Mathematik Oberstufe Lösungswege Freiler | Marsik | Olf | Wittberger Arbeitsheft 6
Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Arbeitsheft + E-Book Schulbuchnummer: 210229 Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Arbeitsheft E-Book Solo Schulbuchnummer: 211409 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Unterricht vom 18. Juli 2023, BMBWF-GZ: 2021-0.727.606, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch für die 6. Klasse an allgemein bildenden höheren Schulen – Oberstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Umschlagbild: mauritius images / Alamy / Andrew Lloyd Technische Zeichnungen: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2023 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Brigitte Jug, Graz; Helene Ranetbauer, Wien Herstellung: Raphael Hamann, Wien Umschlaggestaltung: Petra Michel, Gestaltung und Typografie, Amberg Layout: Petra Michel, Gestaltung und Typografie, Amberg Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne GmbH, Horn ISBN 978-3-209-11498-3 (Lösungswege OS AH 6 + E-Book) ISBN 978-3-209-13053-2 (Lösungswege OS AH 6 E-Book Solo) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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2 Inhalt 3. Semester Terme, Gleichungen und Ungleichungen Potenzen 4 1.1 Potenzen mit natürlichen Exponenten 4 1.2 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten 5 1.3 Potenzen mit rationalen Exponenten 6 1.4 Potenzen mit reellen Exponenten 6 Tei®-1-Aufgaben 7 Tei®-2-Aufgaben 8 Logarithmus und Exponentialgleichungen 9 2.1 Logarithmus 9 2.2 Exponentialgleichungen 10 Tei®-1-Aufgaben 11 Tei®-2-Aufgaben 12 Ungleichungen 13 3.1 Lineare Ungleichungen 13 3.2 Betragsungleichungen 14 Tei®-1-Aufgaben 15 Tei®-2-Aufgaben 16 Funktionen Untersuchen reeller Funktionen 17 4.1 Monotonie und Extremstellen von Funktionen 17 4.2 Symmetrie und Periodizität 19 4.3 Bijektive Funktionen und Umkehrfunktionen 20 4.4 Verketten von Funktionen 20 4.5 Verallgemeinern des Funktionsbegriffs 21 4.6 Änderungsmaße 22 Tei®-1-Aufgaben 23 Tei®-2-Aufgaben 24 Potenzfunktionen und Polynomfunktionen 25 5.1 Potenzfunktionen 25 5.2 Polynomfunktionen 27 Tei®-1-Aufgaben 28 Tei®-2-Aufgaben 30 Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen 31 6.1 Graph und Eigenschaften der Exponentialfunktion 31 6.2 Wachstums- und Abnahmeprozesse modellieren 33 6.3 Logarithmusfunktionen 35 Tei®-1-Aufgaben 36 Tei®-2-Aufgaben 37 Winkelfunktionen 38 7.1 Das Bogenmaß 38 7.2 Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktionen 38 7.3 Harmonische Schwingungen 40 Tei®-1-Aufgaben 42 Tei®-2-Aufgaben 43 Folgen und Reihen Folgen 44 8.1 Zahlenfolgen und ihre Darstellung 44 8.2 Monotonie und Grenzwert 45 8.3 Arithmetische Zahlenfolgen 46 8.4 Geometrische Zahlenfolgen 47 Tei®-2-ähnliche Aufgaben 48 4. Semester Reihen 49 9.1 Arithmetische Reihe 49 9.2 Geometrische Reihe 49 Tei®-2-ähnliche Aufgaben 51 Vektorrechnung Vektoren 53 10.1 Vektoren im Rn 53 10.2 Rechnen mit Vektoren im dreidimensionalen Raum 55 10.3 Das Vektorprodukt 57 Tei®-1-Aufgaben 59 Tei®-2-Aufgaben 60 Geraden im Raum 61 11.1 Parameterdarstellung der Geraden 61 11.2 Lagebeziehungen von Geraden im Raum 62 Tei®-1-Aufgaben 63 Tei®-2-Aufgaben 64 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 Ebenen im Raum 65 12.1 Parameterdarstellung einer Ebene 65 12.2 Parameterfreie Darstellung einer Ebene 65 12.3 Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen 66 12.4 Lagebeziehungen von Ebenen – lineare Gleichungssysteme 67 12.5 Abstandsberechnungen 68 Tei®-2-ähnliche Aufgaben 69 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Beschreibende Statistik 70 13.1 Darstellen von Daten 70 13.2 Histogramm und Mehrfeldertafel 71 13.3 Manipulationsmöglichkeiten mit statistischen Graphiken 73 13.4 Statistische Kennzahlen 74 Tei®-1-Aufgaben 76 Tei®-2-Aufgaben 77 Wahrscheinlichkeit 78 14.1 Zufallsversuche 78 14.2 Wahrscheinlichkeitsbegriff 79 14.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit 81 Tei®-1-Aufgaben 82 Tei®-2-Aufgaben 83 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 85 15.1 Die Multiplikationsregel 85 15.2 Die Additionsregel 87 15.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen 89 Tei®-1-Aufgaben 90 Tei®-2-Aufgaben 91 Anhang Lösungen 92 Bildnachweis 104 12 13 14 15 Zum Arbeitsheft Dieses Arbeitsheft ergänzt das Schulbuch Lösungswege 6. Es bietet vielfältige Aufgaben, die zwei Ziele bedienen: • das vertiefte Festigen von Grundkompetenzen • das gezielte Einüben von Matura-Aufgabenformaten Aufgabe mit einfachem Komp®exitätsgrad Aufgabe mit mitt®erem Komp®exitätsgrad Aufgabe mit hohem Komp®exitätsgrad Teil-1-(ähnliche) Aufgaben als Vorbereitung auf die schrift ®iche Reifeprüfung Aufgaben, die ohne TR zu ®ösen sind Aufgaben, die in der QuickMedia App durchgerechnet sind Teil-2-(ähnliche) Aufgaben als Vorbereitung auf die schrift ®iche Reifeprüfung kontextreduzierte Tei®-2-Aufgaben > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 » > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 4 » M1 > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 4 5 » M1 ó > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 4 5 6 » M1 ó > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 4 5 6 8 » M1 ó M2K > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 4 5 6 8 7 » M1 ó M2K M2 > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 4 5 6 8 7 » M1 ó M2K M2 > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 4 5 6 8 7 » M1 ó M2K M2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.1 Potenzen mit natürlichen Exponenten 1 Ordne die Terme den äquivalenten Rechenausdrücken zu. a) 1 (‒7)6 A 7 ‒ 5 b) 1 43 A ‒ 1 2 ‒ (‒ 75) B ‒ 7 ‒ 6 2 (‒ 1)6 B 1 C 76 C 64 D 75 D (‒ 4)3 2 Schreibe die Zahl mit