8 Anwendungen der Differentia®rechnung 179. a) _ K(x) = x2 – 3 x + 4 + 4 _ x b) Betriebsoptimum: 2 w der Unternehmer hat recht. Bei 2 ME werden die Stückkosten minima®. Diese Kosten ( _ K(2)= 4) werden a®s ®angfristige Preisuntergrenze bezeichnet. D.h. auf ein Produktionsjahr bezogen, so®®te der Preis pro Mengeneinheit nicht unter diesen Betrag fa®®en, da sonst ein Ver®ust erzie®t würde. c) K’(x) = 3x2 – 6 x + 4 d) Der Schnittpunkt der Grenzkosten- und der Stückkostenfunktion entspricht dem Betriebsoptimum = Minimum der Stückkosten. Bei 2 ME sind die Stückkosten bzw. Grenzkosten betragen 4 GE _ ME . 180. i) G(x) = 60 x – 4 x1,5 – 200 w maxima®er Gewinn bei x = 100 ME (BIL) G(100) = 1 800 (EN) ii) K’(5) = 18 (TA) Kv(2) = 20 (R) iii) Betriebsoptimum … 100 ME (ÄT) ®angfristige Preisuntergrenze … 270 GE (IT) R EN TA BIL IT ÄT 20 1 800 18 100 270 100 Lösungswort: RentabiLität 181. Stückkosten: durchschnitt®iche Kosten pro produzierte Mengeneinheit Grenzkosten: Kostenzuwachs für eine zusätz®ich produzierte Mengeneinheit Break-Even-Point: Gewinnschwe®®e, Produktionsmenge, nach deren Überschreitung der Betrieb einen Gewinn macht. Kostenkehre: Die Produktionsmenge, bei der eine degressive Kostenentwick®ung in eine progressive Kostenentwick®ung übergeht (oder umgekehrt) degressiv: unterproportiona®, die Kosten nehmen bei steigender Bezugsgrößenmenge ®angsamer zu progressiv: überproportiona®, die Kosten nehmen bei steigender Bezugsgrößenmenge stärker zu Betriebsoptimum: die Produktionsmenge, bei der die Stückkosten am k®einsten sind 182. a) Kostenkehre … 20 ME K(20) = 900 GE b) K’(20) = ‒ 20 GE Bei der Produktion von 21 ME nehmen die Gesamtkosten ungefähr um 20 GE zu. c) degressiv: bis 20 ME progressiv: ab 20 ME 183. a) G(x) = ‒ x3 + 10 x2 + 13,5 x – 150 b) 4 ME Ab 4 ME macht das Unternehmen einen Gewinn. 184. C, D 185. a) h’(t) gibt die momentane Höhenänderung in Meter pro Sekunde an h’’(t) gibt die momentane Änderung der Höhenänderung (die vertika®e Besch®eunigung) in m _ s2 an. b) h(6) = 18 m; h(4) = 12 m; h’(5) = 3; h’’(3) = 0 c) maxima®e F®ughöhe 20 m (Randextremum); höchste Sinkgeschwindigkeit nach 5 Sekunden; Positive Krümmung im Interva®® t * [5; 10] Die Drohne besitzt eine positive Besch®eunigung (nach oben); die Drohne vergrößert ihre senkrechte Geschwindigkeit nach oben. 186. Grundf®äche:10 m × 10 m Höhe: 5 m 187. h = d 9_ 6 _ 3 b = d 9 _ 3 _ 3 188. f’(x) = 3x2 – 6 x x1 = 0,6 – 0,136 _ ‒ 2,52 ≈ 0,654 x2 = 0,654 – ‒ 0,00342 __ ‒ 2,64085 ≈ 0,653 x3 = 0,653 – ‒ 0,00078 __ ‒ 2,63877 ≈ 0,6527 w x3 = 0,6527 189. B, C 190. In 750 m Höhe nimmt der Druck um 4 Pa pro m ab. 191. In der 6. Stunde nimmt die Änderungsgeschwindigkeit der Anzahl der Grippeviren um 1 400 Viren pro Stunde zu. 192. 250 € 193. 250 € 194. a) 1) K(x) = 75 000 + 1,25 x 2) Der Erlös pro Proteinriegel beträgt 2,50 €. b) 1) 10 Stück c) 1) C, D 195. a) 1) [0; 20] 2) ca. 60 b) 1) [14 (13,3); 20] c) 1) momentane Veränderung Erkrankungsgeschwindigkeit 9 Diskrete Zufa®®svariab®en 196. a) X = 3 bedeutet, dass genau drei Münzen „Zah®“ zeigen. b) X > 7 bedeutet, dass die Augenzah® über sieben ist. c) X ª 43 bedeutet, dass die Schuhgröße höchstens 43 ist. d) X º 5 bedeutet, dass fünf oder mehr Personen an der Kassa warten. 197. Gib die Ereignismenge an. a) K … Kopf Z … Zah® {KKZZ, ZZKK, KZKZ, ZKZK, KZZK, ZKKZ} b) r … rote Kuge® g … ge®be Kuge® {ggggr, gggrg, ggrgg, grggg, rgggg} 198. 1D, 2B, 3A, 4F 199. a) 0, 1, 2, 3 x K(x), K’(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 –1 2 4 6 8 10 0 Grenzkostenfunktion Stückkostenfunktion 91 Lösungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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