77. (1) Das Maximum wird bei a = b = 6 erreicht. (2) Die Hauptbedingung dieser Aufgabe ist die Funktion p(a, b) = a2 · b2. Da die Funktion p von zwei Variab®en abhängt, muss aus dem Zusammenhang a + b = 12 (der sogenannten Nebenbedingung) eine Variab®e durch die andere ausgedrückt (z.B. b = 12 – a) und in p eingesetzt werden: p(a) = a2 · (12 – a)2. Durch Nu®®setzen der ersten Ab®eitungsfunktion von p bestimmt man die mög®ichen ®oka®en Extremste®®en von p und überprüft anhand des Graphen von p bzw. mit der zweiten Ab®eitungsfunktion von p, ob es sich bei den Ste®®en um Minimum- oder Maximumste®®en hande®t. p(a) = a4 – 24 a3 + 144 a2 w p’(a) = 4a3 – 72 a2 +288a=0 w a1 = 0, a2 = 6, a3 = 12 w a = 6, b = 6 p’’(a) = 12 a2 – 144 a + 288 w p’’(6) = ‒ 144 < 0, d.h. Maximumste®®e 78. 1) Hauptbedingung: A(x, y) = x · y 2) Nebenbedingung: y = 0,5 x2 – 4 x + 7,5 3) Zie®funktion: A(x) = x · (0,5 x2 – 4 x + 7,5) = 0,5 x3 – 4 x2 + 7,5 x 4) Berechnung der Extremste®®en von A: A’(x) = 1,5 x2 – 8 x + 7,5 w 1,5 x2 – 8 x + 7,5 = 0 w x1 = 1,21 x2 = 4,12 (+ D) 5) Nachweis des gesuchten Extremums mit A’’: A’’(x) = 3x – 8 w A’’(1,21) < 0, d.h. Maximumste®®e 79. f(x) = 9 _____ 602 + x2 + 9 _________ (150 – x)2 + 1002 x ≈ 56,25 m 80. Der Hund muss rund 43,05 m vom Startpunkt entfernt ins Wasser springen. 81. a = 4,95 cm; b = 2,47cm 82. 83. E 84. f(x) = 1 _ 3 x 3 – 3 _ 8 x 2 – 9 _ 8 x + 3 _ 8 85. a) 1) A®®e Stammfunktionen sind ®ineare Funktionen, die para®®e® zueinander sind. a) 2) s(5) – s(2) = 25 + d – (10 + d) = 15 m a) 3) Der zurückge®egte Weg kann berechnet werden, da der konstante Tei® d wegfä®®t. b) 1) W = (7 1 9) 86. a) 1) mitt®ere Änderungsrate in [1; 12] = 2 _ 11 m/s 2 2) In z.B. [1; 2] ist die momentane Änderungsrate von v (momentane Besch®eunigung) an jeder Ste®®e größer a®s die oben berechnete mitt®ere Besch®eunigung. b) 1) A, D c) 1) Die Beschleunigung ist bei ca. t = 7 am geringsten. 4 Kreis und Kuge® 87. AØM; BFL; GHJ; DPR; COQ; EKN 88. a) k1: x 2 + y2 = 4; k 2: x 2 + y2 = 30,25; k 3: x 2 + y2 = 81 b) 7,5625; ~ 2,68 89. WELTBILD 90. ORANGE O = (10 1 7), R = (6 1 3), A = (0 1 4), N = (1 1 2), G = (6 1 1), E = (8 1 5) 91. a) P: auf der Linie; Q: außerha®b; R: innerha®b b) S: innerha®b; T: außerha®b; U: auf der Linie 92. 1) M = (5 1 ‒ 2) 2) M = (‒1,5 1 0,5) 3) M = (9 1 ‒ 9) 4) M = (1,5 1 ‒ 3,5) 93. B, D 94. 1) (x + 5)2 + (y – 1)2 = 4 2) (x + 3,5)2 + (y + 1)2 = 4 3) (x – 1)2 + (y – 1)2 = 4 95. (x – 5)2 + y2 = 25 x2 + y2 – 10 x = 0 96. k: (x – 2,25)2 + (y – 1,88)2 = 5,08 x2 + y2 – 4,5 x – 3,76 y = ‒ 3,52 97. g(x) = 3 x + 4 k: x2 + (y – 4)2 = 25 98. a) M = (3 1 1,5) ha®biert die Hypotenuse _ BC b) k: (x – 3)2 + (y – 1,5)2 = 10,25 a 0123456789101112 b 1211109876543210 a2 · b2 0 1120273235363532272011 0 x y f f’ 1 2 3 4 –2 –1 1 2 3 4 –3 –2 –1 0 x y 1 2 3 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 0 x y A B g 12345678910 –6 –4 –2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 –1 0 87 Lösungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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