Mathematik Oberstufe Lösungswege Freiler | Marsik | Olf | Wittberger Arbeitsheft 5
Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Arbeitsheft + E-Book Schulbuchnummer: 205268 Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Arbeitsheft E-Book Solo Schulbuchnummer: 207901 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Unterricht vom 11. Juli 2022, BMBWF-GZ: 2020-0.674.294, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch für die 5. Klasse an allgemein bildende höheren Schulen - Oberstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Umschlagbild: Vladimir Vladimirov / Getty Images; robvanhal / Getty Images - iStockphoto Technische Zeichnungen: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig 1. Auflage (Druck 0002) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2022 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Christiane Schütz, Wien Herstellung: Raphael Hamann, Wien Umschlaggestaltung: Petra Michel, Gestaltung und Typografie, Amberg Layout: Petra Michel, Gestaltung und Typografie, Amberg Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne GmbH, Horn ISBN 978-3-209-11497-6 (Lösungswege OS AH 5 + E-Book) ISBN 978-3-209-12559-0 (Lösungswege OS AH 5 E-Book Solo) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
www.oebv.at Mathematik Oberstufe Lösungswege 5 Arbeitsheft Philipp Freiler Julia Marsik Markus Olf Markus Wittberger Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2 Inhalt Unterstufencheck 4 Zah®en und Rechengesetze Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens 10 1.1 Mengen 10 1.2 Zah®enmengen 12 1.3 Schätzen von Ergebnissen 14 1.4 Prozentrechnen 14 1.5 G®eitkommadarste®®ung 16 1.6 Das binäre Zah®ensystem 16 Tei®-1-Aufgaben 17 Tei®-2-Aufgaben 18 Terme 19 2.1 Termbegriff 19 2.2 Operieren (Rechnen) mit Termen 20 2.3 Aufste®®en und Interpretieren von Termen 21 Tei®-1-Aufgaben 22 Tei®-2-Aufgaben 23 G®eichungen G®eichungen und Forme®n 24 3.1 G®eichungen 24 3.2 Forme®n 25 Tei®-1-Aufgaben 27 Tei®-2-Aufgaben 28 Lineare G®eichungen und G®eichungssysteme 29 4.1 Lineare G®eichungen 29 4.2 Lineare G®eichungssysteme mit zwei Variab®en 32 Tei®-1-Aufgaben 35 Tei®-2-Aufgaben 36 Quadratische G®eichungen 37 5.1 Lösen quadratischer G®eichungen 37 5.2 Aufste®®en von quadratischen G®eichungen 39 5.3 Satzgruppe von VIETA 40 5.4 Quadratische Bruchg®eichungen 40 Tei®-1-Aufgaben 41 Tei®-2-Aufgaben 42 Funktionen Funktionen a®®gemein 43 6.1 Darste®®ung von Zuordnungen 43 6.2 Die Funktion – eine eindeutige Zuordnung 44 6.3 Funktionensprache 45 6.4 Nu®®ste®®e einer Funktion 47 6.5 G®eichungen graphisch ®ösen 47 Tei®-1-Aufgaben 48 Tei®-2-Aufgaben 49 Lineare Funktionen 50 7.1 Die Funktionsg®eichung der ®inearen Funktion 50 7.2 Graphen und Wertetabe®®en ®inearer Funktionen 50 7.3 Besondere Geraden 52 7.4 Lineare G®eichungen und G®eichungs- systeme graphisch ®ösen 53 7.5 Anwendungen von ®inearen Funktionen 54 7.6 Lineare Mode®®e und direkte Proportiona®ität 55 Tei®-1-Aufgaben 56 Tei®-2-Aufgaben 57 Nicht®ineare Funktionen 58 8.1 Quadratische Funktionen und Parabe®n 58 8.2 Variation der Parameter von f(x) = a(x – m)2 + n 58 8.3 Nu®®ste®®en einer quadratischen Funktion 60 8.4 Anwendungen quadratischer Funktionen 61 8.5 Gebrochen rationa®e Funktionen 62 8.6 Indirekte Proportiona®ität 63 8.7 Abschnittsweise definierte Funktionen 63 Tei®-1-Aufgaben 64 Tei®-2-Aufgaben 65 Trigonometrie Trigonometrie im rechtwink®igen Dreieck 66 9.1 Winke®funktionen 66 9.2 Auf®ösen von rechtwink®igen Dreiecken 67 9.3 Anwendungen in der Geometrie und Vermessungsaufgaben 68 Tei®-1-Aufgaben 69 Tei®-2-Aufgaben 70 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 Trigonometrie im a®®gemeinen Dreieck 71 10.1 Winke®funktionen für be®iebige Dreiecke 71 10.2 Erweiterung von Winkelfunktionen – Anwendungen 72 10.3 Sinus- und Cosinussatz 74 10.4 Vermessungsaufgaben 74 Tei®-1-Aufgaben 75 Tei®-2-Aufgaben 76 Vektorrechnung Vektoren 77 11.1 Einführung in die Vektorrechnung 77 11.2 Rechnen mit Vektoren 77 11.3 Geometrische Interpretation von Vektoren im R2 78 11.4 Geometrische Interpretation der Rechenoperationen 79 Tei®-1-Aufgaben 81 Tei®-2-Aufgaben 82 Geometrische Anwendungen von Vektoren 83 12.1 Abtragen von Strecken 83 12.2 Winke® zwischen zwei Vektoren 84 12.3 Finden von Norma®vektoren 85 Tei®-1-Aufgaben 86 Tei®-2-Aufgaben 87 Geraden 88 13.1 Parameterdarste®®ung einer Geraden 88 13.2 Lagebeziehungen und Schnittwinke® von Geraden 90 13.3 Norma®vektordarste®®ung einer Geraden 91 13.4 Lagebeziehungen zweier Geraden in der a®®gemeinen Form 92 13.5 Anwendungen 92 Tei®-1-Aufgaben 93 Tei®-2-Aufgaben 94 Anhang Lösungen 95 10 11 12 13 Zum Arbeitsheft Dieses Arbeitsheft ergänzt das Schulbuch Lösungswege 5. Es bietet vielfältige Aufgaben, die zwei Ziele bedienen: • das vertiefte Festigen von Grundkompetenzen • das gezielte Einüben von Matura-Aufgabenformaten Aufgabe mit einfachem Komp®exitätsgrad Aufgabe mit mitt®erem Komp®exitätsgrad Aufgabe mit hohem Komp®exitätsgrad Teil-1-Aufgaben in einem der Formate der schrift ®ichen Reifeprüfung kontextreduzierte Tei®-2-Aufgaben Aufgaben, die im Digitalen Zusatzmaterial durchgerechnet sind Teil-2-Aufgaben im Format der schrift®ichen Reifeprüfung Aufgaben die ohne TR zu ®ösen sind > Prozentrechnen 1 1 2 6 4 5 » M1 ó > Prozentrechnen 1 1 2 6 4 5 9 » M1 ó > Prozentrechnen 1 1 2 6 4 5 9 7 » M1 ó > Prozentrechnen 1 1 2 6 4 5 9 7 3 » M1 ó M2K > Prozentrechnen 1 1 2 6 4 5 9 7 3 8 » M1 ó M2K M2 > Prozentrechnen 1 1 2 6 4 5 9 7 3 8 » M1 ó M2K M2 > Prozentrechnen 1 1 2 6 4 5 9 7 3 8 » M1 ó M2K M2 > Prozentrechnen 1 1 2 6 4 5 9 7 3 » M1 ó M2K Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Ich kann mathematische Texte verstehen. 