7 Textaufgaben – Gleichungen in Sachsituationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.8 EXTRABLATT Formelwissen ist Macht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.9 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3 Inhaltsverzeichnis Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
5 Verhältnisse und Proportionen 106 5.1 Direkte und indirekte Proportionalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.2 Verhältnisse und Proportionen ...................................................... 110 5.3 EXTRABLATT Was treibt uns an? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.4 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6 Wachstums- und Abnahmemodelle 118 6.1 Lineares Wachstum und lineare Abnahme ......................................... 118 6.2 Das lineare Zeit-Ort-Modell .......................................................... 125 6.3 Das lineare Kostenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.4 Das lineare Gebührenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.5 Zinsenmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.6 Prozentuelle Änderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.7 Wachstums- und Abnahmeprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.8 EXTRABLATT Kredite ................................................................. 143 6.9 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 K3 Figuren und Körper 7 Dreiecke, Vierecke, Vielecke 146 7.1 Der Flächeninhalt von Dreiecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 7.2 Der Flächeninhalt von besonderen Vierecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 7.3 Auswirkungen von Längenänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7.4 Der Flächeninhalt des allgemeinen Vierecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 7.5 Vielecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 7.6 Vermischte Aufgaben ................................................................. 170 7.7 eXTRABLATT Flächenteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.8 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 8 Figuren vergröSSern und verkleinern 180 8.1 Kongruenz und Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 8.2 Ähnlichkeit bei geometrischen Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 8.3 Proportionales Vergrößern und Verkleinern ........................................ 186 8.4 Strahlensätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 8.5 EXTRABLATT Der goldene Schnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 8.6 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 4 Inhaltsverzeichnis Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
9 Prisma und Pyramide 200 9.1 Eigenschaften von Prismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 9.2 Volumen, Masse und Dichte eines Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 9.3 Netze, Schrägrisse und Oberflächeninhalt eines Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 9.4 Eigenschaften von Pyramiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 9.5 Volumen, Masse und Dichte von Pyramiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 9.6 Netz und Schrägriss von Pyramiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 9.7 Auswirkungen von Längenänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 9.8 eXTRABLATT Scherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 9.9 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 K4 Daten und Zufall 10 Statistische Kennzahlen und Verteilungen 232 10.1 Einfache statistische Kennzahlen ................................................... 232 10.2 Darstellen und Interpretieren von Häufigkeitsverteilungen ...................... 242 10.3 Kann man Statistiken verfälschen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 10.4 eXTRABLATT Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 10.5 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 11 Wahrscheinlichkeiten 257 11.1 Was ist eine Wahrscheinlichkeit? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 11.2 Schätzen von Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 11.3 Berechnen von Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 11.4 eXTRABLATT Vorhersagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 11.5 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Kompetenzen anwenden ................................................................. 271 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Mathematische Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Glossar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Stichwortregister ..................................................................... 290 5 Inhaltsverzeichnis Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