einer Zehnerpotenz. a) 15 000 = b) 2 000 000 = c) 6 400 = d) 7 = 3 Schreibe die Zahl ohne Zehnerpotenz. a) 4,73 · 103 = b) 8,2 · 100 = c) 9,11 · 1010 = d) 5,5 · 104 = Rechenregeln für Potenzen mit natürlichen Exponenten 4 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. a) A y6 : y6 = y B x4 · x4 = x16 C z3 : z3 = 1 D (a4 · a3)2 = a14 E (a5 · a4) : a3 = a17 b) A s2 : s = s B x2 · x5 = x10 C (k2)3 = (k3)2 D (a · a2) : a3 = 0 E (a2 : a)3 = a4 5 Löse die Klammern auf und vereinfache die Terme. Die Buchstaben über den richtigen Ergebnissen ergeben ein Lösungswort. (‒ 3 · x3 · y2 · z)2 2 u __ u · x3 · y · z2 36 (‒ 22 · x4 · y)3 2 2 2 __ y3 · z · t3 3 5 2 ‒ 2 · x 3 · x2 __ y7 3 4 (‒ 0,5 x8 · y9 · x)6 L B E R L A E L E N ‒ 9 · x6 · z2 9 · x6 · y4 · z2 1 __ x18 · y6 · z12 u3 __ x3 · y6 · z12 ‒ 64 · x12 · y3 125 __ y15 · z5 · t15 (x54 · y)54 1 024 __ y15 · z5 · t15 16 · x20 _ y28 1 _ 64 · x 54 · y54 6 Die Lichtgeschwindigkeit beträgt rund 300 000 000 m/s. i) Stelle die Lichtgeschwindigkeit als Vielfaches einer Zehnerpotenz dar. ii) Welche Strecke legt das Licht in 15 Minuten zurück? iii) Ein Lichtjahr (Lj) ist die Strecke, die das Licht in einem Jahr zurücklegt. Gib ein Lichtjahr in Kilometer an. iv) W ie lange braucht eine Rakete, die mit 40 000 km/h unterwegs ist, um ein Lichtjahr zurückzulegen? M1 AG-R 1.2 ó ó M1 AG-R 1.2 ó 1 Potenzen 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Potenzen von Binomen 7 Schreibe den Term ohne Klammern an. a) (a + 3 · b)4 b) (‒ 3 · a + 2 · b)3 1.2 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Rechenregeln für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten 8 Stelle mit positivem bzw. negativem Exponenten dar. a) r ‒ 4 = b) ‒ 3 _ a7 = c) 1 _ b5 = d) z‒ 9 = 9 Vereinfache den Term. Stelle das Ergebnis mit positiven Hochzahlen dar. a) (‒ x)‒ 3 = c) (x‒ 3 · y2)‒ 4 = e) (8 · x‒ 4 · y4)‒ 2 = b) (x3)‒ 2 = d) ‒ (x‒ 2 · y)‒ 3 = f) ‒ (‒ 5 · x2 · y3)‒ 3 = 10 Vereinfache den Term und stelle das Ergebnis mit positiven Hochzahlen dar. a) (4 · b2)‒ 8 = c) u 6 · n + 1 __ u‒ 2 · n – 2 , n * ℕ = b) (3 · a2 · c3)‒ 4 = d) 2 4 · x3 · y‒ 2 __ 6 · x2 3 ‒ 6 = 11 Vereinfache und stelle mit positiven Exponenten dar. a) 5 · a ‒ 3 _ a‒ 5 = c) [(‒ x2)3]‒ 4 = e) (2 · y‒ 3 · 4 · y2)‒ 3 = g) (15 · x2 : 5 · x6)2 = b) 2 3 · x _ 2 · y 3 ‒ 2 · 2 4 · x _ 2 · y 3 ‒ 1 = d) 2 2 4 · x _ 3 · y 3 ‒ 3 3 4 · x _ y = f) 2 4 · x3 _ y‒ 2 3 3 : 2 2 · x _ 3 · y‒ 2 3‒ 2 = 12 Ein menschliches Haar wächst im Durchschnitt mit 3 ·10‒ 9 m/s. Ermittle, wie lange ein Haar benötigt, um 3 cm zu wachsen. Runde auf Tage. 13 Das kugelförmige Sauerstoffatom hat einen Durchmesser von 1,21 ·10‒ 10 m. a) Berechne das Volumen des Atoms mit dem gegebenen Durchmesser. b) Ermittle, wie viele Atome in einem Würfel mit 1 mm3 Rauminhalt Platz hätten. 14 Gib an, ob die Aussage „ak ist für a * R und für alle k * Z definiert“ wahr ist und begründe deine Entscheidung. ó ó 5 Potenzen > Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.3 Potenzen mit rationalen Exponenten Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten darstellen 15 Wandle in Wurzelschreibweise bzw. Potenzschreibweise um. a) x 4 _ 5 b) x‒ 8 _ 11 c) 12 9__ x5 d) 1 _ 4 9 __ x3 16 Kreuze die beiden richtigen Aussagen an. A x 6 _ 11 = 6 9__ x11 B 1 _ 3 9_ x = x‒ 1 _ 3 C 1 _ 5 9 __ x7 = x 7 _ 5 D 13 9__ x10 = x 10 _ 13 E x 1 _ 17 = 1 _ 17 9_ x Rechenregeln für Wurzeln/Partielles Wurzelziehen Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse im Ausmalbild unten. Markiere sie, dann erhältst du ein Wort. 17 Berechne und schreibe das Ergebnis mit einer Wurzel an. a) 3 2 _ 5 · 3 1 _ 10 b) 2 4 _ 5 : 2 3 _ 10 c) 2 2 _ 3 3 ‒ 1 _ 2 · 2 2 _ 3 3 1 _ 2 d) 2 5‒ 1 _ 7 3 7 _ 2 18 Forme durch teilweises Wurzelziehen um. a) 9 __ 180 c) 3 9 ____ 432 000 e) 3 9 ____ a9 · b11 g) 4 9 ____ 16 · x4 · y 6 __ z8 b) 9 ___ 7 497 d) 4 9 ______ 42 500 · x2 f) 9 ______ 16 · a4 · b5 h) 4 9 _____ 1 296 ·x7 · y8 __ z16 19 Schreibe den Term als einen Wurzelausdruck an. a) 3 · 9 _ 7 b) 2 · 3 9 _ 2 c) 4 · 5 9 _ 2 20 Forme durch teilweises Wurzelziehen um. a) 9 _______ 18 · a9 · c · d2 b) 5 9 ____ h 12 · k10 · l __ l‒ 4 21 Bringe unter die Wurzel und vereinfache. a) 5 · a2 · 9 ____ 2 · a · b b) c 2 · f _ 4 · 3 9_____ 2 · c 3 · d · f2 __ 4 · c 22 Kontrolliere die Ergebnisse. In vier Aufgaben ist ein Fehler versteckt. 1) 2 4 9 ___ a · b 33 = 4 9 ___ a · b3 3) (n 9 _____ a2 · b3 · c )4 = n 9 ______ a8 · b12 · c 5) 2 4 9 __ 7 9_ a 35 = 11 9__ a5 2) 9 __ x3 = 3 9_ x 4) 2 9 __ 3 9_ x 32 = 3 9_ x 6) 4 9___ 3 9 __ x12 = x2 2 · x · y _ z2 · 4 9 __ y2 6 · 9 _ 5 2 5 9___ 2 048 4 9_ 3 (6) 0 5 · 4 9 ____ 68 · x2 9 _____ 3 · a2 · b8 (4) 1 4 3 · a4 · d · 9 ____ 2·a·c a7 · b · d3 9 _ 3 17 9 _____ 50 · a5 · b 21 · 9 __ 17 (2) (1) 18 9 _ 2 h3 · k · l5 a3 · b3 · 3 9 __ b2 a 3 9____ c 8 · d · f5 __ 128 9__ 15 1 _ 9 _ 5 9 _ 8 h2 · k2 · l · 5 9 __ h2 3 9_ c (3) 23 · 9 __ 10 (5) a · c2 60 · 3 9 _ 2 b7 3 9 __ 16 9 __ 63 6 · xy2 _ z1 · 4 9 __ x3 50 · 3 9 _ 1 4 · a2 · b2 · 9 _ b 9 _ d 1.4 Potenzen mit reellen Exponenten 23 Verwende die Intervallschachtelung, um den Wert der Potenz auf zwei Nachkommastellen anzunähern. a) 39 _ 3 b) 59 _ 2 c) 4π ó M1 AG-R 1.2 ó ó 6 1 Potenzen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Teil-1-Aufgaben Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: AG-R 2.1 Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können. 