Im gegebenen Interva®® [a; b] gi®t: [‒ 2; 1] [1; 5] [5; 7] [7; 9] [‒ 2; 7] [1; 9] Die Steigung der Sekante von f ist negativ. B O P G A L Die Funktionsg®eichung der Sekante ®autet s(x) = 2 x – 12. A V H K U R Die Funktionsg®eichung der Sekante ®autet s(x) = 1. C H M S R U Der Differenzenquotient von f ist 0,5. P R A S S S 29. a) f(x) = 5 x2 b) Da der Graph von f symmetrisch bezüg®ich der y-Achse ist, müssen die Funktionswerte von f(r) und f(‒ r) übereinstimmen. Aus diesem Grund muss auch der Differenzenquotient Null sein. rechnerisch: f(r) – f(‒ r) __ 2 r = a r2 – a r2 __ 2 r = 0 30. B, D 31. 1) 0 2) 2 3) ‒ 2 4) 6 5) ‒ 8 6) 8 32. (1) ®im z ¥ 1 s(z) – s(1) __ z – 1 (2) die momentane Geschwindigkeit des Körpers für t = 1 33. a) ‒ 2,73°C/min; Die Temperatur nimmt in [5; 11] im Mitte® um 2,73°C/min ab. ‒ 3,07°C/min; Die Temperatur nimmt in [5; 9] im Mitte® um 3,07°C/min ab. ‒ 3,69°C; Die Temperatur nimmt in [5; 6] um 3,69°C ab. b) ‒ 2,665°C/min; Die momentane Temperaturänderung zum Zeitpunkt t = 8 ist – 2,665°C/min. 34. a) fa®sch Feh®er: ®im z ¥ 5 (z – 5); richtig wäre: ®im z ¥ 5 (z + 5) b) richtig 35. a) 1 b) 27 36. a) f’(1) = 2 f’(‒2) = ‒4 f’(0) = 0 b) f’(0) = 0 f’(1) = ‒3 f’(2) = 0 37. C, D 38. a) 1A, 2B, 3C, 4D b) 1F, 2E, 3D, 4C 39. (1) f(x) = 2 x4 – x3 + x2 – 3 x + 5 (2) f’(x) = 8x3 – 3 x2 + 2 x – 3 40. t(x) = ‒ 60 x – 183 41. a) (2 1 4) b) 2 ‒ 4 _ 3 1 ‒ 39,74 3 bzw. (0 1 ‒ 19) 42. a) 7 m/s b) ‒ 3 m/s Da die momentane Geschwindigkeit des Körpers negativ ist, fä®®t der Meta®®körper wieder nach unten. c) nein 43. 6ab + 3c2 + 3 a 2 – 6bc + 3b2 – 6 a c 44. a) f(x)’ = 1 _ 3 · (50 x 4 – 9 x2 + 8 x + 12) f(x)’’ = 1 _ 3 · (200 x 3 – 18 x + 8) f(x)’’’ = 1 _ 3 · (600 x 2 – 18) b) f’(x) = 1 _ 17 · (42 x 5 – 204 x3 + 26 x – 6) f’’(x) = 1 _ 17 · (210 x 4 – 612 x2 + 26) f’’’(x) = 1 _ 17 · (840 x 3 ‒ 1 224 x) 45. mittlere Änderungsrate: 12 46. (1) Momentangeschwindigkeit (2) zum Zeitpunkt t1 47. Der Löwe besch®eunigt konstant mit 5 m/s2. 48. fqq(x) = 3 u x2 + 8 c x – b fqq(x) = 6 u x + 8 c 49. 50. a) 1) Die Geschwindigkeit des Autos verringert sich um 0,5 m/s. b) 1) sqq(t) = – 0,5 c) 1) Die Beschleunigung liegt konstant bei – 0,7m/s2 (Das Auto verlangsamt gleichmäßig.). d) 1) fq(x) = 2 a x, fqq(x) = 2 a 51. a) D = [0; 46,5] Eine größere Definitionsmenge ist nicht sinnvo®®, danach v negativ wird. b) 1) 720,75 m c) 1) 31 m/s d) 1) Die momentane Geschwindigkeit am Beginn der Bremsung wird berechnet. 3 Untersuchung von Po®ynomfunktionen 52. A, E 53. a) A w B A ist nicht hinreichend für B, da nicht jede ree®®e Zah® automatisch auch eine rationa®e Zah® ist. Daher ist B auch nicht notwendig für A. B w A B ist eine hinreichende Bedingung für Aussage A, da jede rationa®e Zah® auch eine ree®®e Zah® ist. Daher ist A auch notwendig für B. b) A w B A ist nicht hinreichend für Aussage B, da es auch nicht ®ineare streng monoton steigende Funktionen gibt. Daher ist B auch nicht notwendig für A. B w A B ist hinreichend für A, da eine ®ineare Funktion mit positiver Steigung streng monoton steigend ist. Daher ist A auch notwendig für B. 54. Da an der Ste®®e 0 kein Monotoniewechse® stattfindet, hande®t es sich um eine Satte®ste®®e. 55. a) E = (2 1 ‒ 1) … ®oka®e Minimumste®®e b) Ist a > 0, dann besitzt f eine ®oka®e Minimumste®®e. Ist a < 0, dann besitzt f eine ®oka®e Maximumste®®e. c) Quadratische Funktionen besitzen immer einen Scheite®punkt. Diesen erhä®t man, indem man die erste Ab®eitung 0 setzt. Die erha®tene G®eichung ist eine ®ineare G®eichung. Die Lösung dieser G®eichung ist die x-Koordinate des Scheite®punkts. Eine quadratische Funktion besitzt daher nie eine Satte®ste®®e. Aus diesem Grund ist die gegebene Bedingung auch hinreichend. x f(x), fq(x) 0,5 1 1,5 2 2,5 –2 –1,5 –1 –0,5 0,5 f fq 1,5 2 1 2,5 3 0 85 Lösungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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