k1 zAhlEn unD MAẞE 1.1 Die Menge der ganzen zahlen 1.01 Felicia hat 20 € auf ihrem Konto. Sie bezahlt mit ihrer Bankomatkarte 6 € für eine Zeitschrift und 18 € für ein Paar Hausschuhe. 1) Stelle die Kontobewegungen auf der Zahlengeraden dar! 2) Gib ihren neuen Kontostand an und beschreibe diesen mit Worten! Lösung: 1) 2) Der neue Kontostand lautet ‒4 €. Sie hat nun vier Euro Schulden. Auf der Zahlengeraden lassen sich rechts von 0 positive und links von 0 negative ganze Zahlen darstellen. In der Aufgabe 1.01 sind die Zahlen 20 und 14 positive ganze Zahlen, die Zahl ‒4 ist eine negative ganze Zahl. Alle diese Zahlen sind Elemente der Menge Z. Die Zahlen rechts von 0 nennt man positive zahlen, die Zahlen links von 0 negative zahlen. Die Zahl 0 ist weder positiv noch negativ. Z = {… , ‒5, ‒4, ‒3, ‒2, ‒1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …} ist die Menge der ganzen zahlen. Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, …} ist die Menge der positiven ganzen zahlen. Z‒ = {…, ‒5, ‒4, ‒3, ‒2, ‒1} ist die Menge der negativen ganzen zahlen. Für zwei ganze Zahlen a und b ist a < b, wenn a auf der Zahlengeraden links von b liegt. O Arbeitsheft S. 3 rk DI 0 2 4 6 8 10 ‒2 ‒4 ‒6 12 14 16 18 20 22 ‒18 ‒6 Deine ziele in diesem kapitel • Beschreiben und Darstellen von Zuständen und Zustandsänderungen auf der Zahlengeraden. • Unterscheiden des Minuszeichens als Rechenzeichen und als Vorzeichen. • Negative ganze Zahlen als Bestandteile von Rechnungen erkennen. • Grundrechenoperationen für ganze Zahlen durchführen und veranschaulichen. 1 Mit ganzen ZahLen rechnen 14 Wozu braucht man Zahlen, die kleiner sind als null? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
AufgABEn 1.02 Stelle auf der Zahlengeraden die Zahlen ‒5, ‒2, ‒1, 3 und ‒5 dar! a) b) 1.03 Stelle auf der Zahlengeraden die Zahlen ‒50, ‒25, ‒10, 0 und 20 dar! a) b) 1.04 Gib die ganzen Zahlen an, die auf der Zahlengeraden durch Markierungen dargestellt sind! a) b) 1.05 Setze das Kleiner-Zeichen oder das Größer-Zeichen korrekt ein! a) 0 ‒1 d) 20 ‒20 g) ‒19 ‒20 j) ‒99 ‒100 b) ‒4 ‒5 e) 14 ‒13 h) 64 65 k) 98 ‒99 c) ‒11 ‒10 f) ‒31 ‒32 i) ‒45 ‒46 l) 0 ‒327 1.06 Ordne die ganzen Zahlen in einer Kleiner-Kette! a) 3, ‒8, ‒12, 6, ‒1, 0 c) 11, ‒27, ‒14, ‒13, 19, 42 e) 99, 14,‒101, 92, ‒89, ‒88 b) ‒21, 12, ‒12, 2, ‒15, 20 d) ‒45, ‒54, ‒78, ‒25, ‒33, ‒4 f) ‒257, ‒275, ‒572, 72, 57, ‒725 1.07 Ordne die ganzen Zahlen in einer Größer-Kette! a) 5, 9, ‒5, 2, ‒9, ‒2 c) ‒2, ‒35, 19, 51, ‒32, ‒13 e) 112, ‒99, 34, ‒136, ‒189, 98 b) 16, 34, ‒24, ‒1, 0, ‒23 d) 94, ‒85, 23, ‒39, ‒46, ‒28 f) 169, 523, ‒523, ‒196, ‒169, 96 1.08 Maya hat 15 € auf ihrem Konto. Sie bezahlt mit ihrer Bankomatkarte 5 € für drei Kilogramm Äpfel und 20 € für ein Videospiel. 1) Stelle die Kontobewegungen auf der Zahlengeraden dar! 2) Gib ihren neuen Kontostand an und beschreibe diesen mit Worten! 1.09 Im Schigebiet Altenmarkt-Zauchensee hat es am Montag der zweiten Februarwoche zu Mittag 3 °C. Bis 18 Uhr sinkt die Temperatur um 7°C ab und bis Mitternacht um weitere 2 °C. 1) Stelle die Temperaturänderungen auf der Zahlengeraden dar! 2) Gib die Temperatur um Mitternacht an! 3) Berechne, um wie viel Grad Celsius die Temperatur von Mittag bis Mitternacht gefallen ist! 1.10 Berechne! a) 4 – 7 c) 35 – 48 e) 119 – 134 + 55 g) 22 – 38 – 45 + 13 b) ‒3 + 8 d) ‒21 – 67 f) ‒34 + 73 – 92 h) ‒27 + 24 + 18 – 15 DI 0 ‒1 1 2 3 4 5 ‒2 ‒3 ‒4 ‒5 0 2 ‒2 ‒4 ‒6 ‒8 ‒10 ‒12 4 6 8 10 12 14 DI 0 10 ‒10 ‒20 ‒30 ‒40 ‒50 ‒60 20 30 40 50 60 100 150 50 0 ‒50 ‒100 ‒150 ‒200 200 DI 200 0 ‒200 ‒400 400 0 ‒300 ‒600 ‒900 300 600 900 rk rk rk rk DI rk DI rk Ó Übung b4f5sc Sprachliche Bildung und Lesen 1 15 Mit ganzen Zahlen rechnen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.2 Ganze Zahlen addieren und subtrahieren Die klammernschreibweise 1.11 Berechne die Summe der beiden Kontostände! a) Frau Henrich hat zwei Konten. Der Kontostand bei Bank A lautet 450 €, der Kontostand bei Bank B lautet 1 200 €. b) Herr Dieckmann hat zwei Konten. Der Kontostand bei Bank A lautet 600 €, der Kontostand bei Bank B lautet ‒800 €. Lösung: a) (+450€) + (+1200€) = 1650€ b) (+600€) + (‒800€) = ‒200€ 1.12 Berechne das Lebensalter! Schreibe die Rechnung mit Klammern an und stelle die Lebenszeit als Strecke auf einer Zahlengeraden dar! a) Der österreichische Mathematiker Leopold Vietoris wurde im Jahr 1891 geboren und ist im Jahr 2002 gestorben. b) Der römische Geschichtsschreiber Titus Livius wurde im Jahr 59 v. Chr. geboren und ist im Jahr 17 n. Chr. gestorben. c) Der griechische Philosoph Aristoteles wurde im Jahr 384 v. Chr. geboren und ist im Jahr 322 v. Chr. gestorben. Lösung: a) (+2002) – (+1891) = 111 Leopold Vietoris wurde 111 Jahre alt b) (+17) – (‒59) = 76 Titus Livius wurde 76 Jahre alt. c) (‒322) – (‒384) = 62 Aristoteles wurde 62 Jahre alt. Auch bei negativen Summanden spricht man von einer summe ganzer zahlen, und auch bei negativen Minuenden bzw. Subtrahenden spricht man von einer Differenz ganzer zahlen. Beim Addieren (Subtrahieren) positiver und negativer Zahlen ist es zweckmäßig, um jede Zahl klammern zu setzen, da diese meist rechenzeichen von Vorzeichen trennen sollen. Bemerkung: Eine Schreibweise wie +600 + ‒800 oder +17 – ‒59 ist nicht zulässig. AufgABEn 1.13 Berechne die Summe der beiden Kontostände! Schreibe die Rechnung mit Klammern an! a) Konto A: 120 €; Konto B: 410 € c) Konto A: ‒190 €; Konto B: 50 € b) Konto A: 280 €; Konto B: ‒100 € d) Konto A: ‒150 €; Konto B: ‒450 € 1.14 Berechne das Lebensalter! Stelle die Rechnung mit Klammern und auf der Zahlengeraden dar! a) Der griechische Dichter Sophokles wurde 496 v. Chr. geboren und ist 406 v. Chr. gestorben. b) Der erste römische Kaiser Augustus wurde 63 v. Chr. geboren und ist 14 n. Chr. gestorben. 