Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier natürlicher Zahlen z1 und z2 ist die größte zahl, welche die Teilermengen beider zahlen z1 und z2 gemeinsam haben. Das Ergebnis aus Aufgabe 1.73 kann man kurz so anschreiben: ggT (96; 36) = 12 Man kann sich dies grafisch folgendermaßen vorstellen: 36 passt in 96 zweimal hinein, es bleibt der Rest 24. 24 passt in 36 einmal hinein, es bleibt der Rest 12. 12 passt in 24 zweimal hinein, es bleibt kein Rest mehr. Rechnerisch bedeutet dies: 9636 = 2, Rest 24 3624 = 1, Rest 12 2412 = 2, Rest 0 Bei dem Divisor 12 bleibt kein Rest mehr. Daher ist 12 der ggT der Zahlen 96 und 36. Dieses Verfahren nennt man den euklidischen Algorithmus nach dem griechischen Mathematiker EUKLID (ca. 300 v.Chr.). Dabei wird die größere der beiden Zahlen durch die kleinere dividiert, dann dividiert man die kleinere durch den Rest der Division usw., bis eine Division den Rest 0 hat. Der letzte von 0 verschiedene Rest ist der größte gemeinsame Teiler. Ist ggT (z1; z2) = 1, so nennt man die beiden Zahlen z1 und z2 teilerfremd. 1.74 Ermittle den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 100 und 40 1) als größte gemeinsame Zahl aus den Teilermengen von 100 und 40, 2) grafisch! Lösung: 1) T100 = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}, T40 = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}, ggT (100; 40) = 20 2) Daher gilt: ggT (100; 40) = 20 1.75 Ermittle den größten gemeinsamen Teiler von 2 695 und 1 470 rechnerisch! Lösung: 2 6951 470 = 1, Rest 1 225 1 4701 225 = 1, Rest 245 1 225245 = 5, Rest 0 Daher gilt: ggT (2 695; 1 470) = 245 AufgAbEn 1.76 Ermittle den ggT als größte gemeinsame Zahl aus zwei Teilermengen! a) ggT (18; 16) c) ggT (36; 24) e) ggT (88; 46) g) ggT (112; 48) b) ggT (35; 15) d) ggT (48; 20) f) ggT (92; 16) h) ggT (144; 32) 1.77 Ermittle den ggT als größte gemeinsame Zahl 1) aus zwei Teilermengen, 2) grafisch! a) ggT (114; 78) c) ggT (184; 136) e) ggT (225; 120) g) ggT (572; 532) b) ggT (148; 12) d) ggT (216; 124) f) ggT (372; 248) h) ggT (824; 648) Ó Demo aa38up 96 36 36 24 24 12 12 12 36 24 96 36 12 12 12 12 12 12 12 12 DI 100 40 40 20 20 40 20 RK RK RK 26 k1 Zahlen Und Maẞe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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