Die Quotientenregel 158 Vervollständige den folgenden Satz so, dass er mathematisch korrekt ist. Die Funktion f mit (1) besitzt als erste Ableitung die Funktion (2) . (1) (2) f(x) = 3 x – 5 _ x2 + 1 f’(x) = 3 x2 + 10 x + 3 __ (x2 – 1)2 f(x) = x 2 – 1 _ 3 x + 5 f’(x) = ‒ 3 x2 + 10 x + 3 __ (x2 + 1)2 f(x) = 3 x + 5 _ x2 – 1 f’(x) = ‒ x2 + 10 x + 1 __ (x2 + 3)2 Die Konstantenregel 159 Ordne jeder Funktion (mit r * ℝ\{0}) ihre erste Ableitung zu. 1 f(x) = r · h(x) A f’(x) = r’ · h’(x) 2 f(x) = r · h(r · x) B f’(x) = r3 · h’(r2 · x) 3 f(x) = r · h(r2 · x) C f’(x) = r · h’(x) 4 f(x) = 1 _ r · h(r · x) D f’(x) = h’(r · x) E f’(x) = r2 · h’(r · x) F f’(x) = r · h’(r2 · x) Die Kettenregel 160 Ordne jeder Funktion ihre erste Ableitung zu. 1 f(x) = (2 x + 4)5 A f’(x) = 10 · (2,5 x + 2)3 2 f(x) = (2,5 x + 2)4 B f’(x) = 80 x3 (x4 – 3)4 3 f(x) = 4 (x4 – 3)5 C f’(x) = 48 (x3 – 4)3 4 f(x) = 12 (x3 – 4)4 D f’(x) = 10 · (2 x + 4)4 E f’(x) = 144 x2 (x3 – 4)3 F f’(x) = 36 x (x3 – 4) 161 Gegeben ist eine Rechnung, in welcher die erste Ableitung der Funktion f bestimmt wird. Kontrolliere die Rechnung und finde den Fehler. Gib an, welche Ableitungsregeln zur Bestimmung der ersten Ableitung f’ benutzt wurden. a) f(x) = 2 2 x 2 – 1 _ x2 + 1 3 2 f’(x) = 2 · 2 2 x 2 – 1 _ x2 + 1 3 2 · 4 x _ 2 x f’(x) = 2 · 2 2 x 2 – 1 _ x2 + 1 3 2 · 2 f’(x) = 2 2 x 2 – 1 _ x2 + 1 3 2 · 4 Fehler: Regeln: Impliziertes Differenzieren 162 Gegeben ist eine Ellipse mit ell: 2x2 + 5 y2 = 10, sowie der Punkt P = (‒1 1 y > 0). Bestimme durch impliziertes Differenzieren die Steigung der Tangente durch diesen Punkt und ihre Funktionsgleichung. M1 AN-R 2.1 50 Erweiterung der Differentialrechnung 7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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