1 Lies den Text genau durch und kreuze die beiden richtigen Aussagen an. Zwei Lehrerinnen, Frau Ho®m und Frau Erikson, besichtigten an einem Montag im Juni mit ihren K®assen das Naturhistorische Museum in Wien. Frau Ho®m beg®eitete die 2 a (25 Schü®erinnen und Schü®er), Frau Erikson die 2 b (drei Kinder weniger a®s in der 2 a). Beide K®assen wurden von jewei®s einem Vater beg®eitet. An der Kassa zah®te Frau Erikson für beide K®assen 117,50 €. Das war vie® Ge®d, doch g®ück®icherweise mussten die Erwachsenen a®s Beg®eitpersonen nichts zah®en. Die beiden Väter freuten sich. Zusammen hatten sie 15 € gespart. A Die K®asse 2 b wird von 22 Schü®erinnen und Schü®ern besucht. B Frau Erikson beaufsichtigte mehr Kinder a®s Frau Ho®m. C Jedes Kind zah®te 3,50 € Eintritt im Museum. D Insgesamt waren es vier Erwachsene und 47 Kinder. E Jeder Erwachsene hätte regu®är 7€ Eintritt gezah®t. Ich kann die Potenzrege®n anwenden. 2 Vereinfache und gib die Lösung mit Hi®fe von Potenzen an. a) 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = d) x · x · y · y · x · y · y = b) 5 · 7 · 5 · 7 · 7 · 5 = e) 4 a · 4 a · 4 a · 4 a = c) 3 · u · u · u · 3 = f) 8 · 2 z · 8 · 2 z · 2 z · 8 · 8 = 3 Vereinfache, wenn mög®ich, und gib die Lösung mit Hi®fe von Potenzen an. a) 53 · 54 = e) 33 : 31 = i) (‒ 2,5 · z³ · w)2 = b) 70 + 71 = f) 9 s3 : (9 s2) = j) (‒ 6 a3) = c) (63 · 62) : 6 = g) (101)4 = k) 2 v 2 _ 5 k 3 2 = d) (8 g)2 · 84 = h) (45 f)3 = ®) 2 ‒ p _ 3 3 5 = ó Unterstufencheck Dieser Check hilft dir, die Kompetenzen, die du in der Unterstufe erworben hast, zu überprüfen. Führe ihn sorgfältig durch, um dich auf das kommende Schuljahr vorzubereiten. 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Ich kann eine Para®®e®e und eine Norma®e einzeichnen. Ich kann einen Punkt im Koordinatensystem ab®esen. 4 Eine Gerade g ist gegeben. a) Konstruiere eine Para®®e®e p durch den Punkt P = (0 1 0). b) Konstruiere eine zur Geraden g norma®e Gerade n, die durch den Punkt S = (2 1 0) geht. c) Gib den Schnittpunkt der beiden Geraden g und n an. Ich kann Zah®en auf einer Zah®engeraden einzeichnen. 5 Markiere die fo®genden Zah®en auf einer Zah®engeraden: a) 6,25; 0; ‒ 5 1 _ 2 ; ‒ 3,1; 2 3; 3 _ 4 b) 0,17; 0,22; 0,45; 0,7; 0,83; 0,99; 1,2; 1,34 Ich kann mit Termen rechnen. 6 Gegeben ist der Term 3 a + 1 _ 2 . Führe die Anweisungen nacheinander aus. a) 1) Verdopp®e den gegebenen Term: 2) Dividiere durch 3: 3) Addiere 3 b: 4) Verdreifache den Term: 5) Subtrahiere 4 b: 6) Mu®tip®iziere mit 1 _ 5 : b) Setze a = 2 und b = 3 ein. Berechne den Wert des Terms. 7 Vereinfache den Term. a) z + z + 2 z + z2 + 4 z2 + 3 = c) y + 3 y (y + 4) – y2 + 2 y = b) y + 3 y – y2 + 4 – 5 y2 + 4 y = d) 8 (x + 5 x2) – 3 x2 + x – 2 x + 7 = 1 2 3 4 5 –1 –1 –3 –2 1 2 3 4 0 y g x 6 7 8 0 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 1,3 1,4 1,5 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 ó ó 5 Unterstufencheck Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Ich kann den Satz des Pythagoras anwenden. Ich kann den Umfang und den F®ächeninha®t eines Dreiecks berechnen. 8 Von einem Dreieck sind die Längen d = 9,87cm, k = 10,22 cm und t = 6,53 cm gegeben. Berechne die Länge g, die Höhe h, den Umfang und den F®ächeninha®t des Dreiecks. Kreuze die richtigen Ergebnisse an. 7,40 cm 36,67 cm 50,25 cm2 11,83 cm 25,50 cm2 7,05 cm 33,67 cm Ich kann die binomischen Forme®n anwenden. 9 Forme mit Hi®fe der binomischen Forme®n um. a) (c – 5)2 = d) (4 + b)2 = b) x2 – 12 x + 36 = e) 9 – 6 h + h2 = c) (3 z – f)(3 z + f) = f) 25 n2 – v2 = 10 Wende die binomischen Forme®n an. a) (c3 + 5)2 = c) 2 a2 b – c _ 2 3 2 = b) (e2 – f2) (e2 + f2) = d) x 2 _ 4 + x y _ 4 + y2 _ 16 = Ich kann <, >, ª, und º anwenden. 11 Gib an, we®che natür®ichen Zah®en die Bedingung erfü®®en. a) 5 ª y < 7 L = { } c) 0 ª k < 1 L = { } b) 2 º g > 0 L = { } d) g ª 10 L = { } Ich kann mathematische Aussagen verstehen. 12 Ein Bauer besitzt K Kühe und H Hühner. Interpretiere die fo®gende G®eichung. a) H = 3 K Der Bauer b) K + 2 = H Der Bauer hat zwei mehr a®s h t g k d ó ó 6 Unterstufencheck Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Ich kann Bruchzah®en, Dezima®zah®en und Prozente umwande®n. 13 Ergänze die Tabe®®e. Bruch Dezima®zah® Prozent a) 1 _ 2 50 % b) 0,25 c) 0,125 d) 3 _ 4 e) 1 % Ich kann Einheiten umwande®n. 14 Wand®e die gegebenen Maße um! a) 10 m = mm = km = dm = cm b) 6 dag = kg = g = t c) 0,4 m2 = cm2 = dm2 = a d) 500 dm3 = m3 = ® e) 60 h = d = min = sek Ich kann Bruchzah®en und Dezima®zah®en nach ihrer Größe ordnen. 