Mathematik Oberstufe Lösungswege Freiler | Marsik | Olf | Wittberger Arbeitsheft 7
Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Arbeitsheft + E-Book Schulbuchnummer: 180206 Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Arbeitsheft E-Book Solo Schulbuchnummer: 207899 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Unterricht vom 31. August 2023, BMBWF-GZ: 2023-0.444.273, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch für die 7. Klasse an allgemein bildenden höheren Schulen - Oberstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Umschlagbild: olalalala / stock.adobe.com Technische Zeichnungen: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2024 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Brigitte Jug, Graz Herstellung: Raphael Hamann, Wien Umschlaggestaltung: Petra Michel, Gestaltung und Typografie, Amberg Layout: Petra Michel, Gestaltung und Typografie, Amberg Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne GmbH, Horn ISBN 978-3-209-11499-0 (Lösungswege OS AH 7 + E-Book) ISBN 978-3-209-13054-9 (Lösungswege OS AH 7 E-Book Solo) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
www.oebv.at Lösungswege 7 Arbeitsheft Philipp Freiler Julia Marsik Markus Olf Markus Wittberger Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2 Inhalt Gleichungen höheren Grades Gleichungen höheren Grades 4 1.1 Lösen durch Herausheben und durch Substitution 4 1.2 Polynomdivision 5 1.3 Nullstellen von Polynomfunktionen 6 Tei®-1-Aufgaben 7 Tei®-2-Aufgaben 8 Differentialrechnung Grundlagen der Differentialrechnung 9 2.1 Der Differenzenquotient 9 2.2 Der Differentialquotient 12 2.3 Einfache Ableitungsregeln 14 Tei®-1-Aufgaben 16 Tei®-2-Aufgaben 17 Untersuchung von Polynomfunktionen 18 3.1 Monotonie und Graph der ersten Ableitung – Extremwerte 18 3.2 Krümmung und Graph der zweiten Ableitung – Wendepunkte 21 3.3 Kurvendiskussion 23 3.4 Graphisches Differenzieren 24 3.5 Auffinden von Polynomfunktionen 25 3.6 Extremwertaufgaben 26 Tei®-1-Aufgaben 28 Tei®-2-Aufgaben 29 Nichtlineare analytische Geometrie Kreis und Kugel 30 4.1 Kreisgleichungen 30 4.2 Aufstellen von Kreisgleichungen 32 4.3 Lagebeziehungen von Kreis und Gerade 33 4.4 Tangente an einen Kreis 34 4.5 Lagebeziehungen zweier Kreise 35 4.6 Die Kugelgleichung 36 Tei®-2-ähnliche Aufgaben 37 Kegelschnitte 38 5.1 Die Ellipse 38 5.2 Die Hyperbel 39 5.3 Die Parabel 40 5.4 Lagebeziehungen zwischen Kegelschnitten und Geraden 42 5.5 Tangenten an Kegelschnitte 43 Tei®-2-ähnliche Aufgaben 44 Parameterdarstellung von Kurven 45 6.1 Kurven in der Ebene 45 6.2 Kurven im Raum 47 Tei®-2-ähnliche Aufgaben 48 Funktionen Erweiterung der Differentialrechnung 49 7.1 Weitere Ableitungsregeln 49 7.2 Ableitung weiterer Funktionen 51 7.3 Weitere Kurvendiskussionen 52 7.4 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 53 Tei®-1-Aufgaben 54 Tei®-2-Aufgaben 55 Anwendung der Differentialrechnung 56 8.1 Anwendungen aus der Wirtschaft 56 8.2 Anwendungen aus Naturwissenschaft und Medizin 58 8.3 Extremwertaufgaben 59 8.4 Innermathematische Anwendung 59 Tei®-1-Aufgaben 60 Tei®-2-Aufgaben 61 Stochastik Diskrete Zufallsvariablen 62 9.1 Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsverteilung 62 9.2 Verteilungsfunktion 64 9.3 Erwartungswert und Standardabweichung 65 Tei®-1-Aufgaben 67 Tei®-2-Aufgaben 68 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 Binominalverteilung und weitere Verteilungen 69 10.1 Binominalkoeffizient – Kombinatorik 69 10.2 Binominalverteilung 70 10.3 Erwartungswert und Varianz einer binominalverteilten Zufallsvariablen 72 10.4 Hypergeometrische Verteilung 73 10.5 Geometrische Verteilung 74 Tei®-1-Aufgaben 75 Tei®-2-Aufgaben 76 Komplexe Zahlen Komplexe Zahlen 77 11.1 Die imaginäre Einheit 77 11.2 Rechnen mit komplexen Zahlen in kartesischer Darstellung 78 11.3 Lösen von Gleichungen 79 11.4 Fundamentalsatz der Algebra 79 11.5 Polardarstellung von komplexen Zahlen 80 11.6 Rechnen mit komplexen Zahlen in Polardarstellung 81 Tei®-1-Aufgaben 82 Tei®-2-Aufgaben 83 Anhang Lösungen 84 Bildnachweis 95 10 11 Zum Arbeitsheft Dieses Arbeitsheft ergänzt das Schulbuch Lösungswege 6. Es bietet vielfältige Aufgaben, die zwei Ziele bedienen: • das vertiefte Festigen von Grundkompetenzen • das gezielte Einüben von Matura-Aufgabenformaten Aufgabe mit einfachem Komplexitätsgrad Aufgabe mit mittlerem Komplexitätsgrad Aufgabe mit hohem Komplexitätsgrad Teil-1-(ähnliche) Aufgaben als Vorbereitung auf die schriftliche Reifeprüfung Aufgaben, die in der QuickMedia App durchgerechnet sind Teil-2-(ähnliche) Aufgaben als Vorbereitung auf die schriftliche Reifeprüfung kontextreduzierte Tei®-2-Aufgaben > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 » > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 4 » M1 > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 4 6 » M1 > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 4 6 5 » M1 > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 4 6 5 7 6 » M1 M2K M2 > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 4 6 5 7 6 » M1 M2K M2 > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 4 6 5 7 6 » M1 M2K M2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.1 Lösen durch Herausheben und durch Substitution Herausheben (Faktorisieren) 1 Ordne jeder Gleichung die passende Lösungsmenge zu. 1 x3 + 5 x2 – 24 x = 0 A L = {‒ 8; 0; 1} 2 x3 – 3 x2 = 0 B L = {‒ 1,2; 0; 3,4} 3 x3 – 9 x = 0 C L = {‒ 3; 0; 3} 4 (x2 – x) (x + 8) = 0 D L = {‒ 8; 0; 3} E L={‒1;0;2} F L = {0; 3} 2 Die folgenden Rechenvorgänge enthalten Fehler. Finde diese und gib die korrekte Lösungsmenge an. a) x3 – x2 – 56 x = 0 | x herausheben b) ‒ x3 + 6 x2 + 16 x = 0 | x herausheben x · (x2 – x – 56) = 0 x · (– x2 + 6 x + 16) = 0 ¥ x 1 = 0 x2 – x – 56 = 0 | kl. Lösungsformel – x2 + 6 x + 16 = 0 | p = 6, q = 16 in x1 = ‒ 7; x2 = 8 anwenden kl. Lösungsformel anwenden keine reelle Lösung L = {‒7; 8} L = { } Fehler: Fehler: 3 Ergänze den Text so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht. Die