Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen und Lagebeziehung zwischen drei Ebenen 266 Gegeben sind mehrere Gleichungssysteme. Interpretiere jede Gleichung als Ebene in R3 und interpretiere die Lösung geometrisch. Fülle die Lücken im unten stehenden Text korrekt. (1) I: 4 · x – y – 3 · z = 0 II: 3 · x – 3 · y + 2 · z = 2 III: -x + 5 · y – 2 · z = 2 (2) I: x – 0,5 · y + 2 · z = 4 II: 4 · x – 2 · y + 8 · z = 16 III: ‒ 2 · x + y – 4 · z = ‒ 8 (3) I:5·x–3·y+z=‒1 II: ‒x +7·y – 3·z =13 III:x–4·y–z=‒7 (4) I: 2 · x + 4 · y – z = 9 II: 3 · x – 6 · y + 5 · z = 1 III: ‒ x – 2 · y + 0,5 · z = 4,5 Die G®eichungssysteme (1) und (3) haben a®s Lösungsmenge . Dies bedeutet, dass die drei Ebenen . Beim Gleichungssystem (2) sind die drei Ebenen . Die Lösungsmenge besteht aus . Gleichungssystem (4) beinhaltet zwei und eine Ebene, die . 267 Gegeben ist ein Gleichungssystem mit einem Parameter s (s * ℝ). Gib eine natürliche Zahl für s an, sodass das Gleichungssystem a) genau eine Lösung b) keine Lösung besitzt. I: 2 · x + 3 · y – 5 · z = 4; II: x – 6 · y + 8 · z = 13; III: ‒ 2 · x – 3 · y + s · z = 0 a) s = b) s = Winkel zwischen Ebenen 268 Ermittle den Winkel zwischen den zwei Ebenen e1 und e2. a) e1: 2 · x + 4 · y – z = 10 e2: ‒ x + 5 · y – 3 · z = 9 α = b) e1: x – 3 · y + 6 · z = 4 e2: 5 · x – y – z = 13 α = 12.5 Abstandsberechnungen Abstand zwischen Punkt und Ebene bestimmen 269 Den Abstand zwischen einem Punkt P und einer Ebene e kann man, neben der im Schulbuch beschriebenen Methode, auch mit der HESSEschen Abstandsformel ermitteln. Dabei werden ein beliebiger Punkt X in der Ebene, der Punkt P und der Normalvektor der Ebene n benötigt. Der Abstand d des Punktes P von der Ebene e ist dann: d = | _ À n0 · _ À XP |. Ergänze die fehlenden Rechenschritte. P = (1 1 3 1 ‒ 2), e: 4 · x – 5 · y + z = 2 1) Man ermittelt einen Punkt in der Ebene e. X = (1 1 0 1 ) 2) Der Richtungsvektor _ À XPwird berechnet. 3) Der Einheitsvektor _ À n0 wird ermittelt. 4) Der Abstand des Punktes P von der Ebene e wird berechnet. Abstand zwischen Punkt und Gerade bestimmen 270 Bestimme den Abstand des Punktes P von der Geraden g mit der HESSEschen Abstandformel (siehe Aufgabe 269). Wende dazu die unten stehende Formel an. Der Normalabstand d ist die Projektion des Vektors _ À AP (A * g) auf den Normalvektor der Geraden. d = | _ À n0 · _ À AP |. g: A = 2 2 1 12 3 + t · 2 ‒ 1 3 1 3, P = (2 1 1 1 ‒ 1) d = ó A n d P g 68 Ebenen im Raum 12 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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