15 Setze <, > oder = ein. a) 1 _ 9 0,9 d) 0,11 110 _ 1 000 g) 0,7 72 _ 100 b) 99 _ 100 7 _ 10 e) 0,36 2 _ 5 h) 12 _ 10 1,1 c) 1 _ 3 1 _ 7 f) 45 _ 50 0,8 i) 1 _ 3 0,3 16 Berechne und kürze soweit wie mög®ich. a) 1 _ 3 · 3 _ 5 = d) 2 1 _ 6 : 1 _ 2 = g) 6 4 _ 7 – 2 3 _ 21 + 1 5 _ 6 = b) 7 1 _ 2 + 2 1 _ 9 = e) 6 _ 9 : 3 = h) 2 1 _ 4 · 2 _ 5 + 4 2 _ 4 : 1 1 _ 2 = c) 3 1 _ 4 – 4 _ 6 = f) 2 1 3 _ 5 – 2 1 _ 6 3 · 2 = i) 2 5 2 _ 7 – 3 4 _ 14 3 · 2 4 _ 5 + 6 _ 10 3 = ó ó ó ó 7 Unterstufencheck Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Ich kann Winke® ab®esen und Winke®arten bestimmen. Ich kenne die Basisbegriffe des Dreiecks und kann spezie®®e Dreiecke benennen. 17 1) Zeichne das rechtwink®ige Dreieck A = (‒ 5 1 0), B = (6 1 ‒1) und C = (1 1 5). Beschrifte die Seiten und Winke®. 2) Markiere die Katheten b®au und die Hypotenuse rot. 3) Kreuze an, we®ches spezie®®e Dreieck vor®iegt. g®eichseitig ung®eichseitig g®eichschenk®ig 4) Miss den Winke® α ab und kreuze die richtige Antwort an. 25° 29° 32° 45° 50° 5) Kreuze an, um we®chen Winke® es sich bei α hande®t. spitz vo®® erhaben stumpf gestreckt Ich kann G®eichungen ®ösen. Ich kann Zah®en den Zah®enmengen zuordnen. 18 1) Löse die G®eichung. a) 3 k + 8 – 17 = 5 (k + 4) – 10 b) ‒7b+1 _ 2 b2 – 9 = 2 · 2 1 _ 4 b2 – 1 3 2) Kreuze an, in we®chen Zah®enmengen die Ergebnisse von 1a) bzw. 1b) ®iegen. a) Q N R Z b) Q N R Z x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 –2 –3 –4 –1 0 ó 8 Unterstufencheck Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Ich kenne die in der Sekundarstufe 1 ge®ernten Forme®n zur Berechnung von F®ächeninha®ten. 19 Ordne den Figuren die passenden Flächeninhaltsformeln zu. 1 3 2 4 A B C D E F A = e · f _ 2 A = e 2 π A = e2 A = e · f A = f · g _ 2 A = (e + f) g _ 2 Ich kann Winke® messen. 20 Miss den Winke® ab. Schätze zuerst. a) b) Ich kann Berechnungen ohne Technologie durchführen. 21 Berechne die Ergebnisse. a) (5 – 6) · (‒ 3) + 10 – 4 · 9 = c) 7– 3·(5 + 2) – (‒11) = b) 30 –10 : 5 + 9·(3·1,5 – 2) = d) (‒7,5) : (‒2,5) + 3 – 2·4 = 22 Berechne die Ergebnisse. a) 92 – 1 _ 2 · 1 _ 2 = c) 2 3 + 52 – 1,73 = b) 3 · 42 + 2 · 1 _ 4 = d) 10 2 + 20 · 3 _ 4 – 1 5 = f e f e g f e g e M ó ó 9 Unterstufencheck Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.1 Mengen 23 Kreuze a®®e E®emente der angegebenen Zah®enmenge an. Die Summe der nicht angekreuzten Zah®en ergibt 369,1. a) Nu: 13 9 _ 9 88 1 0 66 35 9 12 34 b) P: ‒ 8 100 37 59 51 23 21 0 41 5 c) Z: ‒ 4 9 22 11 0 ‒ 5 6,7 ‒ 2,1 88 1 _ 2 Darste®®ung von Mengen 24 Gegeben ist ein Mengendiagramm. 1) Gib die dargeste®®te Menge in aufzäh®ender Darste®®ung an. 2) Gib die dargeste®®te Menge in beschreibender Form an. a) b) 25 Ordne die passenden Darste®®ungen der Mengen einander zu. 1 {x * N † 4 < x ª 10} A {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} 2 {x * N † 4 < x < 10} B {5; 6; 7; 8; 9} C {5; 6; 7; 8; 9; 10} D {4; 5; 6; 7; 8; 9} Beziehungen zwischen Mengen 26 Vervo®®ständige den fo®genden Satz, sodass er mathematisch korrekt ist. Gegeben sind die Mengen A, B und C. Wenn A = N und (1) , dann gi®t: (2) . (1) (2) C = Q C a A B = Ng B ² A C = Z A ² B 27 Gegeben sind die Mengen A = {0, 1, 2, 3}, B = {x * N † ‒ 2 < x < 5} und C = N+. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A B C D E A a C A ² B C ² B C ² N N a B AG-R 1.1 M1 ó 1 A 2 3 4 5 6 7 8 9 0 N B N 4 5 6 7 8 9 10 AG-R 1.1 M1 ó AG-R 1.1 M1 ó AG-R 1.1 M1 ó 1 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens 10 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Verknüpfung von Mengen 28 Die 5A fährt auf Sportwoche. Es sei S die Menge a®®er Schü®erinnen und Schü®er, die an dieser Schu®veransta®tung tei®nehmen, B die Menge der Schü®er und M die Menge der Schü®erinnen. Mit dem Buchstaben W wird die Menge der Schü®erinnen und Schü®er bezeichnet, die eine Wassersportart gewäh®t hat. Beschreibe jewei®s die Mengen unten in Worten. a) B ° W b) M ± W c) S \ W d) M \ B 29 Gegeben sind drei Mengendiagramme. Ordne den markierten Flächen die passende Verknüpfung zu. 1 2 A A ± B B A \ B C A ° B D B \ A 30 Gegeben ist ein Mengendiagramm. Gib die fo®genden Mengen in aufzäh®ender Darste®®ung an. a) A ± (B ° C) b) B \ (A ± C) 31 In einer Schulstufe wurden die Schü®erinnen und Schü®er befragt, we®chen Freizeitsport sie betreiben. Sie nannten Reiten, Laufen und Tennis. R ist die Menge der Personen, die Reiten wählten, L die Menge derer, die Laufen und T die Menge derer, die Tennis aussuchten. a) 1) Ordne jeder Menge jewei®s die passende Beschreibung zu. 1 T \ (R ± L) A Menge an Personen, die gern reiten oder ®aufen. 2 (T ± R) \ L B Menge an Personen, die gern Tennis spie®en, aber nicht reiten und ®aufen. C Menge an Personen, die gern Tennis spie®en oder reiten, aber nicht ®aufen. D Menge an Personen, die gern reiten und ®aufen. b) 1) Gib die blau markierte Fläche in Mengenschreibweise an. c) 1) Gib die Gesamtanzahl der befragten Schülerinnen und Schüler an. 2) Gib die Anzahl der Personen an, die Laufen oder Tennis genannt haben. óAG-R 1.1 M1 1 A B 3 4 5 6 7 8 12 10 2 1 A B 3 4 5 6 7 8 12 10 2 14 1 A C B 37 85 80 50 42 64 96 4 5 52 89 34 49 51 7 9 12 16 17 23 25 M2 AG-R 1.1 AG-R 1.1 T 7 5 15 3 9 4 11 R L AG-R 1.1 11 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens > Mengen und Mengendarstellungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.2 Zah®enmengen Menge der natür®ichen Zah®en 32 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. a) A Ng a Nu B Ng ± Nu = N C {0} ² N+ D {3; 6} ² N g E Nu ² N b) A Ng ² N B Ng ° Nu = 0 C {0} ² N D {122} a