dreIecKe eXtraBlatt 8.8 Die Euler'sche Gerade AufgaBEn 8.193 Konstruiere das Dreieck ABC und zeichne die Euler’sche Gerade ein! Spiegle den Höhenschnittpunkt H an einer Dreiecksseite und überprüfe, ob der gespiegelte Punkt H’ auf dem Umkreis des Dreiecks liegt! a) c = 4,8 cm; α = 80°; β = 45° c) a = b = 5,2cm; γ = 95° b) a = 5,9 cm; c = 3,5 cm; α = 44° d) a = 4,2 cm; b = 7,4 cm; γ = 60° 8.194 Die Mittelpunkte Ma , Mb , Mc der Dreiecksseiten, die Höhenfußpunkte Ha , Hb , Hc und die Mittelpunkte A’, B’, C’ zwischen den Eckpunkten des Dreiecks und dem Höhenschnittpunkt H liegen auf einem Kreis. Dieser heißt Neunpunktekreis oder feuerbach-kreis mit dem Mittelpunkt F, benannt nach dem deutschen Mathematiker Karl Wilhelm FEUERBACH (1800 –1834). Zeige für ein beliebiges Dreieck, dass der Mittelpunkt F 1) genau in der Mitte zwischen dem Umkreismittelpunkt U und dem Höhenschnittpunkt H liegt, 2) auf der Euler'schen Geraden liegt! 3) Zeige für ein gleichseitiges Dreieck, dass der Feuerbach-Kreis zum Inkreis des Dreiecks wird! In jedem Dreieck liegen der Höhenschnittpunkt H, der Schwerpunkt S und der Umkreismittelpunkt U auf einer Geraden, der Euler’schen Geraden e, benannt nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard euLeR (1707‒1783). Der inkreismittelpunkt i liegt im Allgemeinen nicht auf der euler’schen Geraden (Abb. 8.6a und 8.6b); eine Ausnahme ist das gleichschenkelige Dreieck (Abb. 8.6c). Abb. 8.6a Abb. 8.6b Abb. 8.6c Bei gleichseitigen Dreiecken gibt es keine eindeutige Euler’sche Gerade, da alle vier Punkte in einem Punkt zusammenfallen. Durch diesen Punkt lassen sich beliebig viele Geraden legen, die alle als Euler’- sche Geraden aufgefasst werden könnten. Da eine Gerade aber nur durch zwei von einander verschiedene Punkte eindeutig bestimmt ist, kann es in diesem Fall keine Euler’sche Gerade geben. A A A B B B H H H S S S F F F I I I U U U e e e C C C A A’ B’ C’ B Mc Mb Hb Hc Ha F H U Ma C 217 8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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