24 Gegeben ist die Zahl 0,0035. Kreuze die beiden äquivalenten Darstellungen an. A 35 · 104 B 3,5 · 10‒3 C 3,05 · 10‒4 D 3,5 · 103 E 35 · 10‒4 25 Gegeben ist der Term (a3 · b6 · c9)2. Kreuze die beiden äquivalenten Terme an. A B C D E a5 · b8 · c11 a6 · b12 · c18 2 a 5 · c9 _ a2 · b6 3 2 a 9 · b18 · c9 __ a3 · b6 · c‒ 9 (a · b2 · c)5 26 Ordne äquivalente Terme einander korrekt zu. a) 1 (b3)4 · (4 · b3)2 A 4 · b11 _ 3 b) 1 2 b5 _ 3 3 2 · (2 · b3)2 A 4 · b16 _ 9 2 2 b2 _ 3 3 5 · (2 · b3)2 B 16 · b– 18 2 (b3)4 · 4 · b6 B 4 · b18 C (4 · b9)2 C 4 · b12 _ 3 D 4 · b16 _ 243 D 4 · b13 27 Kreuze die beiden korrekten Aussagen an. A 3 9__ x2 = x 2 _ 3 B x 4 _ 5 = 1 _ 5 9 __ x4 C 3 9__ x2 = x 3 _ 2 D 9 ___ 2 · x = (2 · x) 1 _ 2 E x‒ 4 _ 5 = 1 _ 4 9 __ x5 28 Kreuze die beiden korrekten Aussagen an. A x 8 _ 15 = 8 9__ x15 B 12 9__ x7 = x 7 _ 12 C x ‒ 4 _ 3 = 1 _ 3 9 __ x4 D 9 ___ 5 · x2 = (5 · x) ‒ 1 _ 2 E 5 9___ 2 · x3 = 2·x 3 _ 5 29 Vervollständige den folgenden Satz so, dass er mathematisch korrekt ist. Der Term (1) ist äquivalent zu (2) . (1) (2) 9 ____ x5 · y2 · 3 9 _____ 4 · y3 · x x · y · 3 9_ x 15 9 _____ x20 · y30 6 9____ 16 · x5 · x2 · y2 9 _____ (x 6 · y2)6 : 9 ______ 4 · y12 · x18 2 · x2 AG-R 2.1 M1 AG-R 2.1 M1 AG-R 2.1 M1 AG-R 2.1 M1 AG-R 2.1 M1 AG-R 2.1 M1 7 Potenzen > Weg zur Matura > Tei®-1-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R2.1 AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R 2.1 Teil-2-Aufgaben 30 Die Sonne Die Sonne ist ca. 150 Millionen km von der Erde entfernt. Sie hat einen Durchmesser von 1,4 Millionen km und eine Dichte von ρ = 1,408 · g/cm3. a) 1) Gib die Entfernung von Erde und Sonne in normierter Gleitkommadarstellung in cm an. b) 1) Ermittle die Lichtgeschwindigkeit in km/s, wenn das Licht etwa acht Minuten braucht, um die Sonne von der Erde aus zu erreichen. c) Nimmt man an, dass die Sonne eine Kugel ist, kann man die Masse mit der Formel m = 4 _ 3 · π · r 3 · ρ ermitteln. 1) Forme die Formel nach r um. 2) Berechne die ungefähre Masse der Sonne. 31 Größe eines Atoms Mit dem „Ölfleckversuch“ kann man mit einfachen Mitteln näherungsweise die Größe eines Atoms mit Atomhülle feststellen. Dazu tropft man eine bestimmte Menge eines Öl-LeichtbenzinGemisches auf eine Wasseroberfläche (zur besseren Sichtbarkeit des Ölflecks kann man zuvor auch ein Pulver auf das Wasser streuen). Das Leichtbenzin, welches dazu dient, dass sich das Öl besser verteilt, verdunstet sofort, sodass nur der reine Ölfleck auf der Wasseroberfläche übrig bleibt. Den annähernd kreisförmigen Fleck kann man nun leicht mit einem Lineal vermessen. a) Gegeben ist ein Ölsäure-Leichtbenzin-Gemisch (Verhältnis VÖlsäure : VLeichtbenzin = 1 : 2 000). Davon wird ein Volumen von 25 ·10‒ 2 cm3 auf eine Wasseroberfläche getropft. Nimm an, dass es sich bei dem Ölfleck um eine monomolekulare Schicht handelt (es liegen nicht mehrere Moleküle übereinander). 1) Ermittle die Höhe des Ölflecks unter der Annahme, dass der Fleck zylinderförmig ist und einen Durchmesser von ca. 1,62 · 10‒ 1 m besitzt. Die Höhe des Zylinders entspricht dem Durchmesser des Ölsäuremoleküls. h = . b) Bei einem Ölfleckversuch war in einem zylinderförmigen Tropfen des Gemisches die Zylinderhöhe h = 8·10‒ 8 cm. Der Radius des Ölflecks war r = 6,4 cm. Um sich klar zu machen, wie dünn der Ölfleck ist, stellt man sich vor, er werde so stark vergrößert, dass seine Dicke 0,1 mm beträgt. 1) Kreuze den Durchmesser an, den dann der „vergrößerte“ Ölfleck haben müsste. A 160 000 mm B 16 cm C 160 dm D 1,6 m E 16 km c) Je nachdem, wie genau der Ölfleckversuch durchgeführt wird, erhält man einen Atomradius von ungefähr 10‒ 10 Metern. Dies ist ein relativ genauer Wert, wenn man bedenkt, wie einfach und schnell der Versuch durchgeführt werden kann. 1) Gib den Atomradius in Mikrometer und Nanometer an. d) Gegeben ist die Formel V = r2 · π · h (Volumen des Zylinders). 1) Forme die Formel nach r um. r = . KM2 AG-R 2.1 M2 8 Potenzen 1 Potenzen > Weg zur Matura > Tei®-2-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2.1 Logarithmus Der Logarithmus und einfache Exponentialgleichungen 32 Ordne die passenden Rechenausdrücke einander korrekt zu. a) b) 1 x2 = y A y2 = x 1 yx = z A y = log x · x 2 4 = log2 · 16 B 2 = logx · y 2 z = logy · x B z x = y C 2 = logy · x C x = logy · z D 24 = 16 D yz = x 33 Gegeben sind die Gleichungen ak = h und ba = f (mit a, b, f, h und k * R+). Kreuze die beiden korrekten Aussagen an. A Die Gleichung ba = f kann man in a = log b · f umformen. B Die Gleichung ak = h kann man in h = a 1 _ k umformen. C Die Gleichung ak = h kann man in k = log a · h umformen. D Die Gleichung ak = h kann man in a = h kumformen. E Die Gleichung ba = f kann man in a = logb _ logf umformen. 34 Ermittle den Wert des Terms (r * R). a) loga · 1 _ 5 9_ a b) loga · 7 9__ a3 c) log a (a 6r) d) a7 · loga(r) 35 Ergänze den Text, sodass sich mathematisch korrekte Aussagen ergeben. Im Ausdruck loga b wird a als und b als bezeichnet. b kann nur eine reelle Zahl sein. Gleichungen der Art ax = b nennt man . Sie haben Lösung. Diese ist eine Zahl. 36 Schreibe in logarithmischer Form an und bestimme die Lösung der Gleichung. Die Ergebnisse sind in der Tabelle angegeben. Einige falsche Werte sind auch dabei. a) 10x = 2,5 b) 5 · 10x = 20 _ 3 c) e x = 0,9 d) 12 · ex = 3 ≈ 0,512 ≈ 0,398 ≈ 1,386 ≈ 0,125 ≈ 0,389 ≈ ‒ 0,105 ≈ ‒ 1,386 ó AG-R 2.1 M1 2 Logarithmus und Exponentialgleichungen 9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Rechenregeln für Logarithmen 37 Zerlege so weit wie möglich in eine Summe bzw. Differenz von Logarithmen. a) log (6 · x4 · y0,5) b) log 2 3 9 ___ 2 · x2 _ y3 3 c) log 4 9 _____ 16 · x · y 3 38 Stelle als Logarithmus eines einzigen Terms dar. a) log7 – logb + log = c) log x + 0,5 · log a + 0,25 · log b = b) 3 · log c – log a + 2 · log (x – 1) = d) 2 · log 8 + 7 · log x + 0,125 · log 3 = 2.2 Exponentialgleichungen Lösen von Exponentialgleichungen 39 Löse die Exponentialgleichung. a) 5x = 50 _ 4 b) 8 6 – x = 4x · 7x + 3 40 Löse die Gleichung ohne Verwendung des Logarithmus. a) 2 2 · (x + 3) = 84 · x b) 64 3 · x + 2 = 16 7 · x 41 Kontrolliere das Lösen der Exponentialgleichung