Teil-2-ähnliche Aufgaben 153 Kardioide Eine Kardioide (Herzkurve) kann man auf mehrere Arten entwickeln. Bei der bekanntesten Möglichkeit rollt auf einem Kreis ein gleich großer Kreis ab. Die Spur eines festen Punktes am zweiten Kreis bildet diese Kurve. Die Herzkurve kann durch folgende Parameterform festgelegt werden: h: X = 2 a · (1 + cos(t)) · cos(t) a · (1 + cos(t) · sin(t) 3 , t * [0; 2 π] a) Gegeben ist die Abbildung einer Herzkurve mit der Parameterform h: X = 2 4 · (1 + cos(t)) · cos(t) 4 · (1 + cos(t) · sin(t) 3 , t * [0; 2 π]. 1) Stelle im gleichen Koordinatensystem die Kurve h: X = 2 2 · (1 + cos(t)) · cos(t) 2 · (1 + cos(t) · sin(t) 3 , t * [0; 2 π], dar. b) 1) Gib an, inwieweit sich eine Herzkurve verändert, wenn das Intervall des Parameters von [0; 2 π] auf [0; 4 π] bzw. [0; 12 π] verändert wird, und begründe das Ergebnis. c) 1) Gib an, in wieweit sich die Form der Herzkurve ändert, wenn man den Parameter a verdoppelt. d) Die Herzkurve ähnelt in gewissen Bereichen einem Kreis. 1) Erstelle einen Kreis, welcher einen Großteil der Herzkurve bedeckt. Gib die dazugehörige Kreisgleichung in Parameterform an. 154 Zwei Kreise Gegeben ist ein Koordinatensystem, in dem zwei Kreise k1 und k2 dargestellt sind. a) 1) Gib das Verhältnis der beiden Kreisradien zueinander an. b) 1) Bestimme die Parameterdarstellung des Kreises k1. c) Das Parameterintervall beim Kreis k1 wird verändert. 1) Begründe, dass sich die Form des Kreises k1 nicht ändert, wenn man das Parameterintervall t * [0; 2 π] auf t * [0; 8 π] verändert. d) 1) Gib eine Parameterdarstellung eines Kreises an, der denselben Mittelpunkt wie der Kreis k2 besitzt, den Kreis k1 aber berührt. KM2 x h y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 M2 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 0 k2 k1 M1 M2 48 Parameterdarstellung von Kurven 6 Parameterdarstellung von Kurven > Weg zur Matura > Tei®-2-ähnliche Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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