Nu E N ² N+ 33 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Die k®einste positive natür®iche Zah® ist größer a®s die k®einste natür®iche Zah®. B Jede natür®iche Zah® hat einen Nachfo®ger in N. C A®®e natür®iche Zah®en sind positive Zah®en. D Die k®einste natür®iche Zah® ist 1. E Jede natür®iche positive Zah® hat einen Vorgänger in N. 34 Kreuze an, durch we®che Zah®en die angegebene Zah® tei®bar ist. a) 1 234 567 890 A 2 B 3 C 4 D 6 E 8 F 9 b) 987 654 321 A 2 B 3 C 4 D 6 E 8 F 9 Menge der ganzen Zah®en / Betrag ganzer Zah®en 35 Gegeben sind r = ‒ 2, s = ‒ 5 und t = 7. Berechne den Wert des fo®genden Terms. a) 2 r + t – s c) 4 r – 2 s – t b) ‒ r + 6 s + 2 t d) ‒ 3 (‒ r – s – t) 36 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Jede natür®iche Zah® ist eine positive ganze Zah®. B A®®e natür®iche Zah®en sind in der Menge der ganzen Zah®en entha®ten. C Die Menge der ganzen Zah®en ist eine Tei®menge der Menge der natür®ichen Zah®en. D Jede positive ganze Zah® ist eine natür®iche Zah®. E Nu®® ist ein E®ement von Z+. 37 Ordne jeder Rechnung das passende Ergebnis zu. 1 |‒ 3 + 4| – |‒ 3 – 4| A 14 2 ‒ |‒ 3 – 4| + |‒ 3 – 4| B 6 C 0 D ‒ 6 Menge der rationa®en Zah®en / Rechnen mit rationa®en Zah®en („Bruchrechnen“) 38 Gib an, we®che Zah®en auf der Zah®engeraden markiert sind. A = B = C = D = E = F = G = H = I = óAG-R 1.1 M1 óAG-R 1.1 M1 ó óAG-R 1.1 M1 AG-R 1.1 M1 ó ó 0,12 0,14 0,16 0,18 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 –0,1 –0,08 –0,06 –0,04 –0,02 A B C D E F G H I –0,18 –0,16 –0,14 –0,12 12 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
39 Vervo®®ständige die Sätze, sodass sie mathematisch korrekt sind. Kreuze dazu die Kästchen neben den passenden Satztei®en an. Q ist die Menge der rationalen Zahlen. Jede rationa®e Zah® (1) . Q beinha®tet die Menge (2) . (1) (2) ist eine periodische Dezimalzahl a®®er Dezima®zah®en ist a®s Bruch darste®®bar der natür®ichen Zah®en ist eine end®iche Dezimalzahl a®®er Zah®en zwischen ‒1 und 1 40 Berechne und kürze so weit, wie mög®ich. Schreibe zur Se®bstkontro®®e die Buchstaben neben den Rechnungen über die korrekten Ergebnisse. Du erhä®tst ein Lösungswort. a) 3 _ 4 – 1 _ 2 · 2 _ 4 = P b) 2 1 _ 2 + 2 _ 6 3 · 2 _ 5 – 5 _ 10 = P c) 8 _ 10 : 2 _ 4 – 2 3 _ 5 + 2 _ 5 3 = T d) 3 _ 4 + 6 _ 8 · 1 _ 2 = A e) 1 _ 8 + 2 3 _ 16 – 2 _ 8 3 = O f) 2 4 _ 5 + 9 _ 10 3 · 1 _ 2 – 4 _ 5 = L LÖSUNGSWORT: 1 _ 20 1 1 _ 8 ‒ 1 _ 6 3 _ 5 1 _ 16 1 _ 2 Menge der ree®®en Zah®en 41 Schreib die gegebenen Zah®en in die passenden Bereiche. 9 _ 5; 2,74; 3 9 _ 8, 123; 7, _ 12; 0,0˙4 ; 2 _ 9 ; π, 9 _ 2 _ 3 42 Kreuze die beiden zutreffenden Antworten an. A Jede natür®iche Zah® hat einen Nachfo®ger in N. B Es gibt eine größte ganze Zah®. C Jede rationa®e Zah® ist auch eine ganze Zah®. D Die natür®ichen Zah®en sind eine Tei®menge der ree®®en Zah®en. E Jede ree®®e Zah® ist eine rationa®e Zah®. 43 Kreuze an, in we®chen Zah®enmengen die fo®gende Rechenoperation abgesch®ossen ist. a) Subtraktion A Q B N C R D Z b) Mu®tip®ikation A Q B N C R D Z AG-R 1.1 M1 ó ó N Z Q R AG-R 1.1 M1 ó 13 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens > Zahlenmengen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Ree®®e Interva®®e 44 Ergänze die feh®ende Darste®®ung des Interva®®s. (‒ 3; 8] (‒ •; 0] {x * R ‡ 1 ª x ª 5} {x * R ‡ x > 7} 45 Ordne die passenden Ausdrücke einander zu. a) 1 (‒ 3; 8] A {x * R ‡ ‒ 3 ª x ª 8} b) 1 (‒ •; 7] A {x * R ‡ x º ‒ 7} 2 (‒ 3; 8) B {x * R ‡ ‒ 3 < x < 8} 2 (‒ 7; 0) B {x * R ‡ x < 7} C {x * R ‡ ‒ 3 < x ª 8} C {x * R ‡ x ª 7} D {x * R ‡ ‒ 3 ª x < 8} D {x * R ‡ ‒7<x<0} 1.3 Schätzen von Ergebnissen Schätzwerte bei der Addition und Subtraktion 46 Schätze das Ergebnis. Kreuze die korrekten Schätzungen an. a) 12,25 + 20,10 – 80,95 – 100, 23 + 213,88 A 0 B ‒ 50 C 100 D 70 E 20 b) 0,78 + 1,39 + 10,70 – 23,89 + 71,66 – 17,23 A 0 B ‒ 40 C 30 D 40 E 80 Schätzwerte bei der Multiplikation und Division 47 Ordne die passenden Ergebnisse zu. a) b) 1 0,65·0,21 A 0,905 1 2 375 : 25 A 25 2 0,45·0,90 B 1,365 2 600 : 24 B 105 C 0,405 C 35 D 0,1365 D 95 1.4 Prozentrechnen 48 Schreib mit Hi®fe von Veränderungsfaktoren an. Beispie®: G wurde um 18 % erhöht. 1,18 · G a) G wurde um 27,4 % vermindert. b) G wurde auf 27,4 % vermindert. c) G ist um 4,3 % größer a®s H. d) G ist um 4,3 % k®einer a®s H. e) G wurde erst um 2,03 % erhöht und dann um 13 % vermindert. f) G wurde dreima® hintereinander um 5 % reduziert. óAG-R 1.1 M1 14 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