und finde den Fehler. a) 2x – 4 = 8x + 7 ¥ 2x – 4 = (23)x + 7 ¥ 2x – 4 = 23 · x + 7 b) 81x – 1 = 134 · x – 4 ¥ (34)x – 1 = 134 · x – 4 ¥ 34 · x – 4 = 134 · x – 4 x – 4 = 3 · x + 7 | – x, – 7 4 · x – 4 = 3 | + 4 | : 4 2 · x = ‒ 11 x = 7 _ 4 x = ‒ 5,5 42 Kontrolliere den Lösungsweg und finde den Fehler. log (9 · 3x) = log (24 · x – 1) Rechenregeln für Logarithmen anwenden ®og 9 + x · ®og 3 = (4 · x – 1) ®og 2 K®ammer auf®ösen ®og 9 + x · ®og 3 = 4 · x · ®og 2 – ®og 2 | – 4 · x · ®og 2 | – ®og 9 x ®og 3 – 4 · x · ®og 2 = ®og 2 – ®og 9 x (®og 3 – 4 · ®og 2) = ®og 2 – ®og 9 | : (®og 3 – 4 · ®og 2) x = log 2 – log 9 __ log 3 – 4 · log 2 x ≈ 0,90 Anwendungsaufgaben 43 Für eine Bakterienart, die zu einem Experiment verwendet wird, gilt folgende Exponentialgleichung: Nt = 3 450 · 1,1 t (N ist die Anzahl der Bakterienzellen, t ist die Zeit in Stunden seit Beginn des Experiments). a) Gib an, wie viele Bakterien zu Beginn des Experiments vorhanden waren. b) Gib an, nach wie vielen Stunden man 1 000 000 Bakterien besitzt. 44 Die Anzahl A bestimmter Bakterien verändert sich annähernd nach dem Wachstumsgesetz A(t) = A0 · 3 t (t in Stunden). Ermittle, nach welcher Zeit die Bakterienanzahl 1 000 beträgt, wenn A0 10 ist. ó ó ó 10 2 Logarithmus und Exponentialgleichungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Teil-1-Aufgaben Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: AG-R 1.1 Wissen über die Zahlenmengen ℕ, Z, Q, R, C verständig einsetzen AG-R 2.1 Einfache Terme und Formeln aufstellen ud umformen und im Kontext deuten können 45 Das Wachstum einer Rattenpopulation lässt sich mit der Exponentialgleichung Rt = 500 · 1,09 t beschreiben (t in Monaten). Gib an, nach wie vielen Monaten es 1 500 Ratten gibt. 46 Gegeben ist log9 · 1 _ 81 . Kreuze die beiden korrekten Aussagen an. A B C D E 1 _ 81 = 9 2 log 9 · 1 _ 81 = ‒ 2 81 ‒ 2 = 9 log 9 · 1 _ 81 = 2 1 _ 81 = 9 ‒ 2 47 Ordne den Termen in der linken Spalte die äquivalenten Terme der rechten Spalte zu. a) b) 1 log3 (e · f) A log3 e + log3 f 1 log e – log f A log 9___ e – f 2 (log 3 + log e) · f B f · log (3 · e) 2 0,5 · log (e – f) B log e _ log f C log f _ log e C log e _ log 2 e _ f 3 D e · log (3 · f) D 9 ____ log e · f 48 Ordne den Termen in der linken Spalte die äquivalenten Terme der rechten Spalte zu. a) b) 1 log c _ log b A 3 · log5 b 1 5 · log (3 · b) A 0,5 · log 2 b _ c 3 2 log5 (b3) B log b _ log c 2 log 9___ b – c B (log 3 + log b) · 5 C log c – log b C 0,5 · log (b – c) D log c _ log b D (log 3 · log b) · 5 AG-R 2.1 M1 AG-R 2.1 M1 AG-R 2.1 M1 AG-R 2.1 M1 11 Logarithmus und Exponentialgleichungen > Weg zur Matura > Tei®-1-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
AG-R 2.1 AG-R 1.1 AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R 1.1 Teil-2-Aufgaben 49 Radioaktiver Stoff In einem Labor ist ein radioaktiver Stoff gelagert. Das Zerfallsgesetz ist gegeben durch Nt = 23 · 0,987 t. (N ist die Menge des radioaktiven Stoffes in mg, t die Zeit in Wochen). a) 1) Forme die Formel nach t um. b) 1) Vergleiche um wie viele mg sich die Änderung der zerfallenden Menge von Woche 1 zu Woche 2 zu der von Woche 2 zu Woche 3 unterscheidet. c) 1) Berechne, nach wie vielen Tagen nur noch die Hälfte des radioaktiven Stoffes vorhanden ist. d) 1) Das Zerfallsgesetz kann man auch mit der Formel Nt = 23 · e λ· t angeben (λ ist die Zerfallkonstante). Ermittle λ. 50 Schallpegel Ein Geräusch, zum Beispiel ein Ton, ist schwächer zu hören, je weiter man sich von der dazugehörigen Schallquelle (z.B. einem Radio) entfernt. Nimmt man eine kugelförmige Schallausbreitung in der Luft an, so kann man den dazugehörigen Schallpegel (= Schalldruckpegel; Größe, die die Schalleinwirkung auf einen bestimmten Ort beschreibt; wird in Dezibel (dB) angegeben) mit folgenden Formeln ermitteln. Lp2 = Lp1 – 20 · log 2 d2 _ d1 3 Ermittlung des Schallpegels an Standort 2 ¶Lp = 20 · log 2 d2 _ d1 3 Ermittlung der Schallpegelabnahme zwischen zwei Standorten ¶Lp = Schallpegelabnahme zwischen Standort 1 und 2 (dB) Lp1 = Schallpegel am Standort 1 (dB) d1 = Entfernung zur Schallquelle am Standort 1 (in Meter) Lp2 = Schallpegel am Standort 2 (dB) d2 = Entfernung zur Schallquelle am Standort 2 (in Meter) a) 1) Forme die Gleichung für die Ermittlung des Schallpegels an Standort 2: Lp2 = Lp1 – 20 · log 2 d2 _ d1 3 nach Lp1 um. b) 1) Kreuze an, welche Formel äquivalent zu den in der Angabe angegebenen Formel ist. A ¶Lp = 20 · (log d2 + log d1) C ¶Lp = 20 · (log d2 – log d1) E (log d1 – log d2) 20 B ¶Lp = 20 · (log d1 – log d2) D ¶Lp = 20 · log d2 + 20 · log d1 c) Eine Person behauptet: „Bei doppelter Distanz nimmt auch die Lautstärke um das Doppelte ab.“ 1) Gib an, ob diese Aussage zutreffend ist und begründe deine Meinung. Bei der Ermittlung der Schallpegelabnahme in der Praxis, muss man bei einer Entfernungsverdopplung weitere Einflüsse wie z.B. den Wind oder die Bodendämpfung mit einkalkulieren. d) Ein Experte behauptet: „Ein Schallpegel von 60 dB in 10 m Entfernung entspricht einem Schallpegel von 50 dB in 40 m Entfernung.“ 1) Überprüfe mit Hilfe des Diagramms, ob diese Aussage korrekt ist. KM2 M2 Entfernung (m) Schallpegel dB(A) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 20 40 60 80 100 0 Schallpegelabnahme mit der Entfernung Entfernungsbedingte Pegelabnahme 5 db(A) bei Entfernungsverdopplung 12 Logarithmus und Exponentialgleichungen 2 Logarithmus und Exponentialgleichungen > Weg zur Matura > Tei®-2-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3.1 Lineare Ungleichungen Lösen linearer Ungleichungen 51 Löse die Ungleichung in den angegeben Grundmengen. a) 2 · x – 10 ª 0 (1) ℕ (2) Z (3) R (4) ℙ b) x º ‒ 4 _ 5 (1) ℕ (2) Z (3) R– (4) R+ c) 3 · x < x + 9 (1) ℕ (2) Z (3) R (4) R0 + d) x + x < x (1) ℕ (2) Z (3) R (4) Q– 52 Gegeben sind zwei Ungleichungen mit a) G = Z b) G = R. Stelle die Lösungsmengen der Ungleichungen graphisch dar. 1) 2 · x + 5 < 3 · x – 2 2) 1,5 · x – 2 ≤ 0,5 · x – 4 a) b) 53 Löse die Ungleichung mit G = R. a) 4·(x + 2) – 2·(x – 4) – x > ‒11 b) 5 · (2 · x – 2) + 3 · (x – 3) º 11 · (x – 1) Lineare Ungleichungssysteme 54 Ermittle die Lösungsmenge des Ungleichungssystems in R und stelle sie graphisch dar. a) 3 · x – 7 > ‒ 5 ? 