3.6 Extremwertaufgaben 77 Die Summe zweier natürlicher Zahlen a und b ist 12. Für welche Zahlen a und b wird das Produkt von a2 und b2 am größten? 1) Vervollständige die Wertetabelle und markiere die Werte für a und b, für die a2 · b2 maximal wird. a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 b a2 · b2 2) Ergänze den Text und löse die Aufgabe anschließend: Die Hauptbedingung dieser Aufgabe ist die Funktion p(a, b) = . Da die Funktion p von Variablen abhängt, muss aus dem Zusammenhang a + b = 12 (der so genannten ) eine Variable durch die andere ausgedrückt (z. B. b = ) und in p eingesetzt werden: p(a) = . Durch Nullsetzen der Ableitungsfunktion von p bestimmt man die möglichen lokalen von p und überprüft anhand des Graphen von p bzw. mit der Ableitungsfunktion von p, ob es sich bei den Stellen um Minimum- oder Maximumstellen handelt. 78 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 0,5 x2 – 4 x + 7,5. Der Punkt P = (x 1 y) mit x * [0; 3] liegt auf dem Graphen von f und bestimmt mit den beiden Achsen und den Parallelen dazu ein Rechteck. Bestimme x so, dass die Fläche des Rechtecks maximal wird. 1) Hauptbedingung: A(x, y) = 2) N ebenbedingung: (Hinweis: x und y entsprechen den Punktkoordinaten) 3) Zielfunktion: A(x) = 4) Berechnung der Extremstellen von A: x = 5) Nachweis des gesuchten Extremums mit A’’: x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 0 f P(x 1 y) x y 26 Untersuchung von Polynomfunktionen 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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