1.15 Stelle die Rechnung mit Klammern und auf der Zahlengeraden dar! a) Cäsar wurde 100 v. Chr. geboren und 56 Jahre alt. Gib sein Sterbejahr an! b) Kleopatra ist 30 v. Chr. gestorben und wurde 39 Jahre alt. Gib ihr Geburtsjahr an! rk Leopold Vietoris rk 1891 111 Jahre 2002 59 v. Chr. 0 76 Jahre 17 n. Chr. 384 v. Chr. 62 Jahre 322 v. Chr. rk rk rk 16 k1 Zahlen und Maẞe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
änderungen darstellen und beschreiben 1.16 In regelmäßigen Abständen werden Umfragen durchgeführt, in denen das Vertrauen in Politikerinnen und Politiker durch Punkte beschrieben wird, dabei bedeutet 0 Punkte neutral. 1) Beschreibe die Veränderungen des Vertrauens in die durch Farben dargestellten Personen von 2022 (links) zu 2023 (rechts) mit ganzen Zahlen! 2) Deute die Veränderungen in Worten! 1.17 Florian fährt von seinem Büro im siebenten Stock mit dem Aufzug zwei Stockwerke nach unten, um seine Kollegin Sara zum Mittagessen abzuholen. Gemeinsam fahren sie weitere sechs Stockwerke hinunter, um in der Kantine zu essen. Anschließend geht Sara noch eine Etage nach unten um ihr Smartphone zu holen, welches sie im Umkleideraum vergessen hat. 1) Stelle die Bewegungen von Florian bzw. Sara auf einer Zahlengeraden dar! 2) Gib an, in welchem Stockwerk sich die Kantine bzw. der Umkleideraum befindet! 3) Berechne, wie viele Stockwerke Sara vom Umkleideraum hinauffahren muss, um in Florians Büro zu kommen! 1.18 Das Positiv-Negativ-spiel Für dieses Spiel sind ein weißer Würfel („Pluswürfel''), ein roter Würfel („Minuswürfel") und Spielfiguren nötig. Verwendet die Spielfeldvorlage aus dem digitalen Zusatzmaterial! Zu Beginn stehen alle Spielfiguren auf dem Feld 0. Beim Würfeln gilt: Die angezeigte Augenzahl des „Pluswürfels" zieht man nach rechts, die angezeigte Augenzahl des ,,Minuswürfels" nach links. 1) Spielt vier Durchgänge mit der Würfelfolge weiß-rot-weiß-rot! Wessen Figur am Schluss am weitesten rechts steht, hat gewonnen. ZB: (+ 3) + (‒6) + (+ 2) + (‒4) = (‒5) 3 nach rechts | 6 nach links | 2 nach rechts | 4 nach links 5 nach links und dann und dann und dann 2) Spielt drei Durchgänge mit der Würfelfolge weiß-rot-weiß! Für den zweiten und dritten Zug ist nun das Gegenteil auszuführen. Wessen Figur am Schluss am nächsten bei 0 steht, hat gewonnen. ZB: (+ 6) – (‒2) – (+ 1) = (+ 7) 6 nach rechts | 2 nach links | 1 nach rechts 7 nach rechts und dann das Gegenteil von und dann das Gegenteil von 1.19 Fortsetzung von Aufgabe 1.18: Ergänze die fehlenden Zahlen und Worte aus dem Spiel! a) (+3) + (‒4) = (‒1) Zuerst 3 nach rechts und dann ergibt . (+5) – (+2) = (+3) Zuerst und dann das Gegenteil von ergibt . rk DI 3 11 12 1 15 7 3 ‒4 rk DI MP rk C Ó Material 2k7h66 DI Politische Bildung Sprachliche Bildung 1 17 Mit ganzen Zahlen rechnen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
rechenregeln für das Addieren und subtrahieren ganzer zahlen 1.20 Gustav meint: „Die Rechnung (+2) + (‒5) = (‒3) kann man doch einfacher 2 – 5 = ‒3 anschreiben.“ Hat er Recht? Worin liegt der Unterschied? Lösung: Ja, Gustav hat Recht. Der Unterschied liegt darin, dass in der Klammernschreibweise mit positiven und negativen ganzen Zahlen gerechnet wird, in der einfachen Schreibweise nur mit positiven Zahlen; das Ergebnis ist jedoch negativ. 1.21 Emma denkt an das Positiv-Negativ-Spiel in Aufgabe 1.18 und behauptet: „Die Zugfolge (+3) – (‒6) bedeutet doch, dass ich 3 nach rechts und dann das Gegenteil von 6 nach links, also 6 nach rechts ziehen muss, das ergibt 9 nach rechts. Also ist die Differenz (+3) – (‒6) dasselbe wie die Summe 3 + 6. Das Ergebnis ist 9.“ Hat sie Recht? Lösung: Ja, Emma hat Recht. (+3) – (‒6) = 3 + 6 = 9 Die folgenden Regeln in klammernschreibweise und vereinfachter schreibweise sind zweckmäßige Festlegungen in der Mathematik für positive ganze Zahlen a und b: Addition: (+ a) + (+ b) = a + b subtraktion: (+ a) – (+b) = a – b (‒a) + (‒b) = ‒a – b (‒a) – (‒b) = ‒a + b (+ a) + (‒b) = a – b (+ a) – (‒b) = a + b (‒a) + (+b) = ‒a + b (‒a) – (+b) = ‒a – b 1.22 An einem Tag fällt die Temperatur zwischen 18 Uhr und 20 Uhr um 2 °C, zwischen 20 Uhr und 22 Uhr um 3 °C. Um wie viel Grad ist die Temperatur zwischen 18 Uhr und 22 Uhr gefallen? 