gleIchUngen eXtraBlatt 5.6 Achtung, formeln! AufgABEn 5.110 Berechne mit der Formel 1 + 2 + 3 + … + n = n _ 2 ·(n + 1) die Summe aller Zahlen a) von 1 bis 20 (und überprüfe das Ergebnis durch tatsächliches Zusammenzählen), b) von 1 bis 200, c) von 1 bis 1 000! 5.111 Die Summe von sechs aufeinanderfolgenden Zahlen ist 9 423. Um welche sechs natürlichen Zahlen handelt es sich hierbei? 5.112 Elvira sagt zu ihren Freunden: „Jeder von euch hat in seinem Leben wahrscheinlich schon oft diese oder ähnliche Aussagen im Alltag gemacht und sie sind beide nicht falsch: Neun weniger fünf ist gleich vier. Neun und fünf ist zwei.“ Was meint sie damit? 5.113 Ein Obsthändler hat in der Früh gleich viele Äpfel und Birnen. Am Ende der Verkaufszeit hat er von den Äpfeln 93 Stück verkauft, von den Birnen jedoch nur 39 Stück. Ihm fällt auf, dass er jetzt noch genau doppelt so viele Birnen wie Äpfel hat. Wie viele Äpfel und Birnen sind in der Früh in seinem Geschäft gelegen? Formeln sind wichtige Werkzeuge in der Mathematik, da durch Formeln Sachverhalte allgemein beschrieben werden können. Außerdem haben Formeln die Eigenschaft, dass sie entweder richtig oder falsch sind. So ist die Formel A = a·b für den Flächeninhalt eines Rechtecks genau dann richtig, wenn A für den Flächeninhalt, a für eine Länge und b für die andere Länge des Rechtecks steht. Den Umfang u eines Rechtecks kann man mit u = a + a + b + b, mit u = 2·a + 2·b oder mit u = 2·(a + b) angeben oder durch einige weitere Möglichkeiten. Jede dieser Formeln ist richtig, weil damit anhand von beliebigen Längenangaben a und b der Umfang u des zugehörigen Rechtecks ermittelt werden kann. Formeln sind daher allgemein gültige Gleichungen. Der deutsche Mathematiker carl friedrich GAUss (1777‒1855) hat bereits als Schüler Vorgaben für eine bekannte Formel entwickelt. Sein Volksschullehrer wollte die Kinder eine Zeit lang beschäftigen. So gab er ihnen die Aufgabe, alle Zahlen von 1 bis 100 zusammenzuzählen. Während alle angestrengt rechneten, hatte der kleine Carl Friedrich das richtige Ergebnis sehr schnell. Seine Idee war folgende: Man muss gar nicht alle Zahlen nacheinander addieren, es reicht sich vorzustellen, dass man gleichzeitig bei der ersten und der letzten Zahl ansetzt und dann bis zur Mitte fortschreitet. So liefern 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 usw. jeweils die Summe 101. Ist man bei 50 + 51 angekommen, so hat man 100 _ 2 = 50 Additionen mit immer derselben Summe 101 durchgeführt, dh. 50·101 = 5 050. Diese Überlegungen führen zu einer Formel, mit der man die Summe der ersten n natürlichen Zahlen (außer 0) einfach ausrechnen kann: 1 + 2 + 3 + … + n = n _ 2 · (n + 1). 129 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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