33 Frau Müller hat für das Abendessen eine Suppe gekocht. Sie lässt die Suppe anschließend abkühlen. Die Temperatur T (in °C) der Suppe zum Zeitpunkt t (in Minuten) wird durch folgenden Zusammenhang modelliert: T(t) = 22 + 58 · e‒ 0,13 t a) Gib die mittlere Änderungsrate der Temperatur für die Intervalle [5; 11], [5; 9] und [5; 6] an und interpretiere die Ergebnisse im Kontext. [5; 11]: [5; 9]: [5; 6]: b) Ermittle T’(8) näherungsweise mit Hilfe von sehr kleinen Intervallen und interpretiere den Differentialquotienten im Kontext. Berechnen der momentanen Änderungsrate 34 Das Volumen einer quadratischen Pyramide ist abhängig von der Seitenlänge. In einer Rechnung wird die momentane Änderungsrate des Volumens einer Pyramide mit konstanter Höhe h = 3 cm für a = 5 cm ermittelt. Kontrolliere die Rechnung und gib an, ob diese korrekt ist. Finde etwaige Fehler. a) V(a) = 1 _ 3 · (G · h) = a2 · h _ 3 V’(5) = lim z ¥ 5 V(z) – V(5) __ z – 5 = lim z ¥ 5 z 2 · 3 _ 3 – 25 · 3 _ 3 __ z – 5 = lim z ¥ 5 z 2 – 25 _ z – 5 = lim z ¥ 5 (z – 5) = 0 Die Rechnung ist korrekt: ja nein Fehler: b) V(a) = 1 _ 3 · (G · h) = a2 · h _ 3 V’(5) = lim z ¥ 5 V(5) – V(z) __ 5 – z = lim z ¥ 5 75 _ 3 – z2 · 3 _ 3 __ 5 – z = lim z ¥ 5 25 – z 2 _ 5 – z = lim z ¥ 5 (z + 5) = 10 Die Rechnung ist korrekt: ja nein Fehler: 35 Berechne die gesuchten Werte. a) f(x) = x2 – 3 x + 4 f ’(2) b) f(x) = x3 – 3 f ’(‒ 3) 13 Grundlagen der Differentialrechnung > Der Differentialquotient Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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