1) Stelle dies mit Hilfe der Klammernschreibweise und der vereinfachten Schreibweise dar! 2) Veranschauliche dies mit Hilfe der Pfeildarstellung! Lösung: 1) (‒2) + (‒3) = ‒2 – 3 = ‒5 2) Sie ist um 5 °C gefallen. 1.23 Der Wasserstand eines Flusses sinkt um 4 cm. In der folgenden Woche steigt er um 7cm. Gib die Veränderung des Wasserstands für beide Wochen insgesamt an! 1) Stelle dies mit Hilfe der Klammernschreibweise und der vereinfachten Schreibweise dar! 2) Veranschauliche dies mit Hilfe der Pfeildarstellung! Lösung: 1) (‒4)+(+7)=‒4+7=3 2) Es ist insgesamt um 3 cm gestiegen. 1.24 Desirées Kontostand ist ‒10 €. Sie zahlt 10 € ein. Wie lautet der neue Kontostand? 1) Stelle dies mit Hilfe der Klammernschreibweise und der vereinfachten Schreibweise dar! 2) Veranschauliche dies mit Hilfe der Pfeildarstellung! Lösung: 1) (‒10) + (+10) = ‒10 + 10 = 0 2) Der neue Kontostand lautet 0 €. DI VB DI VB MP DI Ó Demo i64q97 ‒ 3 ‒ 5 ‒ 2 MP DI ‒ 4 + 3 + 7 MP DI ‒ 10 + 10 18 k1 Zahlen und Maẞe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Ist a eine ganze Zahl, so nennt man ‒a die Gegenzahl zu a. Es gilt: a + (‒a) = (‒a) + a = 0. AufgABEn 1.25 Gib in der vereinfachten Schreibweise an und berechne! a) (+2) + (+7) c) (+6) + (‒9) e) 0 + (‒7) g) (‒14) + (+3) i) (+23) + (‒1) b) (+5) + (‒1) d) (‒1) + (+8) f) (‒9) + (+13) h) (‒8) + (‒8) j) (‒15) + (+18) 1.26 Gib in der vereinfachten Schreibweise an und berechne! a) (+1) – (+9) c) (+8) – (‒12) e) (‒7) – (‒9) g) (‒6) – (+20) i) (‒12) – (+5) b) (+3) – (‒7) d) (‒3) – (+10) f) 0 – (‒26) h) (‒9) – (‒9) j) 0 – (+ 6) 1.27 Gib in der vereinfachten Schreibweise an und berechne! a) (+2) + (‒4) – (+7) c) (+10) – (‒6) + (+2) e) (‒12) – (‒8) + (‒7) – (+3) b) (‒5) – (‒1) + (‒3) d) (‒5) + (‒1) – (‒1) f) (‒4) – (‒21) – (‒6) – (‒15) 1.28 Veranschauliche mit Hilfe der Pfeildarstellung und berechne! a) (+1) + (+6) c) (+5) + (‒6) e) (‒8) + (‒6) g) (‒8) + (+1) i) (+4) + (‒2) b) (+3) + (‒2) d) (‒2) + (+4) f) (‒1) + (+1) h) (‒7) + (‒2) j) (‒9) + (+10) 1.29 An einem Tag fällt die Temperatur zwischen 18 Uhr und 20 Uhr um 3 °C, zwischen 20 Uhr und 22 Uhr um weitere 4 °C. 1) Um wie viel Grad Celsius ist die Temperatur zwischen 18 Uhr und 22 Uhr gefallen? 2) Stelle dies mit Hilfe der Klammernschreibweise und der vereinfachten Schreibweise dar! 3) Veranschauliche dies mit Hilfe der Pfeildarstellung! 1.30 Eine Firma schreibt in der ersten Kalenderwoche 370 € Verlust, in der zweiten Kalenderwoche macht sie 225€ Gewinn. 1) Stelle dies mit Hilfe der Klammernschreibweise und der vereinfachten Schreibweise dar! 2) Hat die Firma in diesen beiden Wochen Gewinn oder Verlust gemacht? Nenne den Betrag! 3) Veranschauliche dies mit Hilfe der Pfeildarstellung! 1.31 István klettert an einer Kletterwand. Er ist an einem Rettungsseil gut gesichert. Von einem Haltepunkt aus steigt er zunächst fünf Meter hinauf, dann rutscht er ab und fällt – am Seil hängend – sieben Meter nach unten. Dann steigt er zwei Meter hinauf. 1) Wie viele Höhenmeter ist er danach vom Haltepunkt entfernt? 2) Veranschauliche dies mit Hilfe der Pfeildarstellung! 1.32 Gib die Gegenzahl zu a) 10, b) ‒15 an! Lösung: a) Die Gegenzahl zu 10 ist ‒10. b) Die Gegenzahl zu ‒15 ist ‒ (‒15) = 15. 1.33 Gib die Gegenzahl zu a) 8, b) 100, c) ‒4, d) ‒92, e) x, f) ‒y an! 1.34 Veranschauliche a) (+3) – (‒2), b) (+1) – (+5) mit Hilfe der Pfeildarstellung und berechne! Lösung: a) b) (+3)–(‒2)=3+2=5 (+1)–(+5)=1–5=‒4 rk DI rk DI rk DI rk DI Ó Übung sr9ay5 rk DI rk DI rk DI MP MP rk MP DI + 3 + 5 – (‒ 2) = + 2 + 1 ‒ 4 – (+ 5) = ‒ 5 Wirtschafts-, Finanz- und Verbraucher/innenbildung 1 19 Mit ganzen Zahlen rechnen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.35 Veranschauliche mit Hilfe der Pfeildarstellung und berechne! a) (+2) – (+6) c) (+9) – (‒10) e) (‒4) – (‒4) g) (‒3) – (+7) i) (+12) – (‒8) b) (+1) – (‒4) d) (‒2) – (+7) f) (‒8) – (+9) h) (‒6) – (‒2) j) (‒1) – (+1) 1.36 Berechne [(+5) – (‒13)] – [(‒24) – (‒19)]! Lösung: [(+5) – (‒13)] – [(‒24) – (‒19)] = [5 + 13] – [‒24 + 19] = 18 – [‒5] = 18 + 5 = 23 1.37 Berechne! a) (+4) + [(+6) + (‒9)] c) (‒3) – [(‒15) + (+11)] e) (+2) – [(‒14) – (‒3)] b) (+1) + [(‒4) – (+7)] d) (‒8) – [(+7) – (‒10)] f) (‒1) – [(+1) + (‒1)] 1.38 Berechne! a) [(+15) + (+6)] + [(‒6) + (‒9)] d) [(‒28) – (‒2)] – [(+30) + (‒17)] b) [(‒19) – (+32)] + [(‒1) – (+22)] e) [(+5) + (‒24)] – [(‒40) – (+12)] c) [(‒31) + (‒8)] + [(+3) – (‒25)] f) [(‒8) – (‒13)] – [(‒26) – (‒26)] 1.39 Berechne! a) [(+9) + (‒1)] + [(‒20) – (‒2) + (‒16)] c) [(+26) + (‒6) – (‒52)] – [(‒10) + (‒7) + (+7)] b) [(‒28) + (+4) – (‒13)] – [(+5) – (‒27)] d) [(‒1) – (+32) + (‒23)] + [(‒5) – (+38) – (‒1)] 1.40 Während es in Zwettl ‒8 °C hat, misst man zur gleichen Zeit in Bregenz +4 °C. Den Temperaturunterschied U errechnet man mit der Formel: U = höherer Temperaturwert – niedrigerer Temperaturwert 1) Setze in diese Formel mithilfe der Klammernschreibweise ein! 2) Ermittle den Temperaturunterschied U! 1.41 Ermittle den Temperaturunterschied U mithilfe der Formel aus Aufgabe 1.40 und verwende die Klammernschreibweise! a) Tamsweg: ‒12 °C, Radstadt: ‒5 °C c) Horn: ‒2 °C, Weiz: +11 °C b) Mödling: +7°C, Kitzbühel: ‒3 °C d) Steyr: +1 °C, Hermagor: ‒9 °C 1.42 Kreuze nur korrekte Gleichungen an! (+4) + (‒5) = (+4) – (‒5) (‒1) + (‒3) = (‒1) – (+3) (+2) – (‒6) = (+2) + (+6) (+9) – (+7) = (‒9) – (‒7) (‒8) – (+5) = (+8) – (‒5) (‒6) + (+1) = (‒6) – (‒1) 1.43 Es seien a und b unterschiedliche positive ganze Zahlen. Kreuze nur korrekte Gleichungen an! (+a) + (‒b) = (+a) – (+b) (‒a) + (‒b) = (+a) + (‒b) (‒a) – (‒b) = (+a) – (‒b) (+a) – (+b) = (+a) – (‒b) (+a) – (‒b) = (+a) + (+b) (‒a) – (+b) = (‒a) + (‒b) 1.44 Setze in die Klammern ganze Zahlen außer 0 so ein, dass die Gleichung korrekt ist! a) “ § + “ § – (‒9) – “ § + “ § = ‒17 b) “ § – “ § + (‒13) – “ § – “ § = ‒42 1.45 Lars bekommt die Aufgabe, in die Gleichung a – b = c für a = ‒5 und für b = ‒9 einzusetzen. Kann er ohne Klammern auskommen? Worauf muss er achten? 1.46 Felicitas fragt in der Klasse herum. „Gelten für die ganzen Zahlen eigentlich noch das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz der Addition?“ Begründet die Antwort! rk DI rk rk rk rk 0 ‒ 10 10 0 ‒ 10 10 MP MP rk DI rk DI rk DI MP rk VB VB B Sprachliche Bildung und Lesen 20 k1 Zahlen und Maẞe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.3 Ganze Zahlen multiplizieren und dividieren Multiplizieren mit negativen zahlen 1.47 In einem Labor kann die Temperatur T in einem Experimentierschrank kontrolliert erhöht und gesenkt werden. Der Regler ist so programmiert, dass die Temperatur pro Minute um 2 °C steigt. Zum Zeitpunkt t = 0 beträgt die Temperatur genau 0 °C. 1) Lege eine Tabelle an, aus der hervorgeht, wie viel Grad im Experimentierschrank eine Minute, zwei Minuten und drei Minuten danach vorherrschen werden! 2) Lege eine Tabelle an, aus der hervorgeht, wie viel Grad im Experimentierschrank eine Minute, zwei Minuten und drei Minuten davor vorgeherrscht haben! Lösung: 1) 2) Das negative Vorzeichen bei einem Zeitpunkt, also zB t = ‒1, bedeutet, dass der Zeitpunkt eine Minute vor Erreichen der Temperatur 0 °C gemeint ist. Wenn die Temperatur nun pro Minute um 2 °C steigt, so hat sie eine Minute zuvor zwei Grad weniger, also ‒2 °C betragen. Die Temperatur T im Experimentierschrank zum Zeitpunkt t lässt sich mit der Formel T = 2·t ermitteln. So ist etwa 4 = 2·2 oder 6 = 2·3, aber auch (‒4) = 2·(‒2) oder (‒6) = 2·(‒3). Die Formel gilt also auch für negative Werte von t. 1.48 Für einen weiteren Versuch in diesem Labor ist der Regler nun so programmiert, dass die Temperatur T im Experimentierschrank pro Minute um 2 °C fällt. Zum Zeitpunkt t = 0 beträgt die Temperatur genau 0 °C. 1) Lege eine Tabelle an, aus der hervorgeht, wie viel Grad im Experimentierschrank eine Minute, zwei Minuten, drei Minuten und vier Minuten danach vorherrschen werden! 2) Lege eine Tabelle an, aus der hervorgeht, wie viel Grad im Experimentierschrank eine Minute, zwei Minuten, drei Minuten und vier Minuten davor vorgeherrscht haben! Lösung: 1) 2) MP DI t (in min) T (in °C) 0 0 1 2 2 4 3 6 4 8 5 10 t (in min) T (in °C) 0 0 ‒1 ‒2 ‒2 ‒4 ‒3 ‒6 ‒4 ‒8 ‒5 ‒10 MP DI t (in min) T (in °C) 0 0 1 ‒2 2 ‒4 3 ‒6 4 ‒8 5 ‒10 t (in min) T (in °C) 0 0 ‒1 2 ‒2 4 ‒3 6 ‒4 8 ‒5 10 1 21 Mit ganzen Zahlen rechnen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wenn die Temperatur nun pro Minute um 2 °C fällt, so hat sie eine Minute vor Erreichen der Temperatur 0 °C genau 2 °C betragen, eine Minute danach ‒2 °C. Die Temperatur T im Experimentierschrank zum Zeitpunkt t lässt sich mit der Formel T = (‒2)·t ermitteln. So ist etwa ‒6 = (‒2)·3 oder ‒8 = (‒2)·4, aber auch 6 = (‒2)·(‒3) oder 8 = (‒2)·(‒4). Die Formel gilt demnach auch für negative Werte von t. Für positive Zahlen a und b gilt: (‒a)·(‒b) = a·b Für alle vier Möglichkeiten der Multiplikation kann man nun für positive a und b festlegen: (+a)·(+b) = a·b „Plus mal plus ist plus.“ (‒a)·(‒b) = a·b „Minus mal minus ist plus.“ (+a)·(‒b) = ‒(a·b) „Plus mal minus ist minus.“ (‒a)·(+b) = ‒(a·b) „Minus mal plus ist minus.“ Merke: Haben die beiden Faktoren gleiches Vorzeichen, ist das Produkt positiv. Haben die beiden Faktoren ungleiche Vorzeichen, ist das Produkt negativ. Multipliziert man eine ganze Zahl a mit (‒1), so ist das Ergebnis ‒a, die Gegenzahl zu a. Beispiele: 5·(‒1) = ‒(5·1) = ‒5 (‒3)·(‒1) = 3·1 = 3 (+2)·(‒3)·(‒1) = ‒(2·3)·(‒1) = (‒6)·(‒1) = 6 AufgABEn 1.49 Berechne! a) (+ 3)·(+ 8) c) (+ 5)·(‒9) e) (‒2)·(‒4) g) (‒8)·0 i) (‒1)·(‒1) b) (+ 2)·(‒7) d) (‒1)·(+ 4) f) (‒6)·(+10) h) (‒3)·(‒9) j) 0·(‒27) 1.50 Berechne! a) (+ 3)·(‒5)·(+ 6) c) (+9)·(‒10)·(+2) e) (‒7)·(‒2)·(‒1)·(+ 2) b) (‒4)·(‒2)·(‒9) d) (‒5)·(‒6)·0 f) (‒25)·(‒63)·0·(‒98) 1.51 Veranschauliche a) (+ 3)·(+ 5), b) (+3)·(‒5) mit Hilfe der Pfeildarstellung und berechne! Lösung: a) b) (+3)·(+5) = 3·5 = 15 (+3)·(‒5) = ‒(3·5) = ‒15 1.52 Veranschauliche mit Hilfe der Pfeildarstellung und berechne! a) (+ 2)·(+ 4) b) (+ 2)·(‒3) c) (+ 1)·(+ 8) d) (+ 4)·(‒6) e) (+ 5)·(‒4) 1.53 Kreuze an, welche Rechnung durch die Pfeildarstellung veranschaulicht ist! (‒7)·(‒6) = 42 6·(‒7) = ‒42 7·(‒6) = ‒42 6·7 = 42 rk rk rk DI Ó Demo x2z8pj + 5 15 + 5 + 5 ‒ 5 ‒ 15 ‒ 5 ‒ 5 rk DI rk VB ‒ 7 22 k1 Zahlen und Maẞe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.54 Vergleiche die Ergebnisse der beiden Rechnungen! Welches Rechengesetz liegt zugrunde? a) [(‒3)·(+9)]·(‒2) b) [(+ 4)·(‒3)]·(+ 6) c) [(‒1)·(+ 8)·(‒7)]·(+ 5) (‒3)·[(+9)·(‒2)] (+ 4)·[(‒3)·(+ 6)] (‒1)·[(+ 8)·(‒7)·(+ 5)] 1.55 Multipliziere 1) zwei, 2) drei, 3) vier, 4) fünf negative ganze Zahlen miteinander! Welches Vorzeichen hat das Produkt jeweils? Welche Gesetzmäßigkeit lässt sich daraus erkennen? 