lösungen 1 Teiler und Teilbarkeit Mathematik und sprache 1.120 a) ist eine natürliche Zahl durch t ≠ 0 teilbar, dann ist t ein Teiler dieser Zahl. Die Menge aller Teiler dieser Zahl nennt man Teilermenge. b) Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier oder mehrerer natürlicher Zahlen ist die kleinste Zahl, welche die Vielfachenmengen dieser Zahlen gemeinsam haben. c) Primzahlen als Teiler nennt man Primteiler bzw. Primfaktoren, die entsprechende Darstellung des Produkts nennt man Primfaktorenzerlegung. Man dividiert eine Zahl durch deren kleinsten Primfaktor, schreibt den Quotienten an und verfährt so lang, bis sich als letzter Quotient 1 ergibt. kompetenzcheck 1.124 a) ein unechter b) kein c) ein unechter d) ein echter e) ein echter f) kein 1.125 {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} 1.126 1 Stunde 240 Sekunden 1.127 15 ✓ 16 17 25 ✓ 33 42 60 ✓ 74 81 252 1 002 2 464 16 260 ✓ Die Zahl 15 ist durch 3·5 = 15 teilbar. Die Zahl 252 ist durch 3·4 = 12 teilbar. Die Zahlen 60 und 16 260 sind durch 3·4·5 = 60 teilbar. 1.128 60 36 120 150 35 205 105 606 99 45 75 Diese Zahlen sind Vielfache von 30. 1.129 4 teilt 8; 40; 120; 360 000 5 teilt 40; 120; 250; 99 045; 360 000 6 teilt 120; 360 000 9 teilt 909; 1 341; 99 045; 360 000 10 teilt 40; 120; 360 000 20 teilt 40; 120; 360 000 1.130 1·144 2·72 3·48 4·36 6·24 8·18 9·16 12·12 144·1 72·2 48·3 36·4 24·6 18·8 16·9 1.131 a) ZB: 1110, 2 601, 5187 b) ZB: 1 368, 3724, 8 956 c) ZB: 2785, 4 500, 7395 d) ZB: 1 008, 4 572, 5130 e) ZB: 2 214, 3 393, 7749 1.132 a) ggT(88; 46) = 2 kgV(88; 46) = 2 024 b) ggT(112; 48) = 16 kgV(112; 48) = 336 1.133 a) 36 = 2·2·3·3 d) 702 = 2·3·3·3·13 b) 396 = 2·2·3·3·11 e) 1 375 = 5·5·5·11 c) 525 = 3·5·5·7 f) 2 464 = 2·2·2·2·2·7·11 1.134 1) Die Maschinen müssen alle 144 Tage gemeinsam gewartet werden. 2) Am Freitag, dem 8. Jänner, müssen wieder alle drei Maschinen gemeinsam gewartet werden. 1.135 Der größte gemeinsame Teiler von 275 und 55 ist 55 und nicht 11. Daher kann die Lösung 55 nicht stimmen. 1.136 1.137 Das ist nach 5 540 cm wieder der Fall. 1.138 Bei dem Ausflug waren 37 kinder dabei. Man könnte annehmen, dass auch 31 kinder eine Lösung wäre, da 31 eine Primzahl ist. Würde man jedoch 31 kinder in Viererreihen aufstellen, blieben drei kinder übrig. 1.139 Man braucht 252 Würfel mit je einem Volumen von 4913cm³. (kantenlänge eines Würfels = 17cm) 1.140 1) 2) 6 ist keine Primzahl. 3 360 = 2·2·2·2·2·3·5·7 , Rechenfehler: 2 025 : 5 ist nicht gleich 400. 4050 = 2·3·3·3·3·5·5 2 zahlen in Bruchdarstellung und Dezimaldarstellung Mathematik und sprache 2.210 a) Eine Zahl in Bruchdarstellung hat einen nenner, der angibt, in wie viele Teile ein Ganzes geteilt wird, sowie einen Zähler, der angibt, wie viele Teile es sind; zwischen Zähler und Nenner steht der Bruchstrich. Bei einer Zahl in Dezimaldarstellung sind vor dem komma die Ganzen angeführt; an der ersten Stelle nach dem komma stehen die Zehntel, dann die Hundertstel, usw. b) Beim Dividieren von Zahlen in der Bruchdarstellung wird der Dividend mit dem kehrwert des Divisors multipliziert. c) 1. Art: Der Zahlenvergleich erfolgt in Dezimaldarstellung: 5 _ 8 = 0,625; 2 _ 3 = 0, • 6 Da 0, • 6> 0,625 ist 2 _ 3 > 5 _ 8 . 2. Art: Die Brüche werden auf einen gemeinsamen nenner erweitert; der Zahlenvergleich erfolgt durch den Vergleich der Zähler: 5 _ 8 = 15 _ 24 ; 2 _ 3 = 16 _ 24 ; 16 _ 24 > 15 _ 24 Daher ist 2 _ 3 > 5 _ 8 . 