Gleichung (1) besitzt in der Menge der reellen Zahlen ℝ (2) . (1) (2) x3 – 3 x2 = 0 keine reelle Lösung x4 – 16 = 0 genau vier verschiedene reelle Lösungen (x2 + 1,44) (x2 + 9) = 0 genau drei verschiedene reelle Lösungen 4 Löse die Gleichung durch Faktorisieren mit der binomischen Formel in R. Markiere die Buchstaben über den Lösungen. Du erhältst ein Lösungswort. a) x2 – 36 = 0 c) x2 – 121 = 0 e) x4 – 1 _ 81 = 0 b) x2 – 6,25 = 0 d) x4 – 256 = 0 f) x4 – 1 _ 10 000 = 0 LÖSUNGSWORT: A B L A U P M T E N {‒ 2; 2} {‒ 4; 4} {‒ 0,1; 0,1} { 1 _ 6 ; 1 _ 6 } {‒ 2,5; 2,5} {‒ 10; 10} {‒ 11; 11} {‒ 8; 8} { ‒ 1 _ 3 ; ‒ 1 _ 3 } {‒ 6; 6} 1 Gleichungen höheren Grades 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Substitution 5 Ordne jeder biquadratischen Gleichung die passende Lösung in R zu. 1 x4 – 5 x2 + 4 = 0 A L = {± 4} 2 x4 – 15 x2 – 16 = 0 B L = {± 2; ± 5} 3 x4 + 3 x2 + 2 = 0 C L = {±1; ±2} 4 x4 – 29 x2 + 100 = 0 D L = { } E L = {±15} F L = {± 2; 5} 6 Gegeben ist eine normierte biquadratische Gleichung. Setze statt x2 die Variable u (Substitution) ein und ergänze die Lücken. a) x4 – 13 x2 + 36 = 0 u 1 = u2 = 4 x1, 2 = ± 3 x3, 4 = b) x4 – + = 0 u 1 = 25 u2 = 20,25 x1, 2 = x3, 4 = c) x4 – + = 0 u 1 = u2 = x1, 2 = ± 0,5 x3, 4 = ± 0,3 d) x4 – 10 x 2 _ 81 + 1 _ 729 = 0 u1 = u2 = x1, 2 = x3, 4 = 1.2 Polynomdivision 7 Finde die Lösungen der Gleichung. Stelle den Term als ein Produkt von Linearfaktoren dar. a) x3 – 3 x2 – 9 x + 27 = 0; x 1 = 3 b) x3 – 19 x + 30 = 0; x 1 = ‒ 5 8 Kreuze die drei richtigen Aussagen an. a) x3 + 4 x2 – 19 x + 14 = (x2 + 5 x – 14) · (x – 1) d) x3 – 9 x2 – 9 x + 81 = (x – 9) · (x2 – 9) b) x3 – 8 x2 + x + 42 = (x + 2) · (x2 + 10 x + 21) e) x3 – 17 x2 + 39x + 297= (x –11)·(x2 –6x–27) c) x3 – 125 = (x + 5) · (x2 + 5 x + 25) f) x3 – 13 x2 + 26 x + 40 = (x + 1) · (x2 + 6 x – 40) 9 Vervollständige den Satz so, dass er mathematisch korrekt ist. Bei der Division des Terms (1) durch den Term (2) ist der Rest 0. (1) (2) x3 + x2 – 20 x x + 4 x3 + x2 + 20 x x + 5 x3 – x2 + 20 x x + 3 M1 FA-R 4.4 M1 FA-R 4.4 5 Gleichungen höheren Grades > Polynomdivision Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.3 Nullstellen von Polynomfunktionen 10 Gib an, ob die Aussage zutreffend ist, und begründe deine Entscheidung. a) Eine Polynomfunktion dritten Grades mit reellen Koeffizienten hat mindestens eine reelle Nullstelle. b) Eine Polynomfunktion 12. Grades mit reellen Koeffizienten hat mindestens eine reelle Nullstelle. 11 Ordne jeder Funktion die entsprechende Eigenschaft zu. 1 f(x) = (x + 4) · (x – 2)3 A genau eine reelle Nullstelle 2 f(x) = (x + 2)4 B reelle Nullstellen bei ‒ 4, 2, 4 3 f(x) = (x2 – 16) · (x – 2) C genau zwei verschiedene reelle Nullstellen 4 f(x) = (x – 2) · (x + 2) · (x + 4) D vier verschiedene Nullstellen E reelle Nullstellen bei ‒ 2, 2, ‒ 4 F keine Schnittpunkte mit der x-Achse 12 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion dritten Grades. Gib eine passende Funktionsgleichung an. Funktionsgleichung: 13 Gegeben ist der Graph einer Funktion vierten Grades. Markiere die Nullstellen der Funktion und gib einen möglichen Funktionsterm an. a) b) c) d) 14 Kreuze an, welche Aussagen die Nullstelle(n) einer Funktion beschreiben. Die Quadratwurzel aus der Anzahl der Kreuze ist die kleinste Primzahl. Eine Nullstelle ist … A … die Schnittstelle des Graphen der Funktion mit der y-Achse. F … der Wert a * ℝ mit f(a) = 0. B … die Stelle x, bei der f(x) = 0 ist. G … die Schnittstelle des Graphen der Funktion mit der waagrechten Achse. C … der Funktionswert an der Stelle x = 0. H … die Stelle, an der der Funktionswert null ist. D … der Nullpunkt. I … die Stelle x = a mit a * ℝ, für die gilt: f(a) ≠ 0. E … der Wert a * ℝ mit f(0) = a. J … die Schnittstelle des Graphen der Funktion mit der senkrechten Achse. M1 FA-R 4.4 x f(x) 1 2 –4 –3 –2 –1 1 2 –2 –1 0 f x f(x) 2 4 –4 –2 4 8 –12 –8 –4 0 f x g(x) 2 4 –6 –4 –2 8 – 8 – 16 – 24 16 – 32 0 g x h(x) 1 2 –2 –1 1 2 3 4 5 0 h x i(x) 1 2 –2 –1 1 2 3 4 5 0 i 6 1 Gleichungen höheren Grades Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Teil-1-Aufgaben Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: FA-R 4.4 Den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen wissen 15 Ordne jeder Funktionsgleichung die passende Eigenschaft zu. 1 f(x) = x4 + 18 x2 + 81 A genau eine reelle Nullstelle 2 f(x) = (x + 3)2 · (x – 6)2 B keine reellen Nullstellen 3 f(x) = (x + 6) · (x + 3)2 · (x – 2) C genau zwei verschiedene reelle Nullstellen 4 f(x) = (x – 18)6 D Nullstellen bei ‒ 6, ‒ 3, 2 E Nullstellen bei ‒ 2, 6, 3 F schneidet die x-Achse bei x = ‒18 16 Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion f vierten Grades. Drei Punkte sind markiert. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. 17 Gegeben ist die Polynomfunktion f mit f(x) = (x2 – 9) (x – 9)2. Vervollständige den folgenden Satz so, dass er mathematisch korrekt ist. Bei der Funktion f handelt es sich um eine Polynomfunktion (1) mit (2) . (1) (2) zweiten Grades zwei Doppelnullstellen dritten Grades drei unterschiedliche Nullstellen vierten Grades einer einfachen Nullstelle und einer Doppelnullstelle 18 Vervollständige den Satz so, dass er mathematisch korrekt ist. Bei der Division des Terms (1) durch den Term (2) bleibt der Rest 0. (1) (2) x3 + 6 x2 – 36 x – 216 x + 36 x3 + 36 x2 – 36 x – 216 6 x x3 + 6 x2 – 36 x – 6 x – 6 M1 FA-R 4.4 M1 FA-R 4.4 A x1 ist eine einfache Nullstelle. B x2 ist eine einfache Nullstelle. C x3 ist eine Doppelnullstelle. D x1 ist eine Doppelnullstelle. E x2 ist eine Doppelnullstelle. x f(x) 1 2 3 4 –2 –1 1 2 –4 –3 –2 –1 0 –4 –3 3 f x1 x2 x3 M1 FA-R 4.4 M1 FA-R 4.4 7 Gleichungen höheren Grades > Weg zur Matura > Tei®-1-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