49 Setze den feh®enden Wert in den Lückentext ein. a) Nach einer 12-prozentigen Preiserhöhung kostet ein E®ektrogerät 201,60 €. Somit war der ursprüng®iche Preis Euro. b) Im Zuge einer 4-prozentigen Anhebung stieg ein Preis um 65,60 €. Somit betrug der Preis ursprüng®ich Euro. 50 Vervo®®ständige den fo®genden Satz, sodass er mathematisch korrekt ist. Wenn man einen Betrag B (1) , dann mu®tip®iziert man B mit (2) . (1) (2) auf 29 % vermindert 1,71 auf 129 % vergrößert 0,71 um 29 % vermindert 12,9 51 In einer Buntstiftfabrik werden monat®ich 750 000 Buntstifte produziert. 95 % der Stifte werden im Einze®hande® verkauft, da sie die Qua®itätsmerkma®e erfü®®en. 3 % der Stifte erfü®®en die Qua®itätsmerkma®e nicht (haben z.B. ®eichte Lackschäden) und werden nach Werksführungen verbi®®igt verkauft. Der Rest der Buntstifte ist Abfa®®. 1) Berechne, wie vie® Prozent der Buntstifte Abfa®® sind. 2) Ein Stift, der a®®e Qua®itätsmerkma®e erfü®®t, wird um 0,75 € verkauft, die Stifte mit den ®eichten Lackschäden um 25 c. Berechne die Einnahmen der Buntstiftfabrik in einem Quarta® (= drei Monate). 52 Eine Ware kostet ink®usive Mehrwertsteuer 400 €. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Wenn man den Preis der Waren ohne Mehrwertsteuer berechnen wi®®, rechnet man 400 · 2 100 – 20 __ 100 3. B Wird beim Kauf der Ware 20 % Rabatt gewährt, kostet die Ware genau so vie®, wie wenn man keine Mehrwertsteuer berechnet. C Die Ware kostet exk®usive Mehrwertsteuer etwa 333,33 €. D Wenn man den Preis der Waren ohne Mehrwertsteuer berechnen wi®®, rechnet man 400 · 2 120 – 20 __ 100 3. E Wird beim Kauf der Ware 20 % Rabatt gewährt, kostet die Ware weniger, a®s wenn man keine Mehrwertsteuer berechnet. AG-R 1.1 M1 ó óAG-R 1.1 M1 óAG-R 1.1 M1 15 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens > Prozentrechnen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.5 G®eitkommadarste®®ung 53 Ergänze die Tabe®®e. Festkommadarste®®ung 456,2013 0,00501 12 318,14 normierte G®eitkommadarste®®ung 1,305 · 10 8 0,072 · 10‒ 5 2,4001 · 10‒ 11 54 Schreib in Festkommadarste®®ung (ohne Verwendung von Zehnerpotenzen) an. a) 2,3087 · 108 c) 3,560 · 100 b) 0,0045 · 10‒ 3 d) 5,6903 · 104 55 Gegeben sind einige Zah®en: 600; 0,04; 50 ·10‒ 7; 300 000; 0,12 · 10‒ 2; 768; 31 _ 1 000 1) Gib a®®e Zah®en in normierter G®eitkommadarste®®ung an. 2) Ordne die Zah®en der Reihe nach von der k®einsten bis zur größten Zah®. 56 Vervo®®ständige den fo®genden Satz so, dass er mathematisch korrekt ist. Die Zah® (1) kann man auch fo®gendermaßen anschreiben: (2) . (1) (2) 652 · 103 m 6,52 · 103 mm 6,52 · 106 km 6,52 · 105 mm 6 520 · 105 dm 6,52 · 1010 mm 57 Gib an, womit man 5 nm multiplizieren muss, um 8 μm zu erhalten. 58 Die Menge Wasser in einem See wird auf 387079 hø geschätzt. 1) Stelle die Zahl in normierter Gleitkommadarstellung dar. hø 2) Gib die Flüssigkeitsmenge in Milliliter an. mø 1.6 Das binäre Zah®ensystem 59 Gib fo®gende Zah®en statt in binärer Darste®®ung in Dezima®darste®®ung an. a) 101010 b) 1011011 c) 1110111 60 Rechne in die binäre Darste®®ung um. a) (356)10 b) (202)10 óAG-R 1.1 M1 AG-R 1.1 M1 ó AG-R 1.1 M1 ó 16 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Tei®-1-Aufgaben Grundkompetenzen für die schrift®iche Reifeprüfung: AG-R 1.1 Wissen über die Zah®enmengen N, Z, Q, R verständig einsetzen 61 Zwischen Zah®enmengen gibt es bestimmte Beziehungen. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A B C D E Z+ a N g R a Z N a R+ Q+ a Q Z+ a N 62 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A 9 _ 7 _ 2 ist eine rationa®e Zah®. D 9 _ 5ist eine rationa®e Zah®. B 9 __ 121ist eine ganze Zah®. E 9 _ 8hat eine end®iche Dezima®darste®®ung. C 9 ___ 9,5 3˙ ist eine ree®®e Zah®. 63 Der Preis einer Ware sinkt zuerst um 20 % und wird zwei Monate später um 10 % erhöht. Ermitt®e, um wie vie® Prozent sich der Preis insgesamt verändert hat. % 64 Ordne jeder Menge das dazugehörige Interva®® zu. 1 {x * R ‡ – 2 < x ª 3} A 2 {x * N ‡ – 2 < x ª 3} B C D 65 Gegeben sind die Mengen A = {‒ 3, ‒ 2, ‒ 1, 0, 1, 2} und B = N. 1) Ste®®e die Menge A ° B in einem Venn-Diagramm dar. 2) Gib die Menge A \ B an. 66 Ordne jeder Beschreibung den passenden Rechenausdruck zu. 1 G wird um 5 % vermindert. A G · 0,9 2 G wird zuerst um 5 % vergrößert und dann um 5 % vermindert. B G · 1,05 · 0,95 C G · 1,05 D G · 0,95 67 Von in etwa neun Mi®®ionen Arten sind 2,2 Mi®®ionen Meerestiere. Das k®einste Lebewesen im Meer ist 400 Mi®®ionste® Mi®®imeter groß. Es ist eine Bakterie. Ste®®e die im Text vorkommenden Zah®en in normierter G®eitkommadarste®®ung dar. AG-R 1.1 M1 ó AG-R 1.1 M1 ó AG-R 1.1 M1 ó AG-R 1.1 M1 ó 2 3 4 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 AG-R 1.1 M1 ó AG-R 1.1 M1 ó óAG-R 1.1 M1 17 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens > Weg zur Matura > Tei®-1-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Tei®-2-Aufgaben 68 Mikroskope Es gibt verschiedene Mikroskope. a) Eine 0,43 · 10‒2 mm lange Alge wird im Elekronenmikroskop (Auflösung bis zu 120,5 ·10‒12 m) dargestellt und auf das 104-Fache vergrößert. 1) Ermittle, wie groß die Alge dargestellt wird. Gib die Größe der Alge in normierter Gleitkommadarstellung an. b) Ein Lichtmikroskop mit einer Auflösung von 190,38 Nanometern (nm) kann Gegenstände auf das bis zu 2 ·103-Fache vergrößert darstellen. Eine Kieselalge hat eine Länge von 39,8 Mikrometern (μm). 1) Gib an, wie groß diese Alge unter der oben genannten maximalen Vergrößerung im Lichtmikroskop dargestellt wird. c) Kieselalgen sind Fotosynthese betreibende Pflanzen und werden daher zur Biomasse der Erde gezählt. Die Landpflanzen machen mit einer Masse von 73,7·1014 g ca. 98,7% der Biomasse aus. 1) Argumentiere, dass unter dieser Bedingung die Biomasse nicht ca. 7,5 ·106 Tonnen betragen kann. d) 1) Zahlen in Fachtexten können zu unterschiedlichen Zahlenmengen gehören. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A 190,38 ist eine rationa®e Zah®. B 106 ist keine natür®iche Zah®. C 120,5 · 10‒ 12 ist eine irrationa®e Zah®. D 39,8 ist weder eine ganze, noch eine ree®®e Zah®. E 2 · 10³ ist eine natür®iche Zah®. 