251. a) (i) ‒ 42 + 66 i, (ii) ‒ 0,36 – 0,74 i b) (i) ‒120 + 50 i, (ii) ‒ 0,35 – 0,85 i 252. a) 1) Im Nenner muss bei der Erweiterung 3 + 2 i stehen, 2) man muss mit ‒ 2 oder mit ‒7 mu®tip®izieren, 3) 7 · 3 statt 7 · 2, 4) 32 + 22 ≠ 52; Lösung: 1 _ 13 + 31 i _ 13 b) 1) man muss mit ‒ 4 – 3 i erweitern, nicht mit 4 – 3 i, 2) (‒ 4 i) · (‒ 3 i) = ‒ 12, 3) Man darf nicht durch ‒7 kürzen; Lösung: i 253. AUGUST 254. 1C, 2A, 3D, 4B 255. a) z. B. x2 – 4 x – 12 = 0 b) z. B. x2 – 6 x + 10 = 0 c) z. B. x3 – 7 x2 – 14 x + 48 = 0 d) z. B. x3 + x2 + x + 1 = 0 e) z. B. x4 – 20 x2 + 64 = 0 f) z. B. x4 + 15 x2 – 16 = 0 256. x3 – 7 x2 + 19 x – 13 = 0 genau eine Lösung 257. x1 = ‒ 6 x2 = 4 + 3 i x3 = 4 – 3 i 258. a – 2; b – 4; c – 2; d – 1; e – 5, f – 3; g – 4; h – 2; i – 6; j – 1,2; k – 5, e – 5 259. 1E, 2D, 3C, 4B 260. a) b) 261. R ea®tei® ‒ 3,5 und dem Imaginärtei® ‒ 8,4 (9,1 1 247,38°) 262. 1) z1 = ( 9__ 113I318,81°); z2 = (5 1 233,13°) 2) z1 + z2 = 5 – 11 i; z2 – z1 =‒11+3i 3) z1 + z2 = 5 – 11 i = ( 9__ 146; 294,44°) ≠ (9 __ 113+ 5; 318,81° + 233,13°); z2 – z1 =‒11+3i=( 9__ 130; 164,74°) ≠ (5 – 9 __ 113; 233,13° – 318,81°) 263. CUPCAKE 264. z1 4 = ‒119 + 120 i = (169 1 134,8°); z 2 3 = ‒ 64 = (64 1 180°) 265. A = (0,512 1 150°), B = (1 1 50°), C = (4 1 180°), D = (3,375 1 261°) 266. 267. A, C 268. zwei konjugiert komp®exe Lösungen a > 0 und b > 0 269. 1D, 2F, 3A, 4E 270. (1) s2 – 4 t r (2) keine ree®®e Lösung 271. B, E 272. a) 1) E b) 1) ei π = cos(π) + i · sin(π) =‒1+i·0=‒1 w ei π + 1 = 0 c) 1) (cos(φ) + i sin(φ))n = (ei φ)n = ei φ n = cos(φ n) + i · sin(φ n) 2) (1 + i)8 = 16 273. a) 1) n 9 __________________ r · (cos(φ + 2 k π) + i · sin(φ + 2 k π) = = n 9 _ r · n 9 ________________ cos(φ + 2 k π) + i · sin(φ + 2 k π) = = n 9 _ r · (cos(φ + 2 k π) + i · s in(φ + 2 k π) 1 _ n = = n 9 _ r · (ei · (φ + 2 k π)) 1 _ n = n 9_ r · ei · 2 φ + 2 k π __ n 3 = = n 9 _ r · 2 cos2 φ + 2 k π __ n 3 + i · sin2 φ + 2 k π __ n 3 3 b) 1) Es gibt zwei Mög®ichkeiten: Fa®® 1: i º 0 | · i i2 º 0 ‒1º0 Widerspruch Fa®® 2: i < 0 | · i (wegen i < 0 wird das i2 º 0 K®einerzeichen umgedreht) c‒1º0 Widerspruch In beiden Fä®®en tritt ein Widerspruch auf. Somit ist ℂ nicht ordnungsfähig. c) 1) B, D d) 1) Re Im 1 2 3 4 i 2i 3i 4i 5i 0 φ2 φ1 r2 z1 z2 z 3 φ3 r1 r3 0 Re Im 1 –2 –1 2 i 2i –2i –3i z3 φ1 φ2 φ3 r2 r1 z2 z1 Re Im 1 –4 –3 –2 –1 1 –3 –2 –1 0 D C A B 1,37 + 0,37 i 1 + i ‒ 0,37 – 1,37 i ‒ 1 + i ‒ 1,37 + 0,37 i 0,37 – 1,37 i Re Im 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 i 2i x1 x2 3i –3i –2i –i 0 94 Lösungen Anhang Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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