AG-R 2.3 AG-R 2.3 FA-R 4.4 FA-R 4.4 AG-R 2.3 AG-R 2.3 AG-R 2.3 AG-R 2.3 Teil-2-Aufgaben 19 Quadratische Gleichungen Die Terme von drei quadratischen Gleichungen werden miteinander multipliziert. Sie haben folgende Eigenschaften: – Eine Gleichung hat die Diskriminante D = 0. – Eine Gleichung hat eine positive Diskriminante. – Eine Gleichung hat eine negative Diskriminante. a) Gegeben sind Aussagen über die Lösungen der so entstandenen Gleichung. 1) Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Die Gleichung besitzt höchstens eine reelle Lösung. B Die Gleichung besitzt, wenn man auch mehrfach auftretende Lösungen entsprechend ihrer Vielfachheit mitzählt, drei reelle Lösungen. C Die Gleichung besitzt drei nicht reelle Lösungen. D Die Gleichung besitzt mindestens eine doppelte oder eine mehrfache Lösung. E Die Gleichung besitzt, wenn man die Lösungen in ihrer Vielfachheit zählt, vier reelle Lösungen. b) Gegeben ist die Gleichung vierten Grades x4 – (9 a2 + 1) x2 + 9 a2 = 0 mit a * ℝ 0 + . 1) Bestimme die Lösungen der Gleichung in Abhängigkeit von a mithilfe einer geeigneten Substitution. c) Gegeben ist der Graph einer normierten Polynomfunktion vierten Grades. 1) Gib die Nullstellen an. d) Ein Schüler behauptet, dass der Graph in der Abbildung eine Funktion dritten Grades beschreibt. 1) Gib an, ob er Recht hat und begründe deine Meinung. 20 Symmetrische Gleichung Eine Gleichung dritten Grades heißt symmetrisch, wenn die Folge der Koeffizienten (vom Vorzeichen abgesehen) von links und rechts gesehen dieselbe ist, z.B. 3 x3 – 2 x2 + 2 x – 3 = 0. Da der Grad der Gleichung ungerade ist, ist stets 1 oder ‒ 1 eine Lösung der Gleichung. Außerdem gilt: Ist m eine Lösung der Gleichung, so ist auch der Kehrwert 1 _ m eine Lösung. a) Gegeben ist die symmetrische Gleichung x3 – 3,5 x2 + 3,5 x – 1 = 0 mit G = ℝ. 1) Zeige, dass die in der Angabe beschriebenen Eigenschaften für symmetrische Gleichungen gelten. b) 1) Kreuze die beiden symmetrischen Gleichungen an. A ‒ 7 x3 – x2 + x – 7 = 0 B 7 x3 + 1 = 0 C 7 x3 + x2 + x + 7 = 0 D ‒ 7 x3 – x2 +7x+7=0 E x3 – 1 = 0 c) Gegeben ist eine symmetrische Gleichung vierten Grades a x4 + b x3 + c x2 + b x + a = 0. 1) Begründe, dass die Division durch x2 bei einer derartigen Gleichung eine zulässige Äquivalenz- umformung ist. 2) Z eige, dass sich die Gleichung a x2 + b x + c + b _ x + a _ x2 = 0 mittels der Substitution t = x + 1 _ x in eine quadratische Gleichung mit der Variablen t überführen lässt. M2K x f(x) 1 2 3 4 5 6 –2 –1 20 40 –100 –80 –60 –40 –20 0 f M2 8 Gleichungen höheren Grades 1 Gleichungen höheren Grades > Weg zur Matura > Tei®-2-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2.1 Der Differenzenquotient 21 In einer Firma werden die monatlichen Umsätze verglichen. Der Umsatz der Firma im Monat m wird als U(m) bezeichnet. Interpretiere den Ausdruck im gegebenen Kontext. a) U(m) – U(n) > 0 b) U(m) – U(n) __ U(n) · 100 Der Differenzenquotient – die mittlere Änderungsrate 22 Ordne jeder Funktion die entsprechende mittlere Änderungsrate im gegebenen Intervall zu. 1 f(x) = ‒ 3 x2 + 9 x; [‒ 3; 5] A 126 2 f(x) = 5 x – 13; [0; 2] B 5 3 f(x) = 14 x2 – 5; [4; 5] C 0 4 f(x) = ‒ 8 x2 ‒ 16; [‒ 6; 6] D ‒ 10,5 E 51 F 3 23 Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion f. Bestimme die absolute Änderung, die relative Änderung und die mittlere Änderungsrate von f im Intervall [1; 7]. Die Summe deiner Ergebnisse sollte ‒ 5 _ 3 sein. absolute Änderung: relative Änderung: mittlere Änderungsrate: M1 AN-R 1.1 M1 AN-R 1.3 x f(x) 2 4 6 8 10 –4 –2 2 4 –2 0 f 2 Grundlagen der Differentialrechnung 9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
24 Im Jahr 2020 zahlte man in einem bestimmten Land durchschnittlich B(2020) € für einen Liter Benzin. Im Jahr 2024 waren es B(2024) €. Die mittlere Änderungsrate von B in den vier Jahren ist ‒ 0,07. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Der durchschnittliche Benzinpreis war 2024 niedriger als 2020. B Der durchschnittliche Benzinpreis ist im Mittel von 2020 bis 2024 um 0,07 Euro pro Jahr höher geworden. C Es gilt: B(2024) – B(2020) = ‒ 0,28 D Es gilt: B(2024) > B(2020) E Die absolute Preisänderung von 2020 auf 2024 beträgt 28. 25 Bei einem Atomversuch wurde das krebserregende radioaktive Kobalt 60 freigesetzt. Die Menge an Kobalt N(t) in Gramm zum Zeitpunkt t (in Jahren) kann mittels N(t) = N0 · 0,877 t berechnet werden. a) Berechne die mittlere Änderungsrate von N für die folgenden Intervalle (t in Jahren) und erkläre anhand des Graphen einer Exponentialfunktion, warum diese betragsmäßig immer kleiner werden. 1) [0; 2]: 2) [2; 4]: 3) [4; 6]: 4) [6; 8]: 5) [8; 10]: b) Eine Schülerin stellt folgende Behauptung auf: „Die Berechnung der relativen Änderung von N in den gegebenen Intervallen aus Aufgabe a) ist relativ einfach. Ich berechne einfach die relative Änderung von N in einem der Intervalle und alle anderen Ergebnisse müssen übereinstimmen.“ Überprüfe, ob die Aussage für die Intervalle aus a) zutreffend ist und begründe diesen Zusammenhang allgemein. Beachte, dass die gegebenen Intervalle dieselbe Breite besitzen. Der Differenzenquotient – die mittlere Geschwindigkeit 26 Eine Section Control ist eine Abschnittskontrolle, die verwendet wird, um Geschwindigkeitsübertretungen messen zu können. Dabei wird an einer r km langen Strecke gemessen, wie lang das Auto für diese Strecke benötigt. Anschließend kann die Durchschnittsgeschwindigkeit des Autos angegeben werden. Ein Auto fährt um 15:08 durch den ersten Kontrollpunkt und erreicht den zweiten Kontrollpunkt nach 4 km um 15:10. Berechne die mittlere Geschwindigkeit des Fahrzeugs auf dieser Strecke in km/h. M1 AN-R 1.3 M1 AN-R 1.3 10 2 Grundlagen der Differentialrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
