Summenformel für die unendliche geometrische Reihe 199 Gegeben sind geometrische Reihen. Kreuze die konvergente an. A 2 + 4 + 8 + 16 + … B 1+(‒1)+1+(‒1)+… C 5,6 + 5,04 + 4,536 + … D 50 + 65 + 84,5 + 109,85 + … E 1 + 2 + 3 + 3 + 4 + 5 + … 200 Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a. Die Höhe dieses Dreiecks bildet die Seitenlänge eines zweiten Dreiecks, dessen Höhe wiederum die Seitenlänge eines dritten. Auf diese Weise werden endlos viele gleichseitige Dreiecke erzeugt. a) Berechne die Summe aller Umfänge dieser Dreiecke. b) Berechne die Summe aller Flächeninhalte dieser Dreiecke. 201 Gegeben ist die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe mit s = 6 __ 4 – 2 · f2 . Gib die dazugehörige Folge an. 202 Ein Würfel hat eine Kantenlänge von 35 cm. Auf diesen Würfel wird ein zweiter gesetzt, dessen Kantenlänge 80 % der Kantenlänge des ersten Würfels ist. Auf den zweiten Würfel ein dritter, dessen Kantenlänge wieder 80 % der Kantenläge des zweiten Würfels ist. Diese Vorgangsweise wird endlos fortgesetzt. a) Ermittle die Höhe des entstehenden Turms. b) Berechne die Summe der Oberflächeninhalte aller Würfel. c) Gib die Summe der Rauminhalte aller Würfel an. Anwendungen in der Finanzmathematik – „Renten“ 203 Mathematisches „TABU“. Erläutere folgende Begriffe. Verwende dazu nicht die Begriffe in den Klammern. a) vorschüssig (Jahr, Beginn, Betrag, Monat) b) nachschüssig (Jahr, Betrag, Monat; Ende) c) Endwert (Endkapital, Laufzeit, Jahreszinssatz) d) Abzinsungsfaktor (Kapital, Guthaben, Vorjahr) e) Rente (Regelmäßigkeit, Zahlung) 204 Ein Kapital K wird zu einem Zinssatz von 3 % p.a. am Beginn eines Jahres angelegt. Bestimme K so, dass zwölf Jahre lang (beginnend mit dem Einzahlungsjahr) jeweils am Jahresende ein Betrag von 3 000 € ausgezahlt werden kann. K = € 205 a) Wie viel muss jemand fortlaufend anlegen, um nach Ablauf von 15 Jahren über 35 000 € verfügen zu können? Rechne mit einem Jahreszinssatz von 2 %. b) Welchen Betrag muss jemand halbjährlich vorschüssig anlegen, um nach 10 Jahren über 20 000 € verfügen zu können? (p % = 2,75 % p.a.) c) Wie viel muss man monatlich vorschüssig anlegen, um nach 8 Jahren über 10 000 € verfügen zu können? (p % = 3 % p.a.) a a a Steinbock Tier Berg Springen Horn Ziege 50 Reihen 9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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