69 Energieverbrauch in Österreich a) Der Erdgasverbrauch wird in Österreich in Mi®®iarden Standardkubikmeter (gemessen bei 15° C und 1,013 mbar) ermitte®t. In Österreich wurden im Jahr 2016 um 3,75 % mehr Erdgas a®s im Jahr 2015 verbraucht und im Jahr 2017 um 9,64 % mehr a®s im Jahr 2016. Im Jahr 2018 war der Verbrauch um 4,4 % niedriger a®s im Jahr 2017, im Jahr 2019 war wieder ein Anstieg zu verzeichnen. Der Verbrauch stieg um 2,3 % und be®ief sich auf 8,9 Mi®®iarden Kubikmeter. 1) Gegeben ist der Ausdruck G ·1,0946. Interpretiere G im gegebenen Kontext. 2) Ermitt®e, wievie® Mi®®iarden Kubikmeter Erdgas jähr®ich 2016 in Österreich verbraucht wurden. b) 1) Der Unterschied zwischen zwei Angaben in Prozent, wird mit Prozentpunkten bezeichnet. Begründe, we®che der beiden Aussagen fa®sch ist: Aussage A: „Der Erdgasverbrauch sank von 2017 bis 2019 um ca. 0,2 Mi®®iarden Kubikmeter. Das sind ca. zwei Prozent.“ Aussage B: „Der Erdgasverbrauch sank von 2017 bis 2019 um ca. 0,2 Mi®®iarden Kubikmeter. Das sind ca. zwei Prozentpunkte.“ c) In einem Ort stehen drei Energieformen zur Versorgung von Haushalten zur Verfügung: Gas, Holz und Strom. G ist die Menge der Haushalte, die Gas verwendet, H die Menge der Haushalte, die mit Holz und S die Menge jener, die mit Strom versorgt wird. 1) Interpretiere die markierte Fläche im gegebenen Kontext. KM2 AG-R 1.1 AG-R 1.1 AG-R 1.1 AG-R 1.1 M2 AG-R 1.1 AG-R 1.1 AG-R 1.1 G S H AG-R 1.1 18 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens 1 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens > Weg zur Matura > Tei®-2-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2.1 Termbegriff 70 Berechne, wenn mög®ich, den Wert des gegebenen Terms für die gegebene Be®egung. Term Be®egung Wert a) T(u) = 9 ____ 5 u – 1 u = 10 b) T(s) = 1 _ s + 7 – 1 _ s – 7 s = 7 c) T(a, b) = a2 + b2 + 1 _ a + b a = 2, b = 3 d) T(r) = 1 _ r + 2 – r – 4 _ r r = 2 71 Gib die Definitionsmengen der Terme an. Die Lösungen sind zur Se®bstkontro®®e in der Tabe®®e darunter zu finden. a) T(a) = 9 _____ 2 a4 + a2 e) T(u) = u _ u + 1 b) T(y) = 9_ y f) T(x) = 1 _ 2 – x + 1 __ (x – 1) · (x + 1) c) T(b) = 9 ____ 2b – 4 g) T(x) = 5 ___ (x + 2) · (x – 3) · (x + 4) d) T(x) = 9 ___ x + 8 h) T(x) = 4 __ x · (4 – x) + 5 _ x + 3 ℝ ℝ \ {‒ 4; ‒ 2;3} [‒ 8; ∞) [0, ∞) [2; ∞] ℝ \ {‒ 1;1;2} ℝ \ {‒ 3;0;4} ℝ \ { – 1} 72 Gegeben ist die F®ächenforme® O = 2 r π h + r π s zur Berechnung der Oberf®äche eines Turmes. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A π ist eine Variab®e. B Jede Variab®e ist ein Term. C 2 r π h + r π s = 0 ist ein Term. D 2 r π h + r π s ist äquiva®ent zu r π (2 h + r). E π ist eine Zah®. ó ó M1 AG-R 1.2 ó 2 Terme 19 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2.2 Operieren (Rechnen) mit Termen Vereinfachen von einfachen Termen 73 Vereinfache den Term. a) (x + 3 x + 2) – (x + 2 x – 4) b) 9 x – 3 – [5 x + (2 x + 5) – 6] Rechnen mit Potenzen 74 Vereinfache jewei®s mit Hi®fe der Rechenrege®n für Potenzen. a) x 11 · x5 c) y14 : y3 e) (2 a7)3 · (3a2)2 b) y 5 n + 4 · y2 n – 1 d) (z2 n + 5)4 : (zn – 3)3 f) (x8)5 : x7 75 Terme mit Potenzen können unterschied®ich dargeste®®t werden. Ordne die äquiva®enten Terme einander zu. a) 1 a3 b · a2 b A ab b) 1 (a3 d)2 d A a5 d 2 a3 b : a2 b B a5 b 2 a3 d · a2 d B a6 d C a6 b2 C a6 d² D a6 b D a5 d² 76 Ergänze das entsprechende Produkt. · b a – b 5 + b2 a3 5 a b6 a2 n + 3 bn‒ 2 1 – (a b2)5 a3 – a b2 Binomische Forme®n 77 Berechne mit Hi®fe der binomischen Forme®n. a) (2 x + 9 y)2 b) (‒ 7 a5 – 2 b2)2 c) (‒ x3+ 2 y)2 d) (s6 + 5 t3) · (s6 – 5 t3) 78 Ergänze die feh®enden Einträge. a) (x2 + )2 = + 6 x2y + c) ( – )2= 16a4 – + 9 b6 b) ( – )2 = – 6 a6b3 + a10b2 d) (2 x3 + ) · ( – 5y) = 4x6– 25y2 ó ó ó M1 AG-R 1.2 ó ó ó 20 Terme 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Faktorisieren 79 Faktorisiere den Term vo®®ständig. a) 24 x7y5– 15x2y6+ 12 xy3 b) 9 x6– 30x3z2+ 25z4 c) 3 a4b4+ 36a3b5+ 108a2b6 80 Ein Term wurde feh®erhaft faktorisiert. Korrigiere die Feh®er. 15 x3 y3 z3 + 5 x2 y2 z2 – 10 x y4 z4 = 10 x2 y z3 (1,5 x y + 0,5 y z2 – x2 y2 z) 81 1) Zeige, dass die beiden Terme T1 und T2 ineinander übergeführt werden können. 2) Begründe, dass sie nicht äquiva®ent sind. T1 (t) = t2 – 6 t + 9 __ t – 3 und T2 (t) = t – 3 2.3 Aufste®®en und Interpretieren von Termen Aufste®®en von Termen 82 Ste®®e den passenden Term auf. a) Das um 3 vermehrte Doppe®te von b b) Das um 7 verminderte Quadrat der Hä®fte von u c) Das Quadrat der um 7 verminderten Hä®fte von u d) Das um 12,8 % verminderte Dreifache von z e) Das auf 4,12 % reduzierte Quadrat von y Interpretieren von Termen 83 Gib eine Interpretation für den gegebenen Term an. Kontext Interpretation 1) Ein rechteckiges Fe®d mit Länge ® und Breite b (in Meter) wird eingezäunt. Ein Meter Zaun kostet p Euro. 2 · (® + b) · p bezeichnet 2) Von den Endpunkten einer s km ®angen Strecke fahren PKWs A und B mit konstanten Geschwindigkeiten vA km/h bzw. vB km/h einander entgegen. 