27 Herr Sakrim und seine Hündin Lucy nehmen an einem Hunde-Wettbewerb teil. Lucy schafft die ersten elf Hindernisse in 28 Sekunden (zurückgelegte Strecke: 150 m), die restlichen 11 Hindernisse auf 330 m in 39 Sekunden. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Die mittlere Geschwindigkeit der Hündin lag im ersten Teil bei 4,36 m/s. B Im zweiten Teil lief die Hündin im Mittel ca. 8,46 m/s. C Lucy lief die 330 m im zweiten Teil mit einer mittleren Geschwindigkeit von 4,93 m/s. D Die mittlere Geschwindigkeit der Hündin lag im ersten Teil bei ca. 7,16 m/s. E Lucy lief den gesamten Parcours mit einer mittleren Geschwindigkeit von 7,48 m/s. Der Differenzenquotient – die Steigung der Sekante 28 Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion f. Kreuze jene Intervalle [a; b] an, auf die die Aussagen in der Tabelle zutreffen. Die Buchstaben in den markierten Kästchen ergeben von rechts unten beginnend zeilenweise gelesen ein Lösungswort. Lösungswort: Im gegebenen Intervall [a; b] gilt: [‒ 2; 1] [1; 5] [5; 7] [7; 9] [‒ 2; 7] [1; 9] Der Differenzenquotient von f ist positiv. E T N E H C Der Differenzenquotient von f ist null. U R U I I I f(b) > f(a) O T K N E D f ist streng monoton steigend. C R A N M R Die Änderung der Funktionswerte ist 1. A M U L O F Die Funktion wächst im Mittel um 1 _ 4 . T R A A I K Die Steigung der Sekante von f ist negativ. B O P G A L Die Funktionsgleichung der Sekante lautet s(x) = 2 x – 12. A V H K U R Die Funktionsgleichung der Sekante lautet s(x) = 1. C H M S R U Der Differenzenquotient von f ist 0,5. P R A S S S x f(x) 1234567891011 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 –3 –2 –1 0 f 11 Grundlagen der Differentialrechnung > Der Differenzenquotient Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
29 a) Gib eine Funktion f mit f(x) = a · x2 an, sodass der Differenzenquotient von f in [‒ 2; 4] 10 ist. b) Begründe geometrisch und durch Rechnung, dass der Differenzenquotient einer Funktion f mit f(x) = a · x2 in [‒ r; r] (r * ℝ+) immer 0 sein muss. 30 Der Differenzenquotient einer Polynomfunktion f dritten Grades in [a; b] ist r (a, b, r * ℝ, r > 0, a < b). Kreuze die beiden sicher zutreffenden Aussagen an. A f ist in [a; b] streng monoton steigend. B f ist in [a; b] nicht streng monoton fallend. C f(b) < f(a) D f(b) – f(a) = r · (b – a) E f(a) = r · f(b) 2.2 Der Differentialquotient Die momentane Änderungsrate 31 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x2 – 4 x + 3. Berechne die gegebenen Ausdrücke näherungsweise. Streiche die erhaltenen Werte aus der Tabelle. Die Summe der übrig gebliebenen Werte ergibt 9. 1) f’(2) = 3) lim z ¥ 1 f(z) – f(1) __ z – 1 = 5) f’(‒ 2) = 2) f’(3) = 4) lim z ¥ 5 f(z) – f(5) __ z – 5 = 6) lim u ¥ 0 f(6 + u) – f(6) __ u = 0 ‒ 2 1 ‒ 8 0 9 8 2 ‒ 1 6 32 Ein Körper bewegt sich gemäß der Zeit-Ort-Funktion s (in Meter) in Abhängigkeit von der Zeit t (in Sekunden). Vervollständige den Satz so, dass er mathematisch korrekt ist. Der Ausdruck (1) beschreibt (2) . (1) (2) lim z ¥ 1 s(z) – s(1) __ z – 1 die momentane Geschwindigkeit des Körpers für t = 1 s(3) – s(1) __ 3 – 1 die mittlere Geschwindigkeit des Körpers in [2; 3] lim r ¥ 3 s(3) – s(r) __ 3 – 1 die momentane Geschwindigkeit des Körpers für t = 3 M1 AN-R 1.3 M1 AN-R 1.3 12 Grundlagen der Differentialrechnung 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
33 Frau Müller hat für das Abendessen eine Suppe gekocht. Sie lässt die Suppe anschließend abkühlen. Die Temperatur T (in °C) der Suppe zum Zeitpunkt t (in Minuten) wird durch folgenden Zusammenhang modelliert: T(t) = 22 + 58 · e‒ 0,13 t a) Gib die mittlere Änderungsrate der Temperatur für die Intervalle [5; 11], [5; 9] und [5; 6] an und interpretiere die Ergebnisse im Kontext. [5; 11]: [5; 9]: [5; 6]: b) Ermittle T’(8) näherungsweise mit Hilfe von sehr kleinen Intervallen und interpretiere den Differentialquotienten im Kontext. Berechnen der momentanen Änderungsrate 34 Das Volumen einer quadratischen Pyramide ist abhängig von der Seitenlänge. In einer Rechnung wird die momentane Änderungsrate des Volumens einer Pyramide mit konstanter Höhe h = 3 cm für a = 5 cm ermittelt. Kontrolliere die Rechnung und gib an, ob diese korrekt ist. Finde etwaige Fehler. a) V(a) = 1 _ 3 · (G · h) = a2 · h _ 3 V’(5) = lim z ¥ 5 V(z) – V(5) __ z – 5 = lim z ¥ 5 z 2 · 3 _ 3 – 25 · 3 _ 3 __ z – 5 = lim z ¥ 5 z 2 – 25 _ z – 5 = lim z ¥ 5 (z – 5) = 0 Die Rechnung ist korrekt: ja nein Fehler: b) V(a) = 1 _ 3 · (G · h) = a2 · h _ 3 V’(5) = lim z ¥ 5 V(5) – V(z) __ 5 – z = lim z ¥ 5 75 _ 3 – z2 · 3 _ 3 __ 5 – z = lim z ¥ 5 25 – z 2 _ 5 – z = lim z ¥ 5 (z + 5) = 10 Die Rechnung ist korrekt: ja nein Fehler: 35 Berechne die gesuchten Werte. a) f(x) = x2 – 3 x + 4 f ’(2) b) f(x) = x3 – 3 f ’(‒ 3) 13 Grundlagen der Differentialrechnung > Der Differentialquotient Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Geometrische Interpretation des Differentialquotienten – Steigung der Tangente 36 Gegeben ist der Graph einer Funktion f. Weiters sind einige Tangenten von f eingezeichnet. Bestimme die gesuchten Werte, die alle ganzzahlig ablesbar sind. Die Summe deiner Lösungen sollte bei a) 2 b) ‒ 3 ergeben. a) b) f ’(1) = f’(‒ 2) = f ’(1) = f ’(0) = f ’(0) = f ’(2) = 37 Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion f dritten Grades. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A f(x) < 0 für alle x * (‒ •; 2). B Der Differenzenquotient von f im Intervall [‒ 1; 0] ist 2. C Die momentane Änderungsrate von f an der Stelle 1 ist positiv. D Der Differentialquotient von f an der Stelle ‒ 2 ist positiv. E Der Differenzenquotient von f im Intervall [‒ 1; 0] ist ‒ 2. 2.3 Einfache Ableitungsregeln 38 Ordne jeder Funktion ihre erste Ableitung zu. a) b) 1 f(x) = x6 A f’(x) = 6x5 1 f(x) = x17 A f’(x) = 0 2 f(x) = 2 x3 B f’(x) = 6x2 2 f(x) = ‒ 8,5 x2 B f’(x) = 17x18 3 f(x) = 3 x2 C f’(x) = 6x 3 f(x) = 17 x C f’(x) = ‒17x3 4 f(x) = 1,5 x4 D f’(x) = 6x3 4 f(x) = ‒ 4,25 x4 D f’(x) = 17 E f’(x) = 6x6 E f’(x) = ‒17x F f’(x) = 6 F f’(x) = 17x16 x f(x) f 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 –3 –2 –1 0 x f(x) 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 1 2 3 –6 –4 –1 0 –3 –2 –6 –4 –5 f M1 AN-R 1.3 x f(x) 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 4 –3 –2 –1 0 f M1 AN-R 2.1 14 Grundlagen der Differentialrechnung 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