1.56 Zeige, dass das Kommutativgesetz der Multiplikation für ganze Zahlen gilt! a) (‒3)·(+7) = (+7)·(‒3) b) (‒1)·(+8) = (+8)·(‒1) c) (‒5)·(‒6) = (‒6)·(‒5) 1.57 Berechne geschickt, indem du das Kommutativgesetz anwendest! a) (+ 25)·(‒7)·(‒4) b) (‒2)·(+9)·(‒5) c) (+ 4)·(+ 2)·(‒5)·(+ 50) 1.58 Klara behauptet: „Wenn ich eine Zahl a mit der Zahl (‒1) multipliziere, erhalte ich ein Ergebnis, das größer als die Zahl a ist.“ Kann das stimmen? Wenn ja, gib eine solche Zahl a an und begründe die Wahl! 1.59 a) Das Produkt zweier ganzer Zahlen ist 216. Ein Faktor ist ‒24. Gib den zweiten Faktor an! b) Das Produkt zweier ganzer Zahlen ist ‒300. Ein Faktor ist ‒25. Gib den zweiten Faktor an! 1.60 Es seien a, b, c, d und e positive ganze Zahlen. Setze das fehlende Vorzeichen ein! a) (+a)·(‒b)·( c)·(‒d) = (+e) c) (‒a)·(‒b)·(‒c)·( d) = (‒e) b) (‒a)·( b)·(‒c)·(+d) = (‒e) d) (+a)·(+b)·(‒c)·(‒d) = ( e) 1.61 Kommentiert die nachstehende Rechenzeile, in welcher gezeigt werden soll, dass das Produkt zweier negativer ganzer Zahlen stets positiv ist! (‒6)·(‒4) = (‒6)·[(+1) – (+5)] = (‒6)·(+1) – (‒6)·(+5) = ‒6 – (‒30) = ‒6 + 30 = 24 1.62 Ein Aufzug bewegt sich mit fast gleichbleibender Geschwindigkeit von 3 m/s aufwärts. Zum Zeitpunkt t = 0 befindet er sich im Erdgeschoß (h = 0). 1) Lege eine Tabelle an, aus der hervorgeht, wie viele Meter er sich eine Sekunde, zwei, drei und vier Sekunden danach über dem Erdgeschoß befinden wird! 2) Lege eine Tabelle an, aus der hervorgeht, wie viele Meter er sich eine Sekunde, zwei, drei und vier Sekunden davor unter dem Erdgeschoß befunden hat! 3) Kontrolliere die Ergebnisse mit der Formel h = 3·t! 1.63 Ein Aufzug bewegt sich mit fast gleichbleibender Geschwindigkeit von 3 m/s abwärts. Zum Zeitpunkt t = 0 befindet er sich im Erdgeschoß (h = 0). 1) Lege eine Tabelle an, aus der hervorgeht, wie viele Meter er sich eine Sekunde, zwei, drei und vier Sekunden danach unter dem Erdgeschoß befinden wird! 2) Lege eine Tabelle an, aus der hervorgeht, wie viele Meter er sich eine Sekunde, zwei, drei und vier Sekunden davor über dem Erdgeschoß befunden hat! 3) Kontrolliere die Ergebnisse mit der Formel h = (‒3)·t! rk DI rk DI MP rk MP rk MP VB rk rk VB B MP DI Ó Demo z3gy4t MP DI 1 23 Mit ganzen Zahlen rechnen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Dividieren mit negativen zahlen 1.64 Roland weiß, dass eine Rechenprobe für die Multiplikation 12·13 = 156 so aussieht: 15613 = 12. Nun fragt er sich, ob eine Rechenprobe für die Multiplikation (‒12)·(+13) = ‒156 so aussehen könnte: (‒156)(+13). Ist das Ergebnis ‒12? Lösung: Ja. Die Umformung aus a·b = c zu cb = a soll weiterhin gültig sein. Daher kann man festlegen, dass das Ergebnis ein Minuszeichen erhält, also ‒12 ist. Für alle vier Möglichkeiten der Division kann man nun für positive a und b festlegen: (+a)(+b) = ab „Plus durch plus ist plus.“ (‒a)(‒b) = ab „Minus durch minus ist plus.“ (+a)(‒b) = ‒(ab) „Plus durch minus ist minus.“ (‒a)(+b) = ‒(ab) „Minus durch plus ist minus.“ Merke: Haben Dividend und Divisor gleiches Vorzeichen, ist der Quotient positiv. Haben Dividend und Divisor ungleiche Vorzeichen, ist der Quotient negativ. Dividiert man eine ganze Zahl a durch (‒1), so ist das Ergebnis ‒a, die Gegenzahl zu a. Beispiele: 5(‒1) = ‒(51) = ‒5 (‒3)(‒1) = 31 = 3 AufgABEn 1.65 Berechne! a) (+12)(+6) c) (‒15)(+ 3) e) (+ 20)(‒4) g) (‒60)(‒12) i) (‒55)(+ 1) b) (+ 14)(‒7) d) (‒54)(‒9) f) (‒32)(+ 8) h) (‒23)(‒1) j) 0(‒18) 1.66 Berechne! a) [(+ 4)·(‒5)](+ 2) c) [(+ 7)·(‒10)](‒14) e) [(‒25)·(‒8)][(‒10)·(+ 4)] b) (‒48)[(‒2)·(‒6)] d) (‒128)[(‒16)·(+ 4)] f) [(‒85)·0·(‒36)][(+ 23)·(‒64)] 1.67 Lorenz kann zehn Meter tief tauchen, Niklas kommt nur halb so tief. Schreibe dies als Rechnung mit negativem Dividenden an und berechne, wie tief Niklas tauchen kann! 1.68 Mit welcher Zahl muss man ‒21 multiplizieren, damit man die Zahl 966 erhält? 1.69 Gilt für ganze Zahlen die Rechenregel abc = acb = a(b·c)? Überprüfe dies anhand einiger Zahlenbeispiele mit positiven und negativen ganzen Zahlen! 1.70 Jana meint: „Ob ich die Zahl ‒25 mit (‒1) multipliziere oder durch (‒1) dividiere, ist egal, denn es kommt dasselbe heraus.