8 Dreiecke Mathematik und sprache 8.192 a) 1) ZB: 2) ZB: 3) ZB: b) Je zwei Seiten sind zusammen länger als die dritte Seite. a + b > c und b + c > a und a + c > b kompetenzcheck 8.195 1) Die Abbildung ist verkleinert dargestellt. 2) a = 3,3cm,b = 5,5cm,c = 4,2cm Dreiecksungleichung: (1) a + b > c w 3,3 + 5,5 > 4,2 w 8,8 > 4,2 w.A. (2) b + c > a w 5,5 + 4,2 > 3,3 w 9,7 > 3,3 w.A. (3) a + c > b w 3,3 + 4,2 > 5,5 w 7,5 > 5,5 w.A. 3) α = 38°, β = 93°, γ = 49°, 38° + 93° + 49° = 180° 8.196 8.197 1) ZB: a = 3 cm, b = 4 cm, c = 10 cm 2) ZB: α = 60°, β = 70°, γ = 80° 8.198 Sind die Maße zweier Winkel des Dreiecks gegeben, ist automatisch das Maß des dritten Winkels gegeben, da α + β + γ = 180°. 8.199 Die Abbildung ist verkleinert dargestellt. 8.200 1) WSW-Satz 2) SWS-Satz 3) SSS-Satz 4) SSW-Satz A1B1C1 t A2B2C2 Die Abbildungen sind verkleinert dargestellt. 8.201 Der Flächeninhalt eines rechtwinkeligen Dreiecks mit den kathetenlängen a und b ist genau die Hälfte des Flächeninhalts eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b. 8.202 1) α = 26,5° 2) A = 10 cm2 8.203 In einem rechtwinkeligen Dreieck ist das Maß des rechten Winkels das größte der drei Winkelmaße. Da die Hypotenuse die längste Seite im rechtwinkeligen Dreieck ist und in jedem Dreieck die längste Seite dem größten Winkel gegenüberliegt, liegt die Hypotenuse stets dem rechten Winkel gegenüber. 8.204 1) 2) C = (2 1 5) 3) γ = 180° – 2·α = 180° – 2·76° = 28° 8.205 1) eine Höhe in einem Dreieck ist die Strecke, die von einem eckpunkt normal zu der gegenüberliegenden Dreiecksseite (bzw. deren Verlängerung) verläuft. 2) In einem Dreieck ist der Flächeninhalt das halbe Produkt aus einer Seitenlänge und der Länge der zugehörigen Höhe. 8.206 ha = 3,5 cm, hb = 2,3 cm, hc = 4,8 cm A1 = a·ha _ 2 = 5,8·3,5 _ 2 = 10,15 (cm2), A2 = b·hb _ 2 = 9·2,3 _ 2 = 10,35 (cm2), A3 = c·hc _ 2 = 4,3·4,8 _ 2 = 10,32 (cm2) A = 2 A1 + A2 + A3 33 = 2 10,15 + 10,35 + 10,32 33 = 30,823 = 10,27 _ 3 ≈ 10,27(cm2) 8.207 1) c = 13 cm 2) A=30cm2 3) Felix kann die Aufgabe konstruktiv, durch Zeichnen und Messen der Höhe, oder rechnerisch lösen. Es gilt für den Flächeninhalt eines rechtwinkeligen Dreiecks: A = a·b _ 2 = c·hc _ 2 w 30 = 13·hc _ 2 w hc = 4,615… ≈ 4,6 (cm) 8.208 1) 2) h≈9,9m 8.209 g h Winkelmaß zwischen g und h u u α A c B a C b β γ α A b C a B c β γ α A b C a B c γ β B C A a b c α γ β spitzwinkeliges Dreieck α = β = γ stumpfwinkeliges Dreieck α + β = 90°; γ = 90° gleichschenkeliges Dreieck α = β; γ ≠ α gleichseitiges Dreieck α < 90°; β < 90°; γ < 90° rechtwinkeliges Dreieck α = γ = 45°; β = 90° rechtwinkeliggleichschenkeliges Dreieck α < 90°; β < 90°; γ > 90° mAB C c A M B a b α1 c1 a1 b1 A1 B1 C1 β1 γ1 α2 c2 a2 b2 A2 B 2 C2 β2 γ2 α3 c3 a3 b3 A3 B 3 C3 β3 γ3 α4 c4 a4 b4 A4 B 4 C4 β4 γ4 ‒1 O ‒2 1. Achse 2. Achse ‒2 ‒4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 ‒1 ‒5 ‒4 ‒3 C 28° 76° 76° B A a b c α a hc = 4,8 hb = 2,3 ha = 3,5 B A C c b 53° 7,5 m š 50 mm 66 mm š 9,9 m 281 lösungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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