39 Vervollständige den Satz so, dass er mathematisch korrekt ist. Die erste Ableitung von (1) ist (2) . (1) (2) f(x) = 2 x4 – x3 + x2 – 3 x + 5 f’(x) = 15x2 + 4 x – x f(x) = 3 x5 – 4 x2 + 3 x + 17 f’(x) = 15x4 – 8 x + 17 f(x) = 5 x3 + 2 x2 – 8 x + 9 f’(x) = 8x3 – 3 x2 + 2 x – 3 40 Ermittle die Gleichung der Tangente der Funktion f an der Stelle p. f(x) = 5 x2 – 3 p = ‒ 6 41 Berechne jene Punkte des Graphen von f, in denen die Steigung der Tangente p ist. a) f(x) = 5 x2 – 8 x; p = 12 b) f(x) = 5 x3 + 10 x2 + 20 x – 19; p = 20 Anwendungsaufgaben 42 Auf vielen Jahrmärkten wird „Hau den Lukas!“ gespielt. Dabei schlägt der Spieler mit einem Hammer auf einen gefederten Puppenkopf. Durch die Heftigkeit des Schlags wird ein Metallkörper in einem Rohr nach oben geschossen. Sollte der Körper in dem Rohr ganz oben ankommen, so löst er ein Signal aus. Für die Höhe h des Körpers (in Meter) bei einem bestimmten Spieler in Abhängigkeit von der Zeit t (in Sekunden) gilt: h(t) = 7t – 5 t2. a) Bestimme die Geschwindigkeit, mit der der Körper nach oben geschossen wurde. b) Bestimme den Differentialquotienten von h nach einer Sekunde und interpretiere das Ergebnis im Kontext. c) Das Rohr ist 2,5 Meter hoch. Gib an, ob der Spieler das Signal auslöst. Leibniz’sche Schreibweise 43 Bestimme für die gegebene Funktion den Ausdruck d f _ d a + d f _ d b – d f _ d c . f(a, b, c) = 3a2 b – 3b2 c + 3 a c2 Höhere Ableitungen 44 Leite die gegebene Funktion dreimal ab. a) f(x) = 1 _ 3 · (10 x 5 – 3 x3 + 4 x2 + 12 x – 31) b) g(x) = 1 _ 17 · (7 x 6 – 51 x4 + 13 x2 – 6 x + 1,735) f’(x) = g’(x) = f’’(x) = g’’(x) = f’’’(x) = g’’’(x) = M1 AN-R 2.1 15 Grundlagen der Differentialrechnung > Einfache Ableitungsregeln Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Teil-1-Aufgaben Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: AN-R 1.1 Absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können AN-R 1.2 Den Zusammenhang Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differenzialquotient („momentane“ Änderungsrate) […] kennen und damit […] kontextbezogen anwenden können AN-R 1.3 Den Differenzen- und Differentialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- und Differentialquotienten beschreiben können AN-R 2.1 Einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln [k·f(x)]’ und [f(k·x)]’ AN-R 3.1 Den Begriff Ableitungsfunktion […] kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können 45 Gegeben ist die Funktion h mit h(x) = 2 x2 – 3. Berechne die mittlere Änderungsrate von h im Intervall [2; 4]. 46 Beim Stadtlauf in Bad Vöslau läuft auch ein bekannter Sportler mit. Die Zeit-Ort-Funktion s gibt beim Lauf seine Entfernung (in km) von der Startlinie nach t Minuten an. Der Differenzenquotient s(t2) – s(t1) __ t2 – t1 gibt die mittlere Geschwindigkeit des Sportlers im Zeitintervall [t1; t2] an. Kreuze die Satzteile so an, dass eine korrekte Aussage entsteht. Der Ausdruck lim t2 ¥ t1 s(t2) – s(t1) __ t2 – t1 gibt an, wie groß die (1) (2) ist. (1) (2) Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t1 durchschnittliche Beschleunigung zwischen den Zeitpunkten t1 und t2 Momentanbeschleunigung zum Zeitpunkt t2 47 Ein Löwe sieht eine Antilope. Daraufhin bewegt er sich gemäß der Zeit-Ort-Funktion s (s in Meter, t in Sekunden). Deute den Ausdruck s’’(t) = 5 (t < 10) im gegebenen Kontext. 48 Gegeben ist die Funktion mit f(x) = u x3 + 4 c x2 – b x + 10, a, b, u, c * R. Gib die erste und zweite Ableitung der Funktion an. f’(x) = f’’(x) = 49 Gegeben ist der Graph der Funktion f. Zeichne die Ableitungsfunktion f’ in das Koordinatensystem ein. M1 AN-R 1.1 M1 AN-R 1.2 M1 AN-R 1.3 M1 AN-R 2.1 M1 AN-R 3.1 x f(x), fq(x) 0,5 1 1,5 2 2,5 –2 –1,5 –1 –0,5 0,5 f 1,5 2 1 2,5 3 0 16 2 Grundlagen der Differentialrechnung > Weg zur Matura > Tei®-1-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
AN-R 3.1 AN-R 1.3 AN-R 3.1 AN-R 1.2 FA-R 1.3 FA-R 1.3 AN-R 1.2 AN-R 1.2 Teil-2-Aufgaben 50 Bremsvorgang beim Auto Ein Auto befindet sich in einem Bremsvorgang. Für seinen zurückgelegten Weg s mit s(t) = ‒ 0,25 t2 + 7t (s in Meter, t in den ersten 15 Sekunden) gilt: a) Für die erste Ableitung von s gilt s’(t) = ‒ 0,5 x + 7. 1) Interpretiere die Zahl ‒ 0,5 im gegebenen Kontext. b) 1) Berechne s’’(t). c) Für die Zeit-Ort-Funktion eines anderen Autos gilt: s’’(t) = ‒ 0,7 (s in Meter, t in Sekunden). 1) Interpretiere das Ergebnis im gegebenen Kontext. d) 1) Einem anderen Auto, das sich in einem Bremsvorgang befindet, entspricht die Zeit-Ort-Funktion s mit s(t) = a t2 + c. Begründe die Richtigkeit der folgenden Behauptung: „Wird ein Bremsvorgang durch eine quadratische Funktion f der Form f(x) = a x2 + c beschrieben, dann ist a immer negativ.“ 51 Bremsvorgang beim Zug Ein Zug beginnt zu bremsen. Der Bremsweg s (in Meter) in Abhängigkeit von der Zeit t (in Sekunden) lässt sich durch folgende Funktionsgleichung berechnen: s(t) = ‒ 1 _ 3 t 2 + 31 t a) 1) Bestimme die größtmögliche passende Definitionsmenge von s und begründe deine Entscheidung. b) 1) Berechne die Länge des größtmöglichen Bremswegs von s. c) 1) Bestimme den Differentialquotienten von s zum Zeitpunkt 0. 2) Interpretiere das Ergebnis von 1) im gegebenen Kontext. KM2 M2 17 Grundlagen der Differentialrechnung > Weg zur Matura > Tei®-2-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3.1 Monotonie und Graph der ersten Ableitung – Extremwerte 52 Gegeben ist der Graph der Funktion f: [‒ 4; 7] ¥ ℝ. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Die Funktion f hat vier Nullstellen. B f ist in [0; 3] streng monoton fallend. C ‒ 2 ist eine lokale Maximumstelle von f. D Die globale Maximumstelle von f ist auch eine lokale Maximumstelle. E Der Graph von f hat in [1, 4] eine lokale Maximumstelle. Notwendig und Hinreichend 53 Setze jeweils das Zeichen „ w“ oder „w“. a) A: „Die Zahl z ist eine reelle Zahl.“ B: „Die Zahl z ist eine rationale Zahl.“ A B B A b) A: „Die Funktion ist streng monoton steigend.“ B: „Die Funktion ist eine lineare Funktion mit positiver Steigung.“ A B B A Notwendige und hinreichende Bedingungen für Extremstellen 54 Gegeben ist der Graph der Funktion g mit g(x) = x3. Es gilt: g’(0) = 0. Erläutere, warum die Funktion keine lokale Extremstelle besitzt. M1 FA-R 1.5 x f(x) 2 4 6 8 –8 –6 –4 –2 2 4 6 –4 –2 0 f M1 AN-R 3.3 x g(x) 1 2 –2 –1 2 4 –4 –2 0 g 3 Untersuchung von Polynomfunktionen 18 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
