Der schwerpunkt 8.115 Schneidet aus einem Karton ein Dreieck aus oder nehmt einfach euer Geodreieck und versucht es auf einem Finger oder einem Stift zu balancieren! Markiert diese Linien bzw. diesen Punkt auf dem Dreieck! Was fällt an der Lage der Linien und an der Lage des Punkts auf? Von jedem Eckpunkt eines Dreiecks geht jeweils eine Linie aus, auf der sich das Dreieck im Gleichgewicht halten lässt. Diese verläuft stets durch die Mitte einer Dreiecksseite. Alle drei Linien schneiden einander in jenem Punkt, in welchem sich das Dreieck auf der Spitze eines Fingers oder eines Stifts balancieren lässt. Es seien a, b und c die Seiten eines Dreiecks ABC. Eine Strecke, die von einem Eckpunkt zur Mitte der gegenüberliegenden Dreiecksseite verläuft, nennt man schwerlinie. Die drei Schwerlinien sa , sb und sc schneiden einander in einem Punkt s, dem schwerpunkt. 8.116 Konstruiere die Schwerlinien sa, sb und sc sowie den Schwerpunkt S im Dreieck ABC, wenn A = (‒7 1 ‒3), B = (11 1 ‒3) und C = (5 1 9)! Gib die Koordinaten von S an! lösung: Die Punkte A, B und C werden in das Koordinatensystem eingezeichnet und jeweils mit Strecken verbunden. Die Seitenhalbierungspunkte Ma = (8 1 3), Mb = (‒1 1 3) und Mc = (2 1 ‒3) werden zB mit Streckensymmetralen ermittelt. Die Schwerlinien sa , sb und sc sind die Strecken zwischen den Eckpunkten und den Seitenhalbierungspunkten. Der Schnittpunkt der Schwerlinien ist der Schwerpunkt S = (3 1 1). 8.117 Fortsetzung von Aufgabe 8.116: Miss im Dreieck ABC die Längen 1) _ AS und _ SM a, 2) _ BS und _ SM b, 3) _ CS und _ SM c! Was fällt auf? lösung: 1) _ AS≈ 58mm, _ SM a ≈ 29 mm, 2) _ BS= 50mm, _ SM b = 25 mm, 3) _ CS≈ 61 mm, _ SM c ≈ 30,5 mm. Der Schwerpunkt des Dreiecks teilt die Schwerlinien im Verhältnis 21. Der schwerpunkt eines Dreiecks teilt die Schwerlinien stets im Verhältnis 21. MP C Rk ‒3 ‒1 1 3 5 7 9 ‒7 O ‒5 ‒3 ‒1 1 5 7 9 11 3 1. Achse 2. Achse 2 4 6 8 2 4 6 8 10 12 ‒8 ‒6 ‒4 ‒2 ‒2 Mb Ma Mc A B S C c a b sc sa sb DI 203 dreIecKe 8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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