2 · v A bedeutet s _ v B bedeutet s _ v A + v B bedeutet 3) Eine m Jahre a®te Mutter hat eine t Jahre a®te Tochter und einen s Jahre a®ten Sohn. | s – t | bedeutet m – t bedeutet ó ó M1 AG-R 1.2 ó 21 Terme > Aufstellen und Interpretieren von Termen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Tei®-1-Aufgaben Grundkompetenzen für die schrift®iche Reifeprüfung: AG-R 1.2 Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Terme, [...] AG-R 2.1 Einfache Terme und Fomerln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können 84 Gegeben ist die F®ächenforme® O = r1 2 π + r 2 2 π + (r 1 + r2) π s zur Berechnung der Oberf®äche eines Verkehrshütchens (Kege®stumpf). Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A π ist eine Variab®e. B Jede Variab®e ist ein Term. C r1 2 π + r 2 2 π + (r 1 + r2) π s ist ein Term. D r1 2 π + r 2 2 π + (r 1 + r2) π s ist äquiva®ent zu r1 2 π + r 2 2 π + r 1 π + r2 π s. E Jeder Term ist eine Variab®e. 85 Eine Kerze ist um 7 Uhr h cm hoch. Sie brennt g®eichmäßig ab, mit einem stünd®ichen Höhenver®ust von d cm. Interpretiere den Term h – 3 · d. 86 Zwei Arbeiter A und B so®®en einen Sandhaufen von x kg abtragen. A schafft jede Stunde a kg, B bringt es auf b kg stünd®ich. Interpretiere den Term x _ a + b . 87 Die nachstehenden Angaben beziehen sich auf Unfä®®e im Hausha®t im Zeitraum von 2018 bis 2020. A ist die Anzah® der Unfä®®e im Hausha®t im Jahr 2018, davon a % mit ver®etzten Kindern. B ist die Anzah® der Unfä®®e im Hausha®t im Jahr 2019, davon b % mit ver®etzten Kindern. C ist die Anzah® der Unfä®®e im Hausha®t im Jahr 2020, davon c % mit ver®etzten Kindern. 1) Gib einen Term für die Gesamtanzah® G1 der Unfä®®e im Hausha®t mit ver®etzten Kindern im Jahr 2019 an. G1 = 2) Gib einen Term für die Gesamtanzah® G der Unfä®®e im Hausha®t mit ver®etzten Kindern im Zeitraum 2018 bis 2020 mit den Variab®en a, b, c, A, B, C an. G = 88 Gegeben sind vier Terme. Ordne jedem Term einen äquiva®enten Term zu. 1 12 x9– 12 x7 y3 + 3 x5 y6 A (x + 5) · (3 x3 – 15 x2) 2 (2 x – y3)2 B 27 x15 y21 C 4 x2 – 4 x y³ + y6 D 3 x5 · (2 x 2 – y3)2 M1 AG-R 1.2 ó M1 AG-R 2.1 ó M1 AG-R 2.1 ó M1 AG-R 2.1 ó M1 AG-R 1.2 ó 22 2 Terme > Weg zur Matura > Tei®-1-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Tei®-2-Aufgaben 89 Gartengesta®tung Frau Mock ist begeisterter Gärtner. a) In ihrem 108 m2 großen Garten hat sie vier quadratische Hochbeete mit jeweils a2 m2 Flächeninhalt, ein großes rundes Blumenbeet mit einem Durchmesser von drei Metern und ein quadratisches Gewächshaus mit einer Seitenlänge von x Metern. Der restliche Garten ist eine Grünfläche. 1) Gib einen Term an, mit welchem man den Flächeninhalt der Grünfläche ermitteln kann. b) Frau Mock baut ein weiteres quaderförmiges Hochbeet mit einer Länge von a, einer Breite von b und einer Höhe von c Metern. Dieses soll zu 80 % mit Erde befüllt werden. 1) Gib einen Term an, mit dem man die benötigte Füllmenge (in kg) berechnen kann. c) Frau Mock will die Grundfläche ihres quadratischen Gewächshauses verdreifachen. Dazu plant sie, beide Seitenwände auf die dreifache Länge zu vergrößern. 1) Argumentiere, dass diese Maßnahme nicht zu dem gewünschten Ergebnis führt und zeige das mithilfe einer Berechnung. d) Auch eine neue Terrasse ist geplant. Diese wird A m2 groß und soll mit quadratischen Steinplatten mit der Kantenlänge x gepflastert werden. Nun gibt es nur noch Platten mit einer um 15 % größeren Kantenlänge. 1) Gib einen Term an, mit dem die Anzahl der größeren Platten berechnet werden kann, die man für diese Terrasse benötigt. 90 Gerader Pyramidenstumpf Die Zeichnung zeigt einen geraden Pyramidenstumpf, die Forme® zur Berechnung des Vo®umens angegeben V = 1 _ 3 h (a2 b2 + 9 ______ a2 b2 · a1 b1 + a1 b1) a) 1) Gib an, we®che der fo®genden Aussagen im Zusammenhang mit den gegebenen Forme®n zutreffend sind. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Jede Variab®e ist ein Term. B V = 1 _ 3 h (a2 b2 + 9 ______ a2 b2 · a1 b1 + a1 b1) ist ein Term. C Der Wert von a1 b1 stimmt mit dem Wert von a2 b2 überein. D 1 _ 3 ist kein Term. E Jede Zah® ist ein Term. b) 1) Wie groß ist das neue Volumen, wenn die Höhe um 20 % vermindert wird. Kreuze die zutreffende Aussage an. A B C D E V · 0,8 V · 0,2 V · 1,2 V · 0,02 V _ 1,2 c) Für einen Pyramidenstumpf gilt: a1 = b1 = a2 = b2 = h. 1) Zeige, dass für diesen Körper dann V = a3 gilt. 2) Gib an, um welchen Körper es sich in diesem Fall handelt. M2K AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R 2.1 M2 Deckfläche h ha a2 a1 b1 b2 hb Grundfläche AG-R 1.2 AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R 2.1 23 Terme > Weg zur Matura > Tei®-2-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3.1 G®eichungen G®eichungen, Grundmenge, Definitionsmenge 91 Kreuze die Zah®en an, die Lösungen der G®eichung sind. Wenn die Ergebnisse korrekt und vo®®ständig sind, erkennst du den 11. Buchstaben des A®phabets. a) 3 x + 7 = ‒ 2 ‒ 6 _ 2 ‒ 0,5 ‒ 1 3 ‒ 3 ‒ 5 _ 3 b) 1,5 t – 6 = 0 4 0 ‒ 4 12 _ 3 2 1 _ 4 c) 18 = 2 w – 9 27 _ 2 18 _ 6 13,5 0 2 _ 8 18 d) 4 x = 2 x + 17 8,5 34 _ 4 17 _ 2 8 ‒ 8,5 3 e) z + 0,6 = ‒ 4 _ 10 ‒ 1 1 6 _ 5 ‒ 5 _ 5 3 ‒ 6 _ 5 f) 4 d + 3 = 2 d + 11 4 11 _ 3 2 3 12 _ 3 ‒ 8 _ 2 92 Ordne jeder Gleichung die passende Definitionsmenge zu. a) 1 13 _ x = 5 A {x * R ‡ x ≠ 5} b) 1 9 __ 3 x = 29 A {x * R ‡ x º 0} 2 x + 9 _ x – 9 = 1 B {x * R ‡ x ≠ 0} 2 9___ x+7=7 B {x * R ‡ x º ‒ 7} C {x * R ‡ x ≠ 9} C {x * R ‡ x > ‒ 7} D {x * R ‡ x ≠ ‒ 9} D {x * R ‡ x ≠ 0} G®eichungen ®ösen – Äquiva®enzumformungen 93 Gegeben ist die G®eichung a) 2 _ 3 x – 1 _ 2 = 1,5 b) 0,5 x – 2 = 3 x _ 2 . Führe die Äquiva®enzumformungen nacheinander aus und verg®eiche dein Endergebnis mit dem unten stehenden. a) b) Mu®tip®iziere mit 6. Addiere 2. Subtrahiere x. Mu®tip®iziere mit 2. Dividiere durch 4. Subtrahiere 33. Dividiere durch 2. Das Endergebnis ®autet: a) 3 x _ 4 – 67 _ 4 = – x _ 4 – 55 _ 4 b) x _ 2 – 19 = 2 x – 16 ó óAG-R 1.2 M1 ó 3 G®eichungen und Forme®n 24 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