55 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x2 – 4 x + 3. a) Berechne die Koordinaten des Extrempunkts E = (u 1 v) der Funktion f. Gib an, ob u eine Maximum- oder eine Minimumstelle von f ist. b) Erkläre allgemein, wie man bei einer quadratischen Funktion f mit f(x) = a x 2 + b x + c mit a ≠ 0 ohne Rechnung erkennen kann, ob die Extremstelle eine Maximum- oder Minimumstelle ist. c) Erkläre, warum die für Extremstellen notwendige Bedingung f’(x) = 0 bei quadratischen Funktionen auch eine hinreichende Bedingung ist. Monotonie von Funktionen 56 Entnimm aus der Tabelle die passenden Lösungen für die Lücken. Beachte, dass Lösungen mehrfach vorkommen können. f(x) = x3 + 3 x2 – 45 x + 10 f(x) = ‒ x4 + 8 x 3 – 18 x2 + 10 f’(x) = 0 mögliche (mit f’ berechnete) Extremstellen angeben Monotonie überprüfen streng monoton steigend in streng monoton fallend in 3 x2 + 6 x – 45 = 0 x = ‒ 5 x = 3 f’(‒ 7) > 0 [‒ 5; 3] (‒ •; 0] ‒ 4 x3 + 2 4 x 2 – 36 x = 0 x = ‒ 3 x = 1 f’(‒ 7) > 0 f’(1) < 0 f’(4) < 0 ‒ 4 x3 + 2 4 x 2 – 36 x + 10 = 0 x = 3 x = 0 f’(1) < 0 f’(4) > 0 [3; •) 3 x2 + 6 x – 45 + 10 = 0 x = 2 x = 5 f’(1) > 0 (‒ •; ‒ 5] [0; •) 19 Untersuchung von Polynomfunktionen > Monotonie und Graph der ersten Ableitung – Extremwerte Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Interpretation des Graphen der ersten Ableitung 57 Gegeben ist der Graph der ersten Ableitung einer Polynomfunktion h dritten Grades. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen für die Funktion h an. A h ist in (‒ •; 1] streng monoton fallend. B h ist in [4; 6] streng monoton steigend. C h besitzt genau eine Extremstelle. D h besitzt an der Stelle 3 eine lokale Maximumstelle. E h besitzt an der Stelle ‒1 eine lokale Maximumstelle. 58 Gegeben ist der Graph der Funktion f. Kreuze den passenden Graphen von f’ an. A B C x f’(x) 2 –2 2 –6 –4 –2 0 f’ x f’(x) 2 –2 2 4 6 –2 0 f’ x f’(x) 2 4 –2 2 –6 –4 –2 0 f’ D E F x f’(x) 2 4 –2 2 –6 –4 –2 0 f’ x f’(x) 2 4 4 8 12 16 0 f’ x f’(x) 2 4 2 4 6 8 0 f’ Berechnen von Randextrema 59 Berechne alle lokalen und globalen Extremstellen der Funktion f mit f(x) = 1 _ 4 (x 3 + 6 x2 – 16) im Intervall [‒ 6; 2] und skizziere den Graphen von f. lokale Maximumstelle(n): lokale Minimumstelle(n): globale Maximumstelle(n): globale Minimumstelle(n): M1 AN-R 3.2 x h’(x) 2 4 6 8 –8 –6 –4 –2 2 4 6 –2 0 h’ x f(x) 2 4 –2 2 –6 –4 –2 0 f M1 AN-R 3.2 x f(x) 2 4 –8 –6 –4 –2 2 4 6 –6 –4 –2 0 20 Untersuchung von Polynomfunktionen 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3.2 Krümmung und Graph der zweiten Ableitung – Wendepunkte Die Krümmung 60 Ordne die Funktionsgleichungen den Graphen zu und kreuze die Art der Krümmung an. Mögliche Funktionsgleichungen: f(x) = x2 – 4 x + 4 g(x) = x2 + 4 x + 4 h(x) = 2 x2 + 8 x i(x) = ‒ 2 x2 + 8 x j(x) = ‒ 2 x2 k(x) = ‒ x2 + 4 l(x) = x2 – 4 m(x) = x2 – 4 x + 8 Graph A B C D x y 2 4 2 4 0 x y 2 –2 2 4 –2 0 x y 2 –2 –4 –2 0 x y 2 4 4 8 0 Gleichung Krümmung links rechts links rechts links rechts links rechts 61 Eine Schülerin behauptet: „Die Funktion f ist im Intervall (‒ •; 5) links gekrümmt, im Intervall (7; •) rechts gekrümmt und im Intervall (5; 7) links gekrümmt. Gib an, ob die Aussage korrekt sein kann und begründe deine Meinung. 62 Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion f, die nur an der Stelle 4 ihr Krümmungsverhalten ändert. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A f ist in (‒ •; 4] negativ gekrümmt. B f’ ist streng monoton fallend für x * [‒ 3; 2]. C f’ ist streng monoton fallend für x * [4; •). D Es gilt f’’(x) > 0 für alle x. E f’’ ist negativ für x * (4; •). 63 Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion f, sowie verschiedene Aussagen. Kreuze die neun zutreffenden Aussagen an. f(‒ 5) < 0 f’(‒ 5) < 0 f’’(‒ 1) > 0 f’’(2) > 0 f’’(4) > 0 f(‒ 1) > 0 f’’(‒ 5) < 0 f(2) < 0 f(4) < 0 f’(‒ 3) > 0 f(‒ 2) < 0 f’(‒ 1) < 0 f’(2) < 0 f’(4) = 0 f’’(‒ 3) < 0 M1 AN-R 3.3 x f(x) 2 4 6 8 10 12 –4 –2 2 –6 –4 –2 0 f x f(x) 2 4 6 –6 –4 –2 20 40 –40 –20 0 f 21 Untersuchung von Polynomfunktionen > Krümmung und Graph der zweiten Ableitung – Wendepunkte Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
64 a) Gegeben ist die zweite Ableitung f’’(x) = ‒ 3 x + 6 einer Polynomfunktion f. Bestimme das Krümmungsverhalten von f. b) Gegeben ist die zweite Ableitung f’’(x) = k x + d (k < 0) einer Polynomfunktion f. Bestimme das Krümmungsverhalten von f in Abhängigkeit von k und d. Wendestelle und Wendetangente 65 Gegeben ist der Graph der zweiten Ableitung einer Polynomfunktion vierten Grades von f. Kreuze die beiden sicher zutreffenden Aussagen an. A f besitzt an den Stellen 3 und 6 Extremstellen. B f besitzt an der Stelle 6 eine Wendestelle. C f ist in (‒ •; 3] positiv gekrümmt. D f’ ist für x < 3 streng monoton fallend. E f besitzt an der Stelle 4,5 eine Extremstelle. 66 Ermittle die beiden Wendepunkte und die beiden Wendetangenten der Funktion f. f(x) = x4 + x3 – 45 x2 + 12 x – 16 W1 = t1 = W2 = t2 = 67 Gegeben ist eine Polynomfunktion f vierten Grades mit f(x) = a x 4 + b x3 + c x2 + d x + e. a) G ib eine Bedingung für die Koeffizienten der Polynomfunktion an, sodass f genau eine Wendestelle besitzt. b) Gib eine Bedingung für die Koeffizienten der Polynomfunktion an, sodass f keine Wendestellen besitzt. 