4.2 Symmetrie und Periodizität Symmetrie 73 Gib an, ob folgende Funktion f gerade oder ungerade ist und begründe deine Behauptung. a) b) 74 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = ‒ x 3 + 3· x2 – 5 · x. a) Skizziere den Graphen der Funktion und stelle fest, ob es eine ungerade Funktion ist. b) In der folgenden Rechnung wird gezeigt, dass die Funktion ungerade ist. Finde den Fehler in der Berechnung. Für eine ungerade Funktion gilt: f(x) = ‒ f(‒ x) für alle x * D. Es wird f(‒ x) berechnet: f(‒ x) = ‒ (‒ x)3 + 3 · (‒ x)2 – 5 · (‒ x) = x3– 3· x2 + 5 · x Nun wird ‒ f(‒ x) berechnet: ‒ f(‒ x) = ‒ (x3– 3· x2 + 5 · x) = ‒ x 3+ 3· x2 – 5 · x Vergleicht man nun ‒ f(‒ x) mit f(x), sieht man, dass die Ergebnisse gleich sind. Daher ist f eine ungerade Funktion. 75 Überprüfe durch Rechnung, ob f eine gerade oder ungerade Funktion ist. a) f(x) = 1 _ 2 · x 4 – 2· x2 – 3 b) f(x) = x3 – 1 _ x Periodizität 76 Gib an, ob die Funktion f: R0 + ¥ R periodisch ist oder nicht, und gib – wenn möglich – die kleinste Periode p an. Die Summe aller kleinsten Perioden sollte 13 ergeben. a) c) e) p = p = p = b) d) p = p = x f(x) f 4 8 12 16 –16 –12 –8 –4 4 8 –4 0 x f(x) f 4 8 12 16 –16 –12 –8 –4 4 8 12 0 ó x f(x) f 4 8 12162024 2 4 –2 0 x f(x) f 2 4 6 8 10 12 2 –2 0 x f(x) f 2 4 6 8 10 12 2 –2 0 x f(x) f 2 4 6 8 10 12 2 –2 0 x f(x) f 2 4 6 8 10 12 2 –2 0 19 Untersuchen reeller Funktionen > Symmetrie und Periodizität Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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