3. Art: Der Zahlenvergleich erfolgt durch eine kreisdarstellung der Zahlen: Daher ist 2 _ 3 > 5 _ 8 . kompetenzcheck 2.213 27 _ 27 = 1 27 _ 90 = 3 _ 10 8 _ 3 = 88 _ 33 3 = 21 _ 7 42 _ 9 = 4 2 _ 3 2.214 a) gemeinsamer nenner: 15; 5 _ 3 = 25 _ 15 ; 3 _ 5 = 9 _ 15 b) gemeinsamer nenner: 20; 3 _ 20 = 3 _ 20 ; 7 _ 2 = 70 _ 20 c) gemeinsamer nenner: 18; 7 _ 6 = 21 _ 18 ; 1 _ 9 = 2 _ 18 d) gemeinsamer nenner: 60; 5 _ 12 = 25 _ 60 ; 3 _ 10 = 18 _ 60 2.215 a) 3 _ 4 – 1 _ 8 = 6 _ 8 – 1 _ 8 = 5 _ 8 c) 1 _ 3 – 1 _ 4 = 4 _ 12 – 3 _ 12 = 1 _ 12 b) 1 _ 6 + 1 _ 4 = 2 _ 12 + 3 _ 12 = 5 _ 12 d) 2 _ 3 + 1 _ 6 = 4 _ 6 + 1 _ 6 = 5 _ 6 2.216 0, • 4 2.217 1 _ 3 < 3 _ 8 < 2 _ 5 2.218 33 _ 50 bzw. 0,66 2.219 9 _ 28 der Besucher entscheiden sich für Gericht C. 2.220 a) 1) Messung 2) Wie viele Stücke kann man abschneiden? Man kann 13 Stücke abschneiden. b) 1) Messung 2) Wie viele Flaschen werden abgefüllt? es werden 70 Flaschen gefüllt. c) 1) Teilung 2) Wie viel kilogramm kekse sind in einer Schachtel? In einer Schachtel sind 1 1 _ 4 kg kekse. d) 1) Messung 2) Wie viele Figuren kann Diana mit der verbleibenden Farbe bemalen? Sie kann 17 Figuren bemalen. e) 1) Messung 2) Wie viele Sackerl werden gefüllt? 40 Sackerl werden gefüllt. f) 1) Teilung 2) Wie viel Tonnen Schotter befinden sich auf einem Lastwagen? es befinden sich 11 _ 8 t = 1 3 _ 8 t Schotter auf einem Wagen. 2.221 1) Derzeit zahlt sie 610 € Miete. 2) in einem halben Jahr wird sie 732 € Miete zahlen. 2.222 a) 11 _ 2 = 5 1 _ 2 b) 1 _ 2 2.223 a) 7 _ 5 : 1 _ 2 = 14 _ 5 b) 1 3 _ 7 · 2 _ 4 = 10 _ 14 c) 3 : 3 _ 12 = 12 2.224 1,75 kann als Dezimalbruch angeschrieben werden: 1,75 = 175 _ 100 und dann durch 25 gekürzt werden: 175 _ 100 = 7 _ 4 . 2.225 a) u = 2 3 _ 10 m b) A = 3 _ 10 m² 2.226 1) Beide haben 14 1 _ 4 kg Nüsse eingesammelt. 2) Jedes erhält 3 1 _ 2 kg Nüsse. 3) Es können fünf Säcke (ohne Rest) gefüllt werden. 4) Im Vorjahr hat Anette 8 2 _ 5 kg Nüsse aufgesammelt. 2.227 2.228 a) Die beiden Zahlen in Bruchdarstellung werden in Dezimaldarstellung mit je einer Nachkommastelle umgeformt: 3 _ 5 = 0,6 bzw. 7 _ 10 = 0,7. Beim Rechnen in Bruchdarstellung wird so umgeformt: 0,44 = 44 _ 100 ; die beiden anderen Brüche werden auf Hundertstel erweitert; dieser Lösungsweg erfordert etwas mehr Rechenarbeit. b) Die Zahl 0, • 3wird als 1 _ 3 dargestellt; die Brüche werden auf den Nenner 18 erweitert. Beim Rechnen in Dezimaldarstellung wird mit unendlichen periodischen Dezimaldarstellungen gerechnet, was umständlich und fehleranfällig ist. 2.229 5 _ 8 = 625 _ 1 000 Achtel können auf Tausendstel erweitert werden, weil 8 ein Teiler von 1 000 ist: 8·125 = 1 0003 _ 5 = 6 _ 10 Fünftel können auf Zehntel erweitert werden, weil 5 ein Teiler von 10 ist: 5·2 = 10 5 _ 6 und 4 _ 7 können nicht auf einen Bruch mit dem nenner 10 oder 100 oder 1 000 usw. erweitert werden, weil die dekadischen einheiten 10, 100, 1 000 usw. keine Vielfachen von 6 und 7 sind. 2.230 2 _ 5 des Ganzen ist blau eingerahmt; 1 _ 3 von 2 _ 5 ist orange markiert: 1 _ 3 von 2 _ 5 entspricht der Multiplikation 1 _ 3 · 2 _ 5 = 2 _ 15 . 3 ganze zahlen Mathematik und sprache 3.53 a) Ein Pluszeichen vor einer Zahl kann die Temperatur in Grad über null angeben, die Höhe in Meter über dem Meeresspiegel, die Länge in Dezimeter nach einem Absprungbalken, den Guthabenstand in euro auf dem konto etc. > 278 lösungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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