68 Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion f. Wähle den Graphen der ersten und zweiten Ableitung von f aus und begründe deine Entscheidung. f’: Graph f’’: Graph Begründung: A B C D x f’’(x) 2 4 6 8 –2 2 4 6 –2 0 f’’ M1 AN-R 3.3 x f(x) 2 4 6 8 10 –2 2 4 –4 –2 0 f x a(x) 2 4 6 2 4 –4 –2 0 a x b(x) 2 4 6 2 4 –4 –2 0 b x c(x) 2 4 6 2 4 –4 –2 0 c x d(x) 2 4 6 2 4 –4 –2 0 d 22 Untersuchung von Polynomfunktionen 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3.3 Kurvendiskussion 69 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x3 – 3 x2 – x + 3. 1) Bestimme die Definitionsmenge. D = 2) Ermittle den Nullpunkt. N1 = ( 1 ) 3) Ermittle die Extremstellen und gib jeweils an, ob es sich um ein Maximum oder ein Minimum handelt. 4) Gib die Monotonieintervalle der Funktion an. streng monoton steigend in streng monoton fallend in 5) Berechne den Wendepunkt. W = ( 1 ) Ist der Wendepunkt auch ein Sattelpunkt? Ja Nein 6) Gib die Krümmungsintervalle der Funktion an. positiv gekrümmt in negativ gekrümmt in 7) Ermittle die Wendetangente. t(x) = 8) Ermittle, ob die Funktion f symmetrisch bezüglich der y-Achse ist . Ja Nein 9) Gib das Verhalten der Funktion für x ¥ • bzw. x ¥ ‒ • an. 10) Stelle die Funktion und die ersten zwei Ableitungen graphisch dar. x f(x), f’(x), f’’(x) 1 2 3 4 5 –3 –2 –1 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 0 23 Untersuchung von Polynomfunktionen > Kurvendiskussion Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3.4 Graphisches Differenzieren 70 Gegeben ist der Graph einer Funktion. Skizziere den Graphen der ersten Ableitung der Funktion. a) c) e) x f(x), f’(x) 2 4 6 8 10 –2 2 4 6 8 10 –2 0 f x f(x), f’(x) 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 6 –6 –4 –2 0 f x f(x), f’(x) 2 4 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 –4 –2 0 f b) d) f) x 2 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 0 f f(x), f’(x) x f(x), f’(x) 2 4 6 8 –4 –2 2 4 6 8 –4 –2 0 f x f(x), f’(x) 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 6 –4 –2 0 f Finden eines Funktionsgraphen bei gegebener Ableitung 71 Gegeben ist der Graph der Ableitungsfunktion f’. Welcher der gegebenen Funktionsgraphen könnte ein möglicher Graph der Funktion f sein? Kreuze den Graphen an. A B C x f(x) 4 8 –4 4 8 –8 –4 0 f x f(x) 4 –8 –4 4 8 –8 –4 0 f x f(x) 4 –8 –4 4 8 –8 –4 0 f D E F x f(x) 4 –4 4 8 12 16 0 f x f(x) 4 –4 –16 –12 –8 –4 0 f x f(x) 4 8 –4 4 8 –8 –4 0 f M1 AN-R 3.2 x f’(x) 4 8 –4 4 8 –8 –4 0 f’ 24 Untersuchung von Polynomfunktionen 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3.5 Auffinden von Polynomfunktionen 72 Der Graph einer Polynomfunktion dritten Grades f hat im Punkt H = (1 1 4) eine Maximumstelle und im Punkt T = (4 1 1) eine Minimumstelle. Kreuze die beiden Bedingungen an, welche in diesem Zusammenhang erfüllt sein müssen. A B C D E f(4) = 0 f’(4) = 0 f’’(4) = 0 f(1) = 4 f’(0) = 4 73 Der Graph einer Polynomfunktion dritten Grades f hat an der Stelle x = 1 eine Nullstelle und im Punkt W = (3 1 yw) einen Wendepunkt mit der Wendetangente tw: 3 x – 4 y = 5. Kreuze an, welche beiden Bedingungen in diesem Zusammenhang erfüllt sein müssen. A B C D E f(3) = 0 f’(1) = 0 f’’(3) = 0 f(1) = 3 f’(3) = 0,75 74 Der Graph einer quadratischen Funktion f schneidet die y-Achse bei 2 und besitzt im Punkt P = (1 1 4) eine lokale Extremstelle. Kreuze die zutreffende Funktionsgleichung an. A B C f(x) = ‒ 6 x2 + 8 x + 2 f(x) = 4 x2 – 2 x – 2 f(x) = ‒ 2 x2 + 4 x + 2 D E F f(x) = x2 – 2 x + 5 f(x) = 2 x2 – 4 x f(x) = x2 – 2 x – 1 75 Von einer Polynomfunktion f vierten Grades mit f(x) = a x 4 + b x3 + c x2 + d x + e sind fünf Zusammenhänge der Parameter a, b, c, d, e bekannt. Erkläre, was man aus den einzelnen Gleichungen bezogen auf f folgern kann. I: 0 = e w II: 16 a + 8 b + 4 c + 2 d + e = 5 w III: 4 a + 3 b + 2 c + d = 0 w IV: 48a ‒12b + 2c = 0 w V: ‒ 4 a + 3 b ‒ 2 c + d = 0 w 76 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = ‒ 0,5 x3 + x2 + 2 x, sowie ihr Funktionsgraph. Entwickle eine passende Umkehraufgabe zu dieser Funktion. Gib dazu Bedingungen, die man aus dem Graphen ablesen kann, an, aus denen sich f ermitteln lässt. M1 AN-R 3.3 M1 AN-R 3.3 x f(x) 1 2 3 4 –2 –1 1 2 3 4 5 6 –2 –1 0 f 25 Untersuchung von Polynomfunktionen > Auffinden von Polynomfunktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3.6 Extremwertaufgaben 77 Die Summe zweier natürlicher Zahlen a und b ist 12. Für welche Zahlen a und b wird das Produkt von a2 und b2 am größten? 1) Vervollständige die Wertetabelle und markiere die Werte für a und b, für die a2 · b2 maximal wird. a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 b a2 · b2 2) Ergänze den Text und löse die Aufgabe anschließend: Die Hauptbedingung dieser Aufgabe ist die Funktion p(a, b) = . Da die Funktion p von Variablen abhängt, muss aus dem Zusammenhang a + b = 12 (der so genannten ) eine Variable durch die andere ausgedrückt (z. B. b = ) und in p eingesetzt werden: p(a) = . Durch Nullsetzen der Ableitungsfunktion von p bestimmt man die möglichen lokalen von p und überprüft anhand des Graphen von p bzw. mit der Ableitungsfunktion von p, ob es sich bei den Stellen um Minimum- oder Maximumstellen handelt. 78 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 0,5 x2 – 4 x + 7,5. Der Punkt P = (x 1 y) mit x * [0; 3] liegt auf dem Graphen von f und bestimmt mit den beiden Achsen und den Parallelen dazu ein Rechteck. Bestimme x so, dass die Fläche des Rechtecks maximal wird. 1) Hauptbedingung: A(x, y) = 2) N ebenbedingung: (Hinweis: x und y entsprechen den Punktkoordinaten) 3) Zielfunktion: A(x) = 4) Berechnung der Extremstellen von A: x = 5) Nachweis des gesuchten Extremums mit A’’: x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 0 f P(x 1 y) x y 26 Untersuchung von Polynomfunktionen 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Nebenbedingung mit dem Satz von Pythagoras Löse die Aufgaben 79, 80, 81 mit Technologie. 