8 · x – 6 < 6 b) 5 · x + 2 < 5 ? 2 · x – 5 º ‒ 6 Textungleichungen 55 Eine 9-Watt-Energiesparlampe bietet dieselbe Helligkeit wie eine herkömmliche 40-Watt-Glühlampe, hat aber die fünffache Lebensdauer. Eine Energiesparlampe kostet 40 €, die Stromkosten einer brennenden Energiesparlampe betragen 0,25 € pro Stunde. Fünf Glühlampen kosten nur 8 €, eine brennende 40-WattGlühlampe verursacht in einer Stunde Stromkosten von 1,8 €. Gib an, wie viele Tage eine Energiesparlampe mindestens ununterbrochen brennen muss, damit sie kostengünstiger als fünf entsprechende Glühlampen ist. ó ó 6 7 8 9 10 –6–5–4–3–2–1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 –6–5–4–3–2–1 0 1 2 3 4 5 ó – 2 – 1,5 – 1 – 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 – 2 – 1,5 – 1 – 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3 Ungleichungen 13 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen 56 Stelle die Lösungsmenge des Ungleichungssystems graphisch dar. a) 2 · x – 3 · y < ‒ 6 ? 4 · x + 5 · y > ‒ 5 b) 2·x > 3·y – 6 ? x+y>‒3 c) x–5·y+5<0 ? 3·x–2·y>6 57 Gib das zur Lösungsmenge passende System zweier linearer Ungleichungen an. a) b) 3.2 Betragsungleichungen 58 Löse die Betragsungleichung mit G = R und stelle das Ergebnis graphisch dar. a) |x| < 4 b) |x| ≥ 2 59 Kreuze für die beiden (Teil)Lösungen der Betragsungleichung |x + 4| > 3 in R die beiden passenden Graphiken korrekt an. A B C – 0 – 2 – 4 – 6 8 – – 6 – 7 – 8 –9 – 9 10 – 0 – 2 – 4 – 6 8 D E – 0 – 1 2 1 2 3 – 0 – 1 2 1 2 3 x y 2 4 6 –6 –4 –2 2 –2 0 –4 x y 2 4 6 –6 –4 –2 2 –2 0 –4 x y 2 4 6 –6 –4 –2 2 –2 0 –4 x y 2 4 6 8 10 12 –6 –4 –2 2 4 6 8 –2 0 –4 x y 1 2 3 4 5 6 –3 –2 –1 1 2 3 4 –1 0 –2 –2 6 7 8 9 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 14 3 Ungleichungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Teil-1-Aufgaben Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: AG-R 2.4 Lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können 60 Ordne den Ungleichungen die korrekten Lösungen zu. 1 7·x–5ª2·x+14 A x º 17 2 61 – 2 · x ª 27 B x º 3,8 C x º 15 D x ª 3,8 61 Stelle die Lösungsmenge der Ungleichung (in R) auf der Zahlengeraden graphisch dar. a) 17 ª 3 · (x – 2) L = b) 2 · (x + 4) – 1 < 3 · x + 5 L = 62 Gegeben ist die Ungleichung x + 3 < b mit den Variablen x * ℕ und b * Z . Vervollständige den Satz so, dass eine korrekte Aussage entsteht. Unter der Bedingung, dass (1) ist, gibt es (2) . (1) (2) b ª 3 unendlich viele x * ℕ, die die Ungleichung erfüllen. 1 < b < 6 kein x * ℕ, welches diese Ungleichung erfüllt. b < 8 genau ein x * ℕ, das die Ungleichung erfüllt. 63 Ordne den graphischen Lösungen die Ungleichungen korrekt zu. 1 2 A ‒ x + 3 · y < ‒ 4 x y 1 2 –1 1 –1 –2 0 x y 1 2 –1 1 2 3 0 B 2 · y > 5 + x C x + 2 < 4 · y D 3 · x – 5 · y ª 7 64 Ordne die Ungleichungen den passenden graphischen Lösungen korrekt zu. 1: 2 · y > 6 – 3 · x 2: 2 · x – 2 > 3 · y A B C D x y 8 16 –8 4 –4 0 x y 8 16 –8 4 –4 0 x y 8 16 –8 4 –4 0 x y 8 16 –8 4 –4 0 AG-R 2.4 M1 M1 AG-R 2.4 – 0123456789101112 1 – 0123456789101112 1 M1 AG-R 2.4 M1 AG-R 2.4 M1 AG-R 2.4 15 Ungleichungen > Weg zur Matura > Tei®-1-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
AG-R 2.4 AG-R 2.4 AG-R 2.4 AG-R 2.4 AG-R 2.4 AG-R 2.4 AG-R 2.4 AG-R 2.4 Teil-2-Aufgaben 65 Einkaufsverhalten Viele Menschen kaufen gerne regional ein. Ein Kilogramm Zucchini kostet am Markt 2,80 € und im Supermarkt 1,60 €. Die Tomaten kosten am Markt 3,20 € und im Supermarkt 1,90 € pro kg. Man benötigt allerdings einen Fahrschein um 5 €, um zum Supermarkt zu kommen. x steht für die Anzahl an Kilogramm Zucchini, y für die Anzahl an Kilogramm Tomaten. a) 1) Berechne, ab welcher Menge Zucchini der Preisunterschied zwischen dem Kauf am Markt und im Supermarkt größer als 25 € ist. b) Julia isst die Zucchini am liebsten mit Tomaten. Sie möchte ermitteln, ab wann ein Einkauf am Markt preisgünstiger ist als im Supermarkt und stellt folgende Ungleichungen auf. 2,80 · x + 3,20 · y < 1,60 · x + 1,90 · y + 5 1) Vereinfache die Ungleichung. c) 1) Interpretiere die Ungleichung 2,8 · x + 3,2 · y < 30 im gegebenen Kontext. d) 1) Markiere die Lösungsmenge der Ungleichung 1,6 · x + 1,9 · y ≥ 10 in der Abbildung. 66 Orchideendünger Frau Mayer züchtet Orchideen. Um Pflanzen mit großen und farbenfrohen Blüten heranzuziehen, düngt sie wöchentlich ihre Blumen. Im Fachgeschäft kann sie zwischen zwei Flüssigdüngern wählen: – Dünger „Farbi“ kostet pro Flasche 12,90 € und enthält 3 ø des Nährstoffes P und 4 ø des Nährstoffes N. – Dünger „Wachswunder“ kostet pro F®asche 3,50 € weniger und enthä®t 2,5 ø des Nährstoffes P und 5 ® des Nährstoffes N. Die empfohlene Düngermenge für Orchideen liegt bei mindestens 15 ø des Nährstoffes P und mindestens 23 ø des Nährstoffes N pro Woche. Frau Murad gibt maximal 65 € pro Woche aus. a) 1) Stelle ein Ungleichungssytem mit den Variablen x und y auf, mit dem man die Variablen x und y (x Anzahl der Flaschen von Farbi, y Anzahl der Flaschen von Wachswunder) berechnen kann, sodass die Pflanzen optimal gedüngt werden und das Budget von Frau Murad nicht überstrapaziert wird. 2) Gib eine mögliche konkrete Lösung an. 3) Interpretiere die Lösung aus a) 2). b) 1) Ordne der graphischen Darstellung das entsprechende System von linearen Ungleichungen korrekt zu. A: I: 12,90 · x + 3,50 · y ª 65; II: 3 · x + 2,5 · y º 15; 4 · x + 5 · y º 23 B: I: 12,90 · x + 9,40 · y º 65; II: 3 · x + 2,5 · y º 15; 5 · x + 4 · y º 23 C: I: 12,90 · x + 9,40 · y ª 65; II: 3 · x + 2,5 · y º 15; 4 · x + 5 · y º 23 D: I: 12,90 · x + 3,50 · y ª 65; II: 3 · x + 2,5 · y ª 15; 4 · x + 5 · y ª 23 E: I:12,90·x + 3,50·y º 65; II: 3·x + 2·y ª15; 4·x + 5·y ª 23 Lösung: KM2 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 0 5 6 7 M2 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 2 4 6 8 0 16 Ungleichungen 3 Ungleichungen > Weg zur Matura > Tei®-2-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
