1 G®eichungen höheren Grades 1. 1D, 2F, 3C, 4A 2. a) Die Lösung x1 = 0 feh®t. Es wurde x herausgehoben. L = {‒7; 0; 8} b) Die Lösungsmenge ist nicht ®eer. Die Lösung x = 0 wurde nicht berücksichtigt. Die Lösungsforme® wurde fa®sch angewendet. L = {‒ 2; 0; 8} 3. (1) (x2 + 1,44) (x2 + 9) = 0 (2) keine ree®®e Lösung 4. a) {‒ 6; 6} b) {‒ 2,5; 2,5} c) {‒ 11; 11} d) {‒ 4; 4} e) {‒ 1 _ 3 ; 1 _ 3 } f) {‒ 0,1; 0,1} Lösungswort: BLUMEN 5. 1C, 2A, 3D, 4B 6. a) u1 = 9; x3, 4 = ± 2 b) x4 – 45,25 x2 + 506,25 = 0; x 1, 2 = ± 5; x3, 4 = ± 4,5 c) x4 – 0,34 x2 + 0,0225 = 0; u 1 = 0,25; u2 = 0,09 d) u1 = 1 _ 9 ; u2 = 1 _ 81 ; x1, 2 = ± 1 _ 3 ; x3, 4 = ± 1 _ 9 7. a) x = ‒ 3 x3 – 3 x2 – 9 x + 27 = (x + 3)(x – 3)2 b) x = 2; x = 3 x3 – 19 x + 30 = (x – 2)(x – 3)(x + 5) 8. a), d), e) 9. (1) x3 + x2 – 20 x (2) x + 5 10. a) Die Aussage ist zutreffend, da der Grad ungerade ist. Aufgrund der Form des Graphen muss es mindestens einen Schnittpunkt mit der x-Achse geben. b) Die Aussage ist nicht zutreffend. Da der Grad der Funktion gerade ist, kann es aufgrund der Form des Graphen vorkommen, dass der Graph die x-Achse nie schneidet. 11. 1C, 2A, 3B, 4E 12. z. B. f(x) = (x + 3)2 (x + 1) 13. a) f(x) = x4 – 3 x3 – 4 x2 + 12 x = (x + 2) (x – 2) (x – 3)x b) g(x) = x4 + 3 x3 – 4 x2 = (x + 4) x2 (x – 1) c) h(x) = x4 – 3 x 3 _ 2 = x 3 (x – 1,5) d) i(x) = x4 – 5 x 2 _ 4 + 1 _ 4 = (x – 1) (x + 1) (x – 0,5) (x + 0,5) 14. B, F, G, H 15. 1B, 2C, 3D, 4A 16. A, E 17. (1) vierten Grades (2) einer einfachen Nullstelle und einer Doppelnullstelle 18. (1) x3 + 6 x2 – 36 x – 216 (2) x – 6 19. a) 1) D, E b) 1) ± 1; ± 3 a c) 1) N1 = (‒ 2 1 0); N2, 3 = (3 1 0); N4 = (5 1 0); f(x) = (x + 2)(x – 3)2 (x – 5) = x4 – 9 x3 + 17 x2 +33x–90 d) 1) Der Schüler hat nicht Recht. Die Funktion hat zwar nur drei Nullstellen, es sind aber zwei einfache Nullstellen und eine Doppelnullstelle. 20. a) 1) 1 ist eine Lösung der G®eichung, da 13 – 3,5 · 12 + 3,5·1 –1 = 0gi®t. Da 2 ebenfa®®s eine Lösung der G®eichung ist, ist ®aut Angabe auch 1 _ 2 eine Lösung: 23 – 3,5 · 22 + 3,5 · 2 – 1 = 0 w. A. 2 1 _ 2 3 3– 3,5·2 1 _ 2 3 2+ 3,5·1 _ 2 –1=0 w.A. b) 1) C, E c) 1) Die Division durch x2 ist eine zu®ässige Äquiva®enzumformung, da x ≠ 0 ist und die Anzah® der Lösungen sich nicht verändert. Dividiert man die G®eichung durch x2 erhä®t man a x2 + b x + c + b _ x + a _ x2 = 0. 2) Es werden die Parameter eingesetzt. Man erhä®t nach Umformung die G®eichung a t2 + b t + c – 2 a = 0. 2 Grund®agen der Differentia®rechnung 21. a) Im Monat m waren die Umsätze größer a®s im Monat n. b) Dieser Term gibt an, um wie vie® Prozent der Umsatz im Monat m größer/k®einer a®s im Monat n ist. 22. 1F, 2B, 3A, 4C 23. abso®ute Änderung: ‒1 re®ative Änderung: ‒ 1 _ 2 mitt®ere Änderung: ‒ 1 _ 6 24. A, C 25. a) 1) [0; 2]: N0 · (‒ 0,12) 2) [6; 8]: N0 · (‒ 0,05) 3) [2; 4]: N0 · (‒ 0,09) 5) [4; 6]: N0 · (‒ 0,07) 4) [8; 10]: N0 · (‒ 0,04) Da es sich um eine streng monoton fa®®ende Exponentia®funktion hande®t, ist die x-Achse Asymptote. Daher wird die Differenz der gegebenen Funktionswerte immer k®einer. b) Die Aussage ist zutreffend, da die re®ative Änderungsrate in jedem der gegebenen Interva®®e 0,877 2 – 1 ≈ ‒ 0,23 ist. a®®gemein gi®t: N0 · 0,877 t + 2 – N 0 · 0,877 t ____ N0 · 0,877 t = 0 ,8772 – 1 26. 120 km/h 27. B, D 28. Lösungswort: SCHOKOLADENKUCHEN Im gegebenen Interva®® [a; b] gi®t: [‒ 2; 1] [1; 5] [5; 7] [7; 9] [‒ 2; 7] [1; 9] Der Differenzenquotient von f ist positiv. E T N E H C Der Differenzenquotient von f ist Nu®®. U R U I I I f(b) > f(a) O T K N E D f ist streng monoton steigend. C R A N M R Die Änderung der Funktionswerte ist 1. A M U L O F Die Funktion wächst im Mitte® um 1 _ 4 . T R A A I K x f(x) f x f(x) f 84 Lösungen Anhang Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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