“ Hat sie Recht? Begründe die Antwort! MP VB rk rk MP rk rk rk VB rk VB 24 k1 Zahlen und Maẞe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.4 Alle vier Grundrechenarten verbinden 1.71 Auf Koljas Konto befinden sich 200 €. Für einen mobilen Internetzugang werden ihm acht Monate lang monatlich 7€ abgebucht. In dieser Zeit zahlt er sechs Mal 5 € ein. Wie sieht sein Kontostand nach diesen acht Monaten aus? Lösung: 200 + 8·(‒7) + 6·5 = 200 + (‒56) + 30 = 174. Der Kontostand lautet 174 €. 1.72 In einem Labor wird die Temperatur in einem Experimentierschrank gleichmäßig von +9 °C auf ‒13 °C abgesenkt. Um wie viel Grad sinkt die Temperatur in einer Minute, wenn der Vorgang elf Minuten dauert? Lösung: [(‒13) – (+9)]11 = (‒13 – 9)11 = (‒22)11 = ‒2. Sie sinkt pro Minute um 2 °C. Die Vorrangregeln sowie die Distributivgesetze gelten auch für ganze Zahlen: Vorrangregeln: – Was in klammern steht, muss zuerst berechnet werden. – Punktrechnungen werden vor strichrechnungen ausgeführt. – Ansonsten wird von links nach rechts gerechnet. Distributivgesetze für ganze Zahlen a, b, c: a·(b + c) = a·b + a·c (a + b)c = ac + bc mit c ≠ 0 AufgABEn 1.73 Berechne! a) (+5)·(‒9) + (‒4)·(+7) c) (‒5) + (‒6)·(+4) – (‒1) e) (‒8)(‒4) + (+3)·(‒10) b) (‒3)·(+6) – (‒8)(‒2) d) (+9) – (+10)(‒5) + (‒3) f) (‒7)·(‒3)·(‒2) – (+8) 1.74 Wende ein Distributivgesetz an und berechne! a) (‒2)·[(+8) – (‒5)] c) [(‒12) + (‒15)](‒3) e) [(‒15) + (+7)]·(‒9) b) (+ 5)·(‒7) + (+ 5)·(+ 3) d) (+24)(‒6) + (‒18)(‒6) f) (‒3)(‒3) – (‒9)(‒3) 1.75 Kreuze nur jene Aussagen an, in denen ein Distributivgesetz richtig angewendet wird! [(‒7) – (+9)]·(‒8) = (‒7)·(‒8) – (+9)·(‒8) (‒16)(+4) – (+20)(+4) = [(‒16) + (+20)](+4) (‒10)·(‒12) – (‒10)·(‒5) = (‒10)·[(‒12) – (‒5)] (6 – 1)(‒5) = (+6)(‒5) + (‒1)(‒5) (‒3)·(‒12) – (‒2)·(‒12) = (‒3 – 2)·(‒12) 1.76 Das Ergebnis der folgenden Rechnung ist falsch. Begründet, dass dies so ist! a) (‒3) + (‒7)·(‒2) = 20 c) [(‒3) – (‒4)·(+9)]·(+2) = 18 b) (‒8)·(‒6)·(‒5) = 240 d) (‒3 – 8)·(+2) = ‒19 1.77 Setzt eckige Klammern so ein, dass das Ergebnis stimmt! a) (‒7) + (‒9)·(+4) = ‒64 c) (‒9)·(+3) – (‒15) = ‒162 b) (+6)·(‒5) – (‒12)(+3) = 14 d) (+1) + (‒5) + (‒6)·(‒10) – (‒12) = ‒20 rk rk rk rk VB B VB VB B 1 25 Mit ganzen Zahlen rechnen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.78 Berechne! a) (+34) – (‒25)·(‒40) – (+52)·(‒85) c) (‒45)[(‒56) – (‒47)] – (+27)·[(‒15) + (‒38)] b) [(‒15) + (‒78)]·(‒62) + (‒96)(+12) d) [(+28) – (‒5)·(+66)] – [(+300) + (‒29)·(‒2)] 1.79 a) Durch welche Zahl muss man ‒75 dividieren, damit man die Summe von ‒8 und 13 erhält? b) Mit welcher Zahl muss man ‒14 multiplizieren, damit man das Doppelte von ‒56 erhält? 1.80 Irinas Kontostand lautet ‒680 €. Sie zahlt monatlich 116 € auf das Konto ein und hebt nichts ab. Nach wie vielen Monaten ist der Kontostand ‒100 €? 1.81 Gabriels Kontostand lautet 41 €. Er hebt zweimal hintereinander 30 € ab, zahlt dann zweimal 10 € ein und glaubt nun, einen positiven Kontostand zu haben. Sollte er Recht haben, was kann er sich von dem Geld leisten, das auf dem Konto liegt? 1.82 Der Wasserstand eines kleinen Flusses liegt 35 cm unter dem Normalpegel. Aufgrund des Dauerregens steigt der Pegel gleichmäßig pro Stunde um 2 cm an. Nach wie vielen vollen Stunden ist der Wasserstand zum ersten Mal wieder über dem Normalpegel? 1.83 Camilla behauptet: „Wenn ich irgendeine ganze Zahl mit sich selbst multipliziere und dann durch ‒1 dividiere, erhalte ich stets eine negative ganze Zahl.“ Hat sie Recht? Begründe! 1.84 Amir behauptet: „Addiere ich zu irgendeiner negativen ganzen Zahl das (‒3)-Fache dieser Zahl, ist das Ergebnis stets positiv.“ Hat er Recht? Begründe! MATHEMATIk UND sPrAcHE 1.85 a) Erkläre die Klammernschreibweise ganzer Zahlen! b) Was ist der Unterschied zwischen Rechenzeichen und Vorzeichen? Gib als Beispiele jeweils eine Addition und eine Subtraktion mit ganzen Zahlen an! c) Erkläre die Rechenregeln für die Grundrechenarten mit ganzen Zahlen! TEcHNOLOGIE kOMPAkT rk Ó Übung f3ih9n rk MP rk MP rk MP rk rk VB rk VB Ó Lehrwerk online 9x6p4c Sprachliche Bildung und Lesen Informatische Bildung 26 k1 Zahlen und Maẞe GEoGEBrA und EXcEL Vorzeichen und rechenzeichen bei negativen zahlen eingeben Ó Lehrwerk online 9xi4b3 Negative Zahlen werden in GeoGebra und in Excel genau so eingegeben, wie man sie auf ein Blatt Papier schreibt, also zB ‒7. Das Vorzeichen ‒ (,Minus") wird also unmittelbar (ohne Abstand) vor die Zahl geschrieben. Addition und Subtraktion werden wie gewohnt eingegeben, es werden also die Symbole + bzw. ‒ verwendet. Für die Multiplikation wird das Symbol * verwendet, man schreibt zB 2*3. Für die Division wird das Symbol / verwendet, man schreibt zB 6/2. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