4.1 Monotonie und Extremstellen von Funktionen Monotonie von Funktionen 67 Gegeben ist der Graph der Funktion f. Markiere in der Tabelle jene Intervalle, auf die die Eigenschaft zutrifft. Alle übrigen Intervalle ergeben von rechts unten nach links oben zeilenweise gelesen einen Lösungssatz. streng monoton steigend [o; n] [s; c] [o; t] [p; m] monoton steigend [f; a] [o; n] [t; m] [s; t] monoton fallend [c; h] [n; i] [t; w] [q; i] streng monoton fallend [i; h] [o; r] [s; t] [f; i] Lösungssatz:[ ; ][ ; ][ ; ][ ; ][ ; ][ ; ][ ; ][ ; ]. 68 Gegeben sind drei Funktionswerte einer Funktion f: f(‒ 3) = 4 f(0) = 6 f(3) = 9 Was kann über f ausgesagt werden? Kreuze die beiden sicher zutreffenden Aussagen an. A f ist in [‒ 3; 3] streng monoton steigend. B f ist in [‒ 3; 3] nicht monoton fallend. C f ist in [‒ 3; 3] nicht streng monoton steigend. D f ist in [‒ 3; 3] nicht konstant. E f ist in [‒ 3; 3] monoton steigend. 69 Planeten außerhalb unseres Sonnensystems (Exoplaneten genannt), kann man aufgrund ihrer Größe, aufgrund der Entfernung von der Erde und, da sie nicht leuchten, nicht direkt beobachten. Zieht ein Exoplanet an seinem Zentralstern vorbei, dann verdunkelt er diesen ein wenig. Daher kann man aus einer regelmäßigen Verdunkelung dieses Sterns auf die Existenz eines Exoplaneten schließen. Im folgenden (vereinfachten) Graphen siehst du den Helligkeitsverlauf eines Zentralsterns. Gib die einzelnen Monotonieintervalle an und interpretiere deine Ergebnisse im gegebenen Kontext. x f(x) 2 4 –4 –2 0 faorns cqt iwhpm f ó FA-R 1.5 M1 ó Zeit Helligkeit 2 4 6 8 1012141618202224 2 4 6 0 4 Untersuchen reeller Funktionen 17 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Extremstellen von Funktionen 70 Gib von den gegebenen Graphen mit D = [‒ 2; 9] alle lokalen und globalen Extremstellen an. Streiche die verwendeten x-Werte aus unten stehender Tabelle. Selbstkontrolle: Die Summe der übrigen Werte ergibt 13. a) b) c) x f(x) f 2 4 6 8 2 4 6 0 x f(x) f 2 4 6 8 2 4 6 0 x f(x) f 2 4 6 8 2 4 6 0 lokale Maximumstelle: lokale Minimumstelle: globale Maximumstelle: globale Minimumstelle: ‒ 2 ‒ 2 ‒ 2 ‒ 1 ‒ 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 6 7 7 7 7 9 71 Gegeben ist der Graph der Funktion f. Ermittle im Intervall [‒ 4; 5] das Monotonieverhalten und die lokalen Extremstellen von f. 72 Gegeben sind eine Funktion f: R ¥ R und ihre Monotonieintervalle. Gib alle lokalen Minimum- und Maximumstellen von f an. a) streng monoton steigend in: (‒ • ; ‒ 9] und [3; •) streng monoton fallend in: [‒ 9; 3] ®oka®e Minimumste®®en bei: lokale Maximumstellen bei: b) streng monoton steigend in: [‒ 30; ‒ 9] und [7; 20] streng monoton fa®®end in: (‒ •; ‒ 30] und [‒ 9; 7] und [20; •) ®oka®e Minimumste®®en bei: lokale Maximumstellen bei: ó ó x f(x) f 1 2 3 4 5 6 7 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 20 40 60 80 100 120 140 –40 –20 0 ó 18 Untersuchen reeller Funktionen 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
4.2 Symmetrie und Periodizität Symmetrie 73 Gib an, ob folgende Funktion f gerade oder ungerade ist und begründe deine Behauptung. a) b) 74 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = ‒ x 3 + 3· x2 – 5 · x. a) Skizziere den Graphen der Funktion und stelle fest, ob es eine ungerade Funktion ist. b) In der folgenden Rechnung wird gezeigt, dass die Funktion ungerade ist. Finde den Fehler in der Berechnung. Für eine ungerade Funktion gilt: f(x) = ‒ f(‒ x) für alle x * D. Es wird f(‒ x) berechnet: f(‒ x) = ‒ (‒ x)3 + 3 · (‒ x)2 – 5 · (‒ x) = x3– 3· x2 + 5 · x Nun wird ‒ f(‒ x) berechnet: ‒ f(‒ x) = ‒ (x3– 3· x2 + 5 · x) = ‒ x 3+ 3· x2 – 5 · x Vergleicht man nun ‒ f(‒ x) mit f(x), sieht man, dass die Ergebnisse gleich sind. Daher ist f eine ungerade Funktion. 75 Überprüfe durch Rechnung, ob f eine gerade oder ungerade Funktion ist. a) f(x) = 1 _ 2 · x 4 – 2· x2 – 3 b) f(x) = x3 – 1 _ x Periodizität 76 Gib an, ob die Funktion f: R0 + ¥ R periodisch ist oder nicht, und gib – wenn möglich – die kleinste Periode p an. Die Summe aller kleinsten Perioden sollte 13 ergeben. a) c) e) p = p = p = b) d) p = p = x f(x) f 4 8 12 16 –16 –12 –8 –4 4 8 –4 0 x f(x) f 4 8 12 16 –16 –12 –8 –4 4 8 12 0 ó x f(x) f 4 8 12162024 2 4 –2 0 x f(x) f 2 4 6 8 10 12 2 –2 0 x f(x) f 2 4 6 8 10 12 2 –2 0 x f(x) f 2 4 6 8 10 12 2 –2 0 x f(x) f 2 4 6 8 10 12 2 –2 0 19 Untersuchen reeller Funktionen > Symmetrie und Periodizität Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
