4.4 Tangente an einen Kreis 104 Gegeben sind der Kreis k [(‒ 5 1 3), 9 __ 45] und die Gerade g: x – 0,5 y = ‒ 3,5. a) Zeige, dass g eine Sekante zu k ist, und ermittle die beiden Schnittpunkte S1 und S2. S1 = S2 = b) Lege zwei – zur Geraden g parallele – Tangenten an den Kreis und berechne die Tangentengleichungen, sowie die Berührpunkte. t1: T1 = t2: T2 = c) L ege zwei – zur Geraden g normale – Tangenten an den Kreis und berechne die Tangentengleichungen, sowie die Berührpunkte. t3: T3 = t4: T4 = 105 Die Kreislinie k besitzt den Mittelpunkt M = (4 1 ‒1) und den Radius r = 9 _ 5. Der Punkt T liegt auf k. 1) Stelle die Gleichung der Tangente im Punkt T = (5 1 1) mit Hilfe der Spaltform auf. 2) Berechne den Ausdruck (T – M) (X – T) = 0. Für X setze den Punkt X = (x 1 y) ein. V ereinfache das Ergebnis soweit wie möglich und vergleiche das Ergebnis mit der Tangentengleichung. Welchen Zusammenhang kannst du erkennen? 3) Begründe, dass dieser Zusammenhang ganz allgemein gilt. Schnittwinkel 106 Gegeben sind der Kreis k, die Sekante a und der Punkt T. a) Gib die Kreisgleichung und die Geradengleichung, sowie die Koordinaten des Punktes T an. T = ( 1 ) k: a: b) Lege an den Kreis k eine Tangente durch den Punkt T. Ermittle den Schnittwinkel zwischen dem Kreis und der Sekante rechnerisch und graphisch. φ = 107 Gegeben sind der Kreis k: (x – 2)2 + (y – 1)2 = 4 und die Gerade g: y = 0,5 x. a) Bestimme den Schnittwinkel zwischen k und g. α = b) Gib an, wie sich der Schnittwinkel verändert, wenn sich die Steigung der Geraden verdoppelt. x y 1 2 3 4 5 6 7 8 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 M T k a 34 Kreis und Kugel 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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