eXtraBlatt 1.5 Das Minus ist das Plus des Negativen AufgABEn 1.86 Die folgende Aufgabe könnt ihr sicherlich lösen. Aber ist dies in der Realität möglich? Wenn fünf Personen in einem Raum sind und sieben davon gehen hinaus, wie viele müssen wieder hineingehen, damit der Raum leer ist? 1.87 Herr Schilling besucht ein Gasthaus. Nach der Mahlzeit kommt der Ober mit der Rechnung: „Das macht 22 €, der Herr.“ Herr Schilling gibt ihm einen 20 €-Schein und sagt: „Danke sehr, stimmt schon.“ Natürlich klärt ihn der Ober über den Fehler auf, aber hätte der Ober von Herrn Schilling bei dieser Aktion Trinkgeld bekommen? Wenn ja, wie viel? 1.88 Füllt in dem gezeichneten Zahlenhaus die Felder so aus, dass die Summe in jeder Zeile, Spalte und Diagonalen genau die im Dach angegebene Zahl ergibt! Schon bei den Babyloniern war ein Zeichen bekannt, das „weniger als“ bedeutet. Im chinesischen Rechenbuch „Chiu Chang Suan Shu“ werden für Gleichungen Rechenregeln für Additionen und Subtraktionen positiver und negativer Zahlen formuliert. Die Inder stellten Begriffe wie Vermögen und Schulden an die Stelle von positiven und negativen Zahlen. Leonardo von Pisa, genannt FIBONACCI (ca. 1170 – ca. 1240), stellte folgende Aufgabe: Vier Personen besitzen unbekannte Geldbeträge x1, x2, x3 und x4. Sie finden eine Geldbörse mit unbekanntem Inhalt b. Dann soll gelten: x1 + b = 2·(x2 + x3) x2 + b = 3·(x3 + x4) x3 + b = 4·(x4 + x1) x4 + b = 5·(x1 + x2) Ich werde zeigen, dass dieses Problem unlösbar ist, wenn nicht zugelassen wird, dass die erste Person Schulden hat. Tatsächlich sind die Lösungen: x1 = ‒1, x2 = 4, x3 = 1, x4 = 4 und b = 11. Der deutsche Mathematiker Michael STIFEL (1487–1567) bezeichnete negative Zahlen als „fingierte Zahlen unter null“. Fingiert bedeutet „vorgetäuscht, erfunden“, und so lehnten viele Mathematiker des 16. und 17. Jahrhunderts negative Zahlen ab, mancher bezeichnete sie sogar als „Unsinn“. Leonhard EULER (1707–1783) dachte bei negativen Zahlen immer noch an Schulden, schrieb aber schon das zeichen „–“ vor diese Zahlen. Carl Friedrich GAUSS (1777–1855) meinte: „Positive und negative Zahlen können nur da eine Anwendung finden, wo das Gezählte ein Entgegengesetztes hat, was mit ihm vereinigt gedacht der Vernichtung gleich zu stellen ist.“ Erst im 19. Jahrhundert begann man Rechengesetze zu formulieren und somit negative Zahlen so zu sehen, wie wir sie heute auch verstehen. Die Erweiterung des Zahlbegriffs durch die negativen Zahlen sollte so geschehen, dass bei der Ordnung und den Grundrechenarten die Rechengesetze für natürliche Zahlen auf die ganzen Zahlen übertragbar sind. Diese Forderung stellte der Mathematiker Hans Hermann HANKEL (1839 –1873) auf und nannte sie Permanenzprinzip: Eine Zahlbereichserweiterung ist nach Möglichkeit so durchzuführen, dass möglichst viel von dem Altgewohnten erhalten bleibt. C C ‒3 7 ‒1 ‒3 +5 C 1 27 Mit ganzen Zahlen rechnen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
K1 Zahlen und Maẞe 1.6 Kompetenzcheck 1.89 Sind folgende Aussagen richtig oder falsch? Kreuze an! richtig falsch Zwischen den Zahlen ‒3 und 4 liegen sieben ganze Zahlen. Die Zahl 0 hat keine ganze Zahl als Vorgänger. Von zwei verschiedenen ganzen Zahlen ist immer eine größer als die andere. Die Zahl ‒62 ist größer als die Zahl ‒61. Addiert man zu einer Zahl ihre Gegenzahl, so ist das Ergebnis null. 1.90 An einem Wintertag hat es um 4 Uhr in der Früh ‒9 °C, zu Mittag misst man eine Temperatur von +4 °C. Um wie viel Grad ist die Temperatur in diesem Zeitraum gestiegen? 1.91 Frau Zeger hat auf ihrem Konto 3 500 €. Sie kauft sich einen Gebrauchtwagen um 6 500 €. Stelle die Rechnung auf der Zahlengeraden dar und gib den neuen Kontostand an! 1.92 Ordne die ganzen Zahlen in einer Kleiner-Kette! a) 45; ‒43; 8; ‒167; ‒2; 0; 19; ‒1 b) ‒372; ‒5; 22; ‒23; ‒22; 370; ‒6; 4 1.93 Der alte Kontostand beträgt ‒345 €. Folgende Buchungen ‒119 € werden durchgeführt: ‒34 €; ‒60 €; +200 € ‒239 € Kreuze den neuen Kontostand an! ‒639 € 1.94 Maras Kontostand lautet ‒680 €. Sie zahlt monatlich 121 € auf das Konto ein und hebt nichts ab. Nach wie vielen Monaten ist der Kontostand +167€? 1.95 Ergänze die Tabelle! x ‒2 ‒1 0 10 4·x – 2 ‒10 1.96 Annabelle hebt von Ihrem Konto 235 € ab. Jetzt hat sie um 150 € weniger Schulden, als sie vorher Guthaben hatte. Wie viel Geld hat Annabelle jetzt auf ihrem Konto? Stelle die Veränderung mithilfe eines Pfeils auf der Zahlengeraden dar! 1.97 Die tiefste Landstelle der Vereinigten Staaten von Amerika ist das Death Valley, das 85 m unter dem Meeresspiegel liegt. Am tiefstgemessenen Punkt Österreichs in Apetlon beträgt die Seehöhe 114 m. Der höchste Berg Österreichs, der Großglockner, hat eine Höhe von 3798 m. Der Marianengraben ist ein Tiefseegraben, der mit einer Maximaltiefe von etwa 11 000 m unterhalb des Meeresspiegels liegt. Berechne folgende Höhenunterschiede: 1) Marianengraben und Großglockner 3) Death Valley und Apetlon 2) Marianengraben und Death Valley 4) Apetlon und Großglockner 1.98 a) Berechne (+12)·[(‒15) – (‒16)] + (‒10)(+2)! b) Berechne (‒4)·6, indem du das Produkt als Summe auffasst! c) Mache die Probe für die Rechnung (+24)·(‒37) = ‒888! VB MP rk MP DI 3 000 2 000 1 000 0 ‒1 000 ‒2 000 ‒3 000 ‒4 000 4 000 rk rk rk rk DI rk MP rk rk 28 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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