4.3 Bijektive Funktionen und Umkehrfunktionen 77 Gib an, ob folgende Funktion bijektiv ist, und bestimme – wenn möglich – die Umkehrfunktion. a) Jeder Person wird ihr Geburtsdatum zugeordnet. bijektiv: ja/nein; Umkehrfunktion: b) Jedem Zylinder wird sein Volumen zugeordnet. bijektiv: ja/nein; Umkehrfunktion: c) Jeder natürlichen Zahl wird ihr Quadrat zugeordnet. bijektiv: ja/nein; Umkehrfunktion: d) Jeder natürlichen Zahl wird ihr Nachfolger zugeordnet. bijektiv: ja/nein; Umkehrfunktion: 78 Gegeben sind die reellen Funktionen a bis d. Ordne jeder Funktion ihre Umkehrfunktion korrekt zu. 1 a(x) = ‒ 3 · x + 2 A e(x) = ‒ 1 _ 3 · x – 2 _ 3 2 b(x) = 3 · x – 2 B f(x) = ‒ 1 _ 3 · x + 2 _ 3 C g(x) = 1 _ 3 · x – 2 _ 3 D h(x) = 1 _ 3 · x + 2 _ 3 79 Ordne jeder Funktion f: R+ ¥ R den Graphen ihrer Umkehrfunktion korrekt zu. 1: f(x) = 5 · x2 + 2 2: f(x) = 4 · x2 – 3 A B C D 4.4 Verketten von Funktionen 80 Gegeben sind die Funktionen f, g und h. Berechne die angegebenen Verkettungen und suche deine Ergebnisse in der Tabelle. Die Namen der übrig gebliebenen Funktionen ergeben in der richtigen Reihenfolge ein Lösungswort. Lösungswort: f(x) = ‒ 3 · x + 2 g(x) = ‒ x2 + 2 · x h(x) = ‒12·x +1 Bi®de die Verkettung von a) f nach g b) f nach h c) g nach h d) h nach f m(x) = 3· x2 – 6·x + 2 u(x) = ‒36·x +1 u(x) = ‒3·x2 + 6 · x a(x) = 144· x2 – 1 b(x) = ‒12·x + 23 l(x) = 23 – 36 · x w(x) = 36 · x – 23 r(x) = x k(x) = 36 · x – 1 l(x) = ‒ 144· x2 + 1 81 Gegeben sind die Funktionen f: ℝ+ ¥ ℝ mit f(x) = x2 – 4 und h: [‒ 4; •] ¥ ℝ mit h(x) = 2 9 ___ x + 4 . Bilde die Verkettung von f nach h und von h nach f. Was fällt dir auf? Welcher Zusammenhang besteht zwischen f und h? x f(x) f 2 4 6 8 2 4 0 x f(x) f 2 4 –4 –2 2 4 0 x f(x) f 2 4 6 8 2 4 0 x f(x) f 2 4 6 8 2 4 0 20 Untersuchen reeller Funktionen 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
4.5 Verallgemeinern des Funktionsbegriffs 82 Gegeben ist die Funktion f mit f(a; b; c; d; e) = a · b c · d2 __ e . a) Berechne f(2; 3; 4; 5; 6). b) Gib den Funktionstyp der gegebenen Funktion an. f(a): f(d): f(e): 83 Prallt ein Körper gegen eine Wand, so kann die kinetische Energie E als Maß für die Stärke des Aufpralls angegeben werden. Es gilt E = m · v 2 _ 2 (in Joule), wobei m die Masse (in kg) und v die Geschwindigkeit (in m/s) des Körpers sind. a) Angenommen ein Bus sei 200-mal so schwer wie ein Fahrrad mit Fahrer. Um das Wievielfache ist der Aufprall bei gleicher Geschwindigkeit mit dem Bus stärker als mit einem Fahrrad? b) Angenommen ein Auto fahre mit doppelter Geschwindigkeit gegen eine Wand. Um das Wievielfache ist der Aufprall stärker als bei einfacher Geschwindigkeit? c) Ein Fahrrad mit Puppe besitzt eine Masse von ca. 100 kg. Bei einem Crashtest fährt es mit 15 km/h gegen eine Mauer. Gib die kinetische Energie in Joule an. d) Ist E(m) zu m direkt proportional? e) Welche Art von Funktion ist E(v) und wie sieht der Graph von E aus? 84 Gegeben ist die Funktion V mit V (r, h) = r2 · π · h. Mit dieser Formel wird das Volumen eines Zylinders in Abhängigkeit von den Längen h und r berechnet. a) Berechne V (1, 2). b) Gib an, wie sich V verändert wenn r halbiert und h verdoppelt wird. c) Gib an, welche Art von Funktion V (r) ist. h r 21 Untersuchen reeller Funktionen > Verallgemeinern des Funktionsbegriffs Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
4.6 Änderungsmaße 85 Einem Auto wird vom Motor Energie zugeführt. Wird ein Auto gebremst, verliert es Energie. Der Graph zeigt die Energie E(t) eines Motors (in Kilojoule) in Abhängigkeit von der Zeit (in s). Die Leistung beschreibt die Änderung der Energie pro Sekunde. a) Gib die mittlere Leistung des Motors im Zeitintervall [0; 40] an. b) Gib die mittlere Leistung des Motors im Zeitintervall [60; 90] an. 86 Sandra hat im letzten Semester drei Tests geschrieben, bei welchen man jeweils 48 Punkte erreichen konnte. Sie bekam auf den ersten Test 26 Punkte, auf den zweiten 42 Punkte und auf den dritten 12 Punkte. Ermittle die absolute, die relative und die prozentuelle Änderung von Sandras Testergebnissen. a) Änderung von Test 1 zu Test 2: absolut relativ prozentuell b) Änderung von Test 1 zu Test 3: absolut relativ prozentuell 87 Gegeben ist der Graph der Funktion E: [0; 10] ¥ ℝ. E(t) beschreibt die Anzahl der an einem Grippevirus erkrankten Einwohnerinnen in einer Stadt zum Zeitpunkt t (in Tagen). Ermittle die absolute und die relative Änderung von E im Intervall [3; 10]. 88 Die Funktion P beschreibt die Gesamtkosten P(x) eines Produkts in Abhängigkeit von der gekauften Stückanzahl x. Ermittle die mittlere Änderungsrate von P in [10; 20], [30; 40] bzw. [10; 40] und interpretiere deine Ergebnisse. t E(t) 20 40 60 80 100 120 140 –20 400 800 1200 1600 0 E AN-R 1.1 M1 t E(t) 2 4 6 8 101214 200 400 600 800 0 E x P(x) P 5 101520253035404550556065 100 200 300 400 500 600 700 800 900 0 22 4 Untersuchen reeller Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Teil-1-Aufgaben Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: FA-R 1.2 Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen können FA-R 1.5 Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema) […] Periodizität, Achsensymmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen FA-R 1.8 Durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext deuten können, Funktionswerte ermitteln können AN-R 1.1 Absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können 89 Stelle die gesuchte Formel in Funktionsschreibweise dar und gib den Funktionstyp an. a) Volumen eines Zylinders V(r) = b) Mantel eines Zylinders M(h) = 90 Gegeben ist die Funktion f: ℝ ¥ ℝ mit f(x) = 1 _ 80 · x 4 – 1 _ 4 · x 3 + 33 _ 20 · x 2 – 4 · x + 1 699 _ 400 . Kreuze die beiden sicher zutreffenden Aussagen an. A f besitzt bei 2 und 8 globale Extremstellen. B f besitzt bei 2 und 8 lokale Minimumstellen. C f besitzt bei 5 eine globale Maximumstelle. D An der Stelle 5 findet kein Monotoniewechsel statt. E f ist in [9; 10] streng monoton fallend. 91 Gegeben ist die quadratische Funktion f: R ¥ R mit f(x) = 3 · (x – b)2 – 2, b * R+. Kreuze die beiden sicher zutreffenden Aussagen an. A f besitzt bei 2 eine lokale Minimumstelle. B An der Stelle b findet ein Monotoniewechsel statt. C f besitzt ein lokales Maximum. D f ist in (‒ •; b] streng monoton fallend. E f ist in (‒ •; 2] streng monoton fallend. 92 Gegeben ist die Funktion f mit f(m, n, o) = m · o2 _ n . Kreuze die beiden sicher zutreffenden Aussagen an. A Wenn nur m verdoppelt wird, verdoppelt sich der Funktionswert. B Halbiert man nur n, verdoppelt sich der Funktionswert. C Verdoppelt man nur n, wird der Funktionswert geviertelt. D Wenn nur n verdoppelt wird, verdoppelt sich der Funktionswert. E Halbiert man nur o, halbiert sich der Funktionswert. 93 Gegeben ist die Funktion f: R0 ¥ R. Berechne den Änderungsfaktor von f im Intervall [3; 7]. FA-R 1.2 M1 x f(x) f 2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 0 FA-R 1.5 M1 FA-R 1.5 M1 FA-R 1.8 M1 AN-R 1.1 M1 x f(x) f 2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 0 23 Untersuchen reeller Funktionen > Weg zur Matura > Tei®-1-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
