207 Ein besonderer Teppich Der Sierpinski-Teppich ist ein Fraktal, welches vom polnischen Mathematiker Waclaw Sierpinski entwickelt wurde. Bei diesem quadratischen Teppich (Seitenlänge = 1) wird aus der Mitte ein Neuntel der Fläche entfernt. Übrig bleiben (um das Loch herum) acht quadratische Felder. Daraus entfernt man wieder ein Neuntel der Fläche. Diesen Vorgang kann man theoretisch unendlich oft durchführen. Es entsteht dann ein Muster, wie man es in der Abbildung sehen kann. a) Die Entwicklung der Flächeninhalte der einzelnen Teppiche (ohne Löcher) von Stufe zu Stufe lässt sich als Folge beschreiben. 1) Nimm an, dass die Seitenlänge des ursprünglichen Quadrats 1 ist und ermittle die explizite Darstellung der Folge. An = a) 2) Kreuze die rekursive Darstellung der Folge der Flächeninhalte an, welche zu dieser Angabe passt. Löse dazu mit dem Ergebnis aus a) 1) die jeweilige Gleichung nach An auf. A An + 1 = An – 8n _ 9n + 1 , n * ℤ, A0 = 1 D An + 1 = An – 8n _ 9n + 1 , n * ℕ, A0 = 1 B An + 1 = An – 8n _ 9n + 1 , n * ℕ, A0 = 2 E An + 1 = An – 8n _ 9n + 1 , n * ℝ, A0 = 1 C An + 1 = 8n _ 9n + 1 , n * ℕ, A0 = 1 b) 1) Eine Mathematikerin erklärt: „Der Sierpinski-Teppich besitzt keine Fläche.“ Erläutere, wie sie zu einer solchen Behauptung kommen könnte und formuliere eine passende Rechnung, um diese Aussage zu belegen. c) Auf der Stufe 0 ist der Umfang des Sierpinski-Teppichs 4. Auf Stufe 1 kommt noch der Umfang des „Loches“ dazu, also 4 _ 3 2 U1 = 4 + 4 _ 3 3. Der Umfang auf der 2. Stufe ist U2 = 4 + 4 _ 3 + 32 _ 9 . Die allgemeine Formel des Umfangs wird folgendermaßen beschrieben 2 ; = Summenzeichen 3: Uk = 4 + ; n = 1 k 8n – 1 _ 3n = 4 + ; n = 1 k 8n _ 3n · 8 = 4 + 1 _ 8 ; n = 1 k 2 8 _ 3 3 n 1) Gib an, wie groß der Umfang ist, wenn k ¥ •. lim k ¥ • Uk = M2 Sierpinski-Teppich: Stufe 0 Stufe 1 Stufe 2 Stufe 3 Stufe 4 Stufe 5 52 Reihen 9 Reihen > Teil-2-ähnliche Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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