79 Eine Schafherde soll zuerst zum Tränken vom Ausgangspunkt A an den Fluss (T) und anschließend zur Futterstelle F getrieben werden. Folgende Entfernungen sind bekannt: _ CD= 150 m; _ AC= 60 m; _ DF= 100 m. Bestimme die Entfernung _ CTso, dass der gesamte zurückgelegte Weg minimal ist. Zielfunktion: _ CT: 80 Ein Hund, der am geradlinigen Ufer eines Sees entlang läuft, erkennt eine kleine Insel im See. Sie ist 80 m vom Startpunkt des Hundes entfernt. Von einem anderen Punkt am Seeufer beträgt der senkrechte Abstand zur Insel 48 m. Der Hund läuft mit 5 m/s am See entlang, springt dann ins Wasser und schwimmt mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s zur Insel. Nach wie vielen Metern muss der Hund ins Wasser springen, um die Insel schnellstmöglich zu erreichen? Nebenbedingung mit dem Strahlensatz 81 Gegeben ist ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck (Schenkellänge = 7cm; Winkel zwischen den beiden Schenkeln = 90°). Schreibe dem Dreieck das Rechteck mit dem maximalen Flächeninhalt ein, dessen eine Seite auf der Basis des gleichschenkligen Dreiecks liegt. Berechne die Seitenlängen a, b des Rechtecks. Trinkstelle T Fluss Futter F D C x Ausgangspunkt A 100 m 60 m 150 m h h x y 7 cm 7 cm 27 Untersuchung von Polynomfunktionen > Extremwertaufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Teil-1-Aufgaben Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: AN-R 3.1 Den Begriff Ableitungsfunktion […] kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können AN-R 3.2 Den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion […]) in deren graphischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können AN-R 3.3 Eigenschaften von Funktionen mit Hilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen 82 Gegeben ist der Graph einer Funktion f. a) 1) Zeichne den Graphen der Ableitungsfunktion von f in das Koordinatensystem ein. 83 Gegeben ist der Graph der Ableitungsfunktion f’. Welcher der gegebenen Funktionsgraphen könnte ein möglicher Graph der Funktion f sein? Kreuze den Graphen an. A B C x f(x) 2 –2 2 4 –2 0 x f(x) 2 –2 2 4 –2 0 x f(x) 2 –2 2 –2 0 –4 –6 D E F x f(x) 2 –2 2 4 –2 0 x f(x) 2 –2 2 4 –2 0 x f(x) 2 –2 2 4 –2 0 84 Der Graph einer Funktion dritten Grades hat im Punkt H = (‒1 1 1) einen Hochpunkt und W = (1 1 ‒ 1) als Wendepunkt. Ermittle die Funktionsgleichung von f. Funktionsgleichung: M1 AN-R 3.1 x f(x) f 1 2 3 4 –2 –1 1 2 3 4 –3 –2 –1 0 M1 AN-R 3.2 x f(x) 2 –2 2 4 fq –2 0 M1 AN-R 3.3 28 3 Untersuchung von Polynomfunktionen > Weg zur Matura > Tei®-1-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
AN-R 3.1 AN-R 3.1 AN-R 3.1 AN-R 3.3 AN-R 3.3 AN-R 3.3 AN-R 3.3 Teil-2-Aufgaben 85 Geschwindigkeitsfunktion Zu einer Geschwindigkeitsfunktion v mit v(t) = 5 (t in s, v in m/s), kann die Zeit-Ort-Funktion nicht eindeutig angegeben werden. a) Eine mögliche Zeit-Ort-Funktion wird auch Stammfunktion von v genannt. Alle Stammfunktionen von v seien gegeben durch s(t) = 5 t + d mit d * ℝ+. 1) Erkläre, welcher graphische Zusammenhang zwischen allen Stammfunktionen besteht. 2) Berechne die Länge des zurückgelegten Weges in [2; 5]. 3) Argumentiere, dass man den zurückgelegten Weg auch ohne Kenntnis von d berechnen kann. b) Gegeben sind die Zeit-Geschwindigkeitsfunktion v (in m/s) eines Körpers in Abhängigkeit von der Zeit t (in Sekunden) sowie der Graph dieser Funktion. 1) Lies aus dem Graphen die Wendestelle der Funktion v ab. 86 Geschwindigkeiten Gegeben ist die Zeit-Geschwindigkeitsfunktion v (in m/s) eines Körpers in Abhängigkeit von der Zeit t (in Sekunden) sowie der Graph dieser Funktion. a) 1) Bestimme die mittlere Änderungsrate von v in [1; 12] durch Ablesen der entsprechenden Werte aus dem Graphen von v. 2) Gib weiters ein Intervall [a; b] an, in dem die momentane Änderungsrate von v an jeder Stelle größer ist als die mittlere Änderungsrate von v in [1; 12]. b) Die Extremstellen der Funktion v liegen bei 3,9 und 10. Sei s eine zu dieser Geschwindigkeitsfunktion passende Zeit-Ort-Funktion. 1) Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A B C D E s’’(10) = 0 s’(3,9) = 0 s’’(3) = 11,2 s’(1) > 0 s’’(2) < 0 2) Ermittle graphisch, wann die Beschleunigung v des Körpers am geringsten ist. KM2 t v(t) 1 2 3 4 5 6 7 8 91011121314 –2 –1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 v AN-R 3.3 M2 t v(t) 1 2 3 4 5 6 7 8 91011121314 –2 –1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 v 29 Untersuchung von Polynomfunktionen > Weg zur Matura > Tei®-2-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
4.1 Kreisgleichungen 87 Finde jeweils eine Koordinatenform der Kreisgleichung, eine allgemeine Form der Kreisgleichung und eine Darstellung, die die gleiche Kreislinie beschreibt, und markiere die zugehörigen Buchstaben mit der gleichen Farbe. A) (x + 2)2 + (y – 3)2 = 16 B) x2 + y2 – 4 x + 6 y = ‒ 9 C) x2 + y2 – 4 x + 6 y = 243 D) (x + 3)2 + (y – 2)2 = 4 E) x2 + y2 + 6 x – 4 y = 243 F) (x – 2)2 + (y + 3)2 = 4 G) (x – 3)2 + (y + 2)2 = 16 H) x2 + y2 – 6 x + 4 y = 3 Ø J K L x y M 1 2 –6 –4 –2 1 2 3 4 5 6 7 –1 0 x y 1 2 3 4 5 6 7 1 2 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 M x y 10 –20 –10 10 20 –20 –10 0 M x y 1 2 3 4 5 6 7 1 2 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 M M) x2 + y2 + 4 x – 6 y = 3 N) (x + 3)2 + (y – 2)2 = 256 Q R O) (x – 2)2 + (y + 3)2 = 256 P) x2 + y2 + 6 x – 4 y = ‒ 9 x y 10 20 –20 –10 10 20 –20 –10 0 M x y 1 2 –6 –4 –2 1 2 3 4 5 6 –2 –1 0 M 88 Ein Wassertropfen trifft auf die Oberfläche eines Sees und es entstehen konzentrische Kreise. a) Nimm an, dass der Wassertropfen im Ursprung des Koordinatensystems auf die Wasseroberfläche auftrifft und erstelle die Gleichungen für drei konzentrische Kreise. Beginne mit einem konzentrischen Kreis mit dem Radius 2 cm. Die nächsten Kreise besitzen jeweils einen Durchmesser, der um 7cm größer ist als der des vorherigen Kreises. 1. Kreisgleichung: k1: 2. Kreisgleichung: k2: 3. Kreisgleichung: k3: b) Ak1 , Ak2 und Ak3 bezeichnen die Flächeninhalte der Kreise. Ermittle, mit welchem Faktor man die Kreisflächen multiplizieren muss, um die nächstgrößere Fläche zu erhalten und ergänze die Formeln. Ak1 · = Ak2 Ak2 · = Ak3 4 Kreis und Kugel 30 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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