AG-R 2.3 Teil-2-Aufgaben 272 Euler’sche Identität 1748 veröffentlichte der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler die Euler’sche Identität (auch Euler’sche Formel genannt): ei φ = cos(φ) + i · sin(φ). Mit Hilfe dieser Formel werden die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus mit der Euler’schen Zahl e sowie mit der imaginären Einheit i verbunden. a) Gegeben ist die komplexe Zahl z = ‒ 6 + 8 i. 1) Kreuze die äquivalente Darstellung für z an. A B C D E F ei · 126,87° 10 · ei · 53,13° 53,13 · ei · 10° 126,87 · ei · 10° 10 · ei · 126,87° ei · 10° b) 1) Zeige mit Hilfe der Euler’schen Identität die Gültigkeit des Zusammenhangs: e i · π + 1 = 0 c) Abraham de Moivre (1667–1754) war ein französischer Mathematiker, nach dem der folgende Zusammenhang (Satz von Moivre) benannt ist: (cos(φ) + i · sin(φ))n = cos(n · φ) + i · sin(n · φ) mit n * ℤ 1) Zeige unter Verwendung der Euler’schen Identität die Gültigkeit des Satzes von Moivre. 2) Berechne den Wert der Potenz (1 + i)8. 273 a) 1748 veröffentlichte der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler die Euler’sche Identität (auch Euler’sche Formel genannt): ei φ = cos(φ) + i · sin(φ). 1) Leite unter Verwendung der Euler’schen Formel eine Formel für n 9 __________________ r · (cos(φ + 2 k π) + i · sin(φ + 2 k π))mit n * ℤ+ und k = 1, 2, 3, 4, …, n – 1 her. b) 1) Begründe, dass es in ℂ keine Ordnung (z.B. im Sinne von kleiner bzw. größer) gibt. c) Quadratische Gleichungen können auch komplexe Lösungen haben. 1) Kreuze die Gleichungen mit konjugiert komplexen Lösungen an. A B C D E x2 +6x–16=0 x2 + 16 x + 68 = 0 x2 + (8 – 4 i) x – 16 i – 4 = 0 x2 +4x+68=0 x2 + 32 i x + 60 = 0 d) Gegeben sind die Lösungen einer quadratischen Gleichung mit x1 = 4 + 3 i und x2 = ‒ 2 – 3 i. 1) Stelle die Lösungen graphisch dar. KM2 M2 Re Im 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 i 2i 3i –3i –2i –i 0 83 Komplexe Zahlen > Weg zur Matura > Tei®-2-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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