Teil-2-ähnliche Aufgaben 143 Verschiedene Kegelschnitte DIe Abbildung zeigt die Graphen zweier Kegelschnitte. a) 1) Gib die Hyperbelgleichung an. b) 1) Gib den Brennpunkt und die Gleichung der Leitgeraden der Parabel an. c) 1) Konstruiere eine Ellipse mit den Brennpunkten F1 = (‒ 2 1 0) und F2 = (2 1 0) und der Hilfsgeraden 2 a = 4 in die Abbildung. d) Gegeben sind die Hyperbel hyp: ‒ 3 x2 + y2 = ‒ 3 und die Parabel par: x2 + 2 y = 5. 1) Bestimme den Schnittwinkel zwischen diesen Kegelschnitten. 144 Die Ellipse – ein „Ei“ mit besonderen Eigenschaften Lässt man eine Ellipse in 1. Hauptlage um die x-Achse rotieren, so entsteht ein Ellipsoid. Dieses ähnelt einem Ei. a) Krümmungskreise sind Kreise, die sich bestmöglich an die Ellipsenscheitel anschmiegen. In nebenstehender Abbildung sieht man, wie man den Mittelpunkt M des Krümmungskreises für einen Nebenscheitel der Ellipse ell: 4 x2 + 9 y2 = 36 konstruiert. 1) Berechne die Kreisgleichung dieses Krümmungskreises. 2) Berechne, um wieviel Prozent der positive y-Wert des Kreises an der Stelle 1 vom positiven y-Wert der Ellipse an der Stelle 1 abweicht. b) Die Strecke von einem Punkt X der Ellipse zu einem Brennpunkt heißt Brennstrahl. 1) Zeige, dass der Winkel, den die beiden Brennstrahlen zu einem Ellipsenpunkt X einschließen, durch die Normale n auf die Tangente der Ellipse in diesem Punkt halbiert wird. 2) Erkläre, warum Schallwellen, die von einem Brennpunkt zu einem bestimmten Zeitpunkt mit derselben Geschwindigkeit ausgehen und an der Ellipseninnenseite reflektiert werden, alle zum gleichen Zeitpunkt im anderen Brennpunkt auftreffen. KM2 x y 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 –2 –1 0 par hyp C F2 F1 M2 x y h Krümmungskreis M ell 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 0 α – 2 α – 2 x y Normale auf Ellipse e®®: 1 x2 + 2 y2 = 8 X F1 F2 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 0 44 Kegelschnitte 5 Kegelschnitte > Weg zur Matura > Tei®-2-ähnliche Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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