39 Vervollständige den Satz so, dass er mathematisch korrekt ist. Die erste Ableitung von (1) ist (2) . (1) (2) f(x) = 2 x4 – x3 + x2 – 3 x + 5 f’(x) = 15x2 + 4 x – x f(x) = 3 x5 – 4 x2 + 3 x + 17 f’(x) = 15x4 – 8 x + 17 f(x) = 5 x3 + 2 x2 – 8 x + 9 f’(x) = 8x3 – 3 x2 + 2 x – 3 40 Ermittle die Gleichung der Tangente der Funktion f an der Stelle p. f(x) = 5 x2 – 3 p = ‒ 6 41 Berechne jene Punkte des Graphen von f, in denen die Steigung der Tangente p ist. a) f(x) = 5 x2 – 8 x; p = 12 b) f(x) = 5 x3 + 10 x2 + 20 x – 19; p = 20 Anwendungsaufgaben 42 Auf vielen Jahrmärkten wird „Hau den Lukas!“ gespielt. Dabei schlägt der Spieler mit einem Hammer auf einen gefederten Puppenkopf. Durch die Heftigkeit des Schlags wird ein Metallkörper in einem Rohr nach oben geschossen. Sollte der Körper in dem Rohr ganz oben ankommen, so löst er ein Signal aus. Für die Höhe h des Körpers (in Meter) bei einem bestimmten Spieler in Abhängigkeit von der Zeit t (in Sekunden) gilt: h(t) = 7t – 5 t2. a) Bestimme die Geschwindigkeit, mit der der Körper nach oben geschossen wurde. b) Bestimme den Differentialquotienten von h nach einer Sekunde und interpretiere das Ergebnis im Kontext. c) Das Rohr ist 2,5 Meter hoch. Gib an, ob der Spieler das Signal auslöst. Leibniz’sche Schreibweise 43 Bestimme für die gegebene Funktion den Ausdruck d f _ d a + d f _ d b – d f _ d c . f(a, b, c) = 3a2 b – 3b2 c + 3 a c2 Höhere Ableitungen 44 Leite die gegebene Funktion dreimal ab. a) f(x) = 1 _ 3 · (10 x 5 – 3 x3 + 4 x2 + 12 x – 31) b) g(x) = 1 _ 17 · (7 x 6 – 51 x4 + 13 x2 – 6 x + 1,735) f’(x) = g’(x) = f’’(x) = g’’(x) = f’’’(x) = g’’’(x) = M1 AN-R 2.1 15 Grundlagen der Differentialrechnung > Einfache Ableitungsregeln Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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