Der flächeninhalt des spitzwinkeligen und des stumpfwinkeligen Dreiecks 8.160 Stelle eine Formel für den Flächeninhalt A eines 1) spitzwinkeligen Dreiecks, 2) stumpfwinkeligen Dreiecks auf! Gehe dabei von der Formel für den Flächeninhalt eines rechtwinkeligen Dreiecks aus! lösung: Für den Flächeninhalt A des rechtwinkeligen Dreiecks mit den Kathetenlängen a und b gilt: A = a · b _ 2 1) Für die Berechnung des Flächeninhalts A eines spitzwinkeligen Dreiecks wird das Dreieck durch die Höhe ha in zwei rechtwinkelige Dreiecke geteilt. Das Dreieck mit den Kathetenlängen a1 und ha hat den Flächeninhalt A1 = a 1· h a _ 2 . Das Dreieck mit den Kathetenlängen a2 und ha hat den Flächeninhalt A2 = a 2·h a _ 2 . Der gesuchte Flächeninhalt A ist somit: A = a 1· h a _ 2 + a 2· h a _ 2 = (a 1 + a 2)·h a __ 2 = a·h a _ 2 2) Für die Berechnung des Flächeninhalts A eines stumpfwinkeligen Dreiecks wird das Dreieck durch die Höhe ha auf die verlängerte Seite a zu einem rechtwinkeligen Dreieck ergänzt. Das Dreieck mit den Kathetenlängen (a + a3) und ha hat den Flächeninhalt A3 = (a + a 3)·h a __ 2 . Der gesuchte Flächeninhalt A ist somit: A = (a + a 3)·h a __ 2 – a 3· h a _ 2 = (a + a 3 – a 3)·h a ___ 2 = a·h a _ 2 Die Formel A = a·h a _ 2 gilt für die Berechnung des Flächeninhalts sowohl von spitzwinkeligen als auch von stumpfwinkeligen Dreiecken. Es kann ebenso mit der Seite c und der zugehörigen Höhe hc bzw. mit der Seite b und der Höhe hb gezeigt werden, dass gilt: Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist die Hälfte des Produkts aus der Seitenlänge und der zugehörigen Höhe. Für den flächeninhalt A eines Dreiecks mit den Seitenlängen a, b, c sowie den zugehörigen Höhen ha , hb und hc gilt: A = a·h a _ 2 = b·h b _ 2 = c·h c _ 2 Bemerkung: Diese Formeln gelten auch für rechtwinkelige Dreiecke: A = a·h a _ 2 = a·b _ 2 A = b·h b _ 2 = b·a _ 2 A = c·h c _ 2 Ó Demo h4ad7e DI b a c b a a1 ha a2 c b a a3 ha c b = ha a c b a c b a = hb hc c 211 dreIecKe 8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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