FA-R 1.5 FA-R 1.8 FA-R 1.5 FA-R 1.8 AN-R 1.1 FA-R 1.2 AN-R 1.2 AN-R 1.2 Teil-2-Aufgaben 94 Fallende Körper Lässt man einen Körper fallen, so gilt für seinen zurückgelegten Weg: s (t) = g _ 2 · t 2 (g = 10 m/s2). (s in Meter, t in Sekunden) a) 1) Erkläre im Kontext, wo sich der Körper zum Zeitpunkt Null befindet. b) 1) t wird verdoppelt. Gib an, wie sich dies auf den Funktionswert auswirkt. c) 1) Welcher der abgebildeten Graphen ist ein möglicher Graph von s(t)? A B C D E d) Auf dem Mond ist die Beschleunigung ein Sechstel der Erdbeschleunigung. Auf dem Mars ist die Beschleunigung cirka das Doppelte der Mondbeschleunigung. 1) Kreuze die beiden sicher zutreffenden Aussagen an. A Ein Körper fällt auf dem Mond in doppelter Zeit doppelt so weit. B Fällt ein Körper auf dem Mars und auf dem Mond gleich lang, dann legt er auf dem Mars den doppelten Weg zurück. C Fällt ein Körper auf dem Mars dreimal so lange wie auf der Erde, dann legt er den dreifachen Weg zurück. D Ein Körper fällt auf der Erde in doppelter Zeit doppelt so weit. E Fällt ein Körper auf dem Mars zweimal so lange wie auf der Erde, dann legt er den zweifachen Weg zurück. 95 Grippevirus Gegeben ist der Graph der Funktion E: [0; 10] ¥ ℝ. E(t) beschreibt die Anzahl der an einem Grippevirus erkrankten Einwohner in einer Stadt zum Zeitpunkt t (in Tagen). a) Wofür steht der Ausdruck E(6) – E(3) __ E(3) · 100? 1) Kreuze die zutreffende Antwort an. A Der Ausdruck beschreibt die mittlere Änderungsrate von E in [3; 6]. B Der Ausdruck beschreibt den durchschnittlichen Zuwachs an Erkrankten pro Tag in [3; 6]. C Der Ausdruck gibt den prozentuellen Zuwachs an Erkrankten vom 3. bis zum 6. Tag an. D Der Ausdruck beschreibt den absoluten Zuwachs der Erkrankten in [3; 6]. E Der Ausdruck gibt die Anzahl der neu Erkrankten am 6. Tag an. b) 1) Zeichne eine Gerade, die den Graphen der Funktion E an den Stellen 7 und 9 schneidet. 2) Berechne die mittlere Änderungsrate von E in [7; 9]. 3) Erläutere den Zusammenhang zwischen den in b) 1) eingezeichneten Geraden und der mittleren Änderungsrate. KM2 t s s(t) 0 t s(t) s 0 t s(t) s 0 t s(t) s 0 t s(t) s 0 s M2 t E(t) 2 200 0 4 6 8 E 10 12 14 400 600 24 Untersuchen reeller Funktionen 4 Untersuchen reeller Funktionen > Weg zur Matura > Tei®-2-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
5.1 Potenzfunktionen Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten 96 Gegeben sind die Graphen von Potenzfunktionen der Form f(x) = xz, z * Z. Kreuze die zutreffenden Eigenschaften an. Die Buchstaben der zutreffenden Eigenschaften ergeben von rechts unten nach links oben zeilenweise gelesen ein Lösungswort: . x f(x) f 4 8 –8 –4 4 –4 0 x f(x) f 4 8 –8 –4 4 –4 0 x f(x) f 4 8 –8 –4 4 –4 0 x f(x) f 4 8 –8 –4 4 0 Exponent z gerade K L R E Exponent z ungerade D M U I Definitionsmenge: ℝ O R T H streng monoton steigend für x > 0 C S L N f ist gerade A E T F f ist ungerade P R A S 97 Gegeben ist eine Potenzfunktion f mit f(x) = xz, z * Z g. Kreuze an, welche Aussage auf alle Potenzfunktionen dieser Form zutrifft. A Der Graph von f geht durch den Punkt (‒1 1 ‒ 1). B f ist für x < 0 streng monoton fallend. C Der Graph von f ist symmetrisch bezüglich der y-Achse. D f besitzt ein globales Minimum. E Ist z positiv, dann ist f eine ungerade Funktion. 98 Gegeben sind die Graphen zweier Funktionen f und h mit f(x) = a · x3 + b und h(x) = c · x3 + d. Kreuze die beiden sicher zutreffenden Aussagen an. A a > 0, b < 0 B c = 1, d > 0 C a > c, b < d D c < 0, d ≠ 1 E a < 0, b > 0 M1 FA-R 3.1 M1 x y 2 4 6 8 10 –4 –2 2 4 –2 0 f h FA-R 3.2 5 Potenzfunktionen und Polynomfunktionen 25 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
99 Der Body-Mass-Index ist eine Maßzahl für die Klassifizierung des Körpergewichts m (in kg) eines Menschen im Vergleich zu seiner Größe l (in m). Er wird wie folgt berechnet: BMI = m _ l2 . Erkläre die Bedeutung der Funktion BMI mit BMI(l) = m _ l2 . Handelt es sich hierbei um eine Funktion der Form f(x) = a · xz + b? Wenn ja, bestimme die Parameter a, b und z. 100 Ordne dem Graphen der Funktion die entsprechende Funktionsgleichung bzw. Wertetabelle korrekt zu. Welche Funktionsgleichungen bleiben übrig? GRAPH WERTETABELLE FUNKTION 1) 2) 3) 4) 5) 6) GRAPHEN Graph A Graph B Graph C Graph D Graph E Graph F WERTETABELLEN Tabelle 1 Tabelle 2 Tabelle 3 x ‒ 2 ‒ 1 1 2 x ‒ 2 ‒ 1 1 2 x ‒ 2 ‒ 1 1 2 f(x) 0,75 3 3 0,75 f(x) 5 3,5 3,5 5 f(x) ‒2 ‒3 1 0 Tabelle 4 Tabelle 5 Tabelle 6 x ‒ 2 ‒ 1 1 2 x ‒ 2 ‒ 1 1 2 x ‒ 2 ‒ 1 1 2 f(x) ‒ 0,75 ‒ 3 ‒ 3 ‒ 0,75 f(x) 1 2,5 2,5 1 f(x) ‒ 2 1,5 2,5 6 FUNKTIONSGLEICHUNGEN a(x) = 0,5· x2 + 3 c(x) = 0,5· x3 + 2 e(x) = 2· x‒ 2 – 1 g(x) = ‒ 3 · 1 _ x2 b(x) = ‒ 0,5· x2 + 3 d(x) = 2· x‒ 1 – 1 f(x) = ‒ 3· x2 h(x) = 3· x‒ 2 x y 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 6 0 x y 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 –2 0 x y 2 4 6 8 –4 –2 2 4 6 0 x y 2 4 6 –4 –2 –6 –4 –2 0 x y 2 4 6 8 –4 –2 2 4 6 0 x y 2 4 6 8 –4 –2 2 –4 –2 0 26 Potenzfunktionen und Polynomfunktionen 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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