94 Löse die G®eichungen. Die Summe der Ergebnisse ist –15,3. a) 5(5x + 9) = 3x + 2(x +1)10 x = b) 6 x (3 + 2) = 12 x + x + 14 x _ 2 + 10 x = c) 2 x2 + 19 = x (x + 4) – 9 x + x2 x = 95 We®che G®eichungen sind äquiva®ent (D = R)? Ordne zu. a) 1 7x+0,75=3 _ 4 A 4 x : 2 = 81 _ 27 · 2 b) 1 9 x – 2 x = 21 A 4 x : 2 = 81 _ 27 · 2 2 x – 2 x = 5 B 2,5 + 3 x = 130 _ 52 2 ‒ 2,5 x = 5 B x – 2 x = 5 C 0 = x – 2 C 0 = x – 2 D 16 x – 10 = 18 x D x _ 12 + 4 = 23 _ 6 Lösungsfä®®e bei G®eichungen 96 Gegeben ist die G®eichung 7x + 3 = 4 x + c. Setze für c einen Term ein, sodass die G®eichung die gegebene Anzah® von Lösungen besitzt. Kreuze die beiden mög®ichen Terme an. a) eine Lösung A 9 B (‒ 1) · (‒ 3 x + 3) C 3 x D 3 x + 3 E 0 b) unend®ich vie®e Lösungen A 27 + 27 x __ 9 B (‒ 1) · (‒ 3 x + 3) C 0 D 3 x + 3 E 9 c) keine Lösung A 0 B (‒ 1) · (‒ 3 x + 3) C 9 D 3 x + 3 E 3 x 3.2 Forme®n Umformen von Forme®n 97 Forme die Forme® nach der (den) angegebenen Variablen um. a) O = 4 r2 π r = b) V = G · h _ 3 G = h = c) h2 = p · q p = q = h = d) M = a · ha + b · hb ha = b = a = 98 Forme die Forme® nach den angegebenen Variab®en um. a) P = (a x – b x)2 __ 6 a = b = x = b) 1 _ f = 1 _ a + 1 _ b b = a = f = c) O = 2 (a b + a c + b c) b = a = c = ó AG-R 2.1 M1 ó ó 25 Gleichungen und Formeln > Formeln Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
99 Gegeben ist die Forme® a = (b + c) · d __ e · f . Kreuze die beiden richtigen Umformungen an. A a · e · f = (b + c) · d C e · f = (b + c) · d __ a E a · f = (b + c) · d __ e d B d = (b + c) · a __ e · f D f = (b + c) · d e __ a 100 Die F®agge der Dominikanischen Repub®ik besteht aus einem Rechteck, we®ches in vier k®einere Rechtecke (zwei b®aue und zwei rote) untertei®t ist. Diese Vierecke sind durch ein weißes Kreuz voneinander getrennt. (siehe Abbi®dung). Das Kreuz ist c cm breit, die k®eineren Rechtecke sind g cm breit und j cm ®ang. Dadurch ergibt sich die Forme® für den F®ächeninha®t des Kreuzes A = 2 c g + c2 + 2 c j. 1) Forme die Formel nach g und j um. g = j = Aufste®®en von Forme®n 101 Ein Pizzabäcker erk®ärt die Preise für seine Pizzen so: „Ich berechne einem Kunden für eine Pizza Margaritha (= Pizzateig, Tomatensauce, Käse) a €. Jede weitere Zutat kostet b € mehr, Kinder zah®en vom Gesamtpreis G nur 60 %.“ 1) Kreuze an, we®che Forme® den Preis einer Kinderpizza ausdrückt, x ist dabei die Anzah® der weiteren Zutaten. A G = (a · x + b) · 0,6 C G = 0,6 a + b x E G = 0,4 (a + b x) B G = 0,6 (a + b x) D G = 0,6 a + 0,6 b + 0,6 x 2) Gib eine Forme® zur Berechnung einer Erwachsenenpizza an. 102 In einem Wa®d sind 15 % der Bäume b, 20 % der Sträucher s und 30 % der krautigen Pf®anzen k geschädigt. Kreuze die Forme® an, die angibt, wie vie®e Pf®anzen geschädigt sind. A 0,85b + 0,8s + 0,7k C 15 b + 20 s + 30 k E 0,15 b + 0,2 s + 0,3 k B 0,15b + 0,8s + 0,7k D 85 b + 80 s + 70 k 103 Eine Firma produziert drei Arten von Kupferrohren. Jähr®ich werden s1 Stück von der Sorte A, s2 Stück von der Sorte B und s3 Stück von der Sorte C produziert. Der Stückpreis beträgt a € bei der Sorte A, bei der Sorte B ist der Stückpreis doppe®t so hoch wie bei Sorte A. Die Sorte C kostet nur ha®b so vie® wie die Sorte A. Ordne die korrekten Forme®n der Tabe®®e rechts den jewei®igen Angaben zu. 1 Anzah® a®®er produzierten Kupferrohre A F = a _ 2 2 Stückpreis der Sorte C B F = s1 + s2 + s3 C F = 2 a D F = s1 · a + s2 · 2 a + s3 · 0,5 a 104 Danie®a hat sich eine quaderförmige Ho®zkiste mit den Seiten®ängen a cm und b cm und der Höhe h cm gekauft. Diese möchte sie nun bunt bema®en. Die Kiste ist oben offen. Jede F®äche so®® innen und außen farbig gestrichen werden, der Boden der Kiste b®eibt a®®erdings außen unbehande®t. Ste®®e eine Forme® mit den Variablen a, b und h für die Berechnung der zu bema®enden F®äche auf. A = AG-R 1.2 M1 ó óAG-R 2.1 M1 óAG-R 2.1 M1 óAG-R 2.1 M1 AG-R 2.1 M1 ó 26 Gleichungen und Formeln 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Tei®-1-Aufgaben Grundkompetenzen für die schrift®iche Reifeprüfung: AG-R 1.2 Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variablen, Terme, Formeln, Gleichungen, Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit AG-R 2.1 Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können 105 Gegeben ist die Gleichung 5 a x – 4 · (2 + a) = b x mit a = 2,5. Bestimme den Wert für b so, dass die Gleichung keine Lösung besitzt. b = 106 Gesucht ist der F®ächeninha®t A der gegebenen Figur ABCD. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A A = (a + d)2 D A = 2 (a d + b c) B A = (x + y) · f __ 2 E A = x · 0,5 f + y · 0,5 f C A = x · 0,5 f + y · 0,5 c 107 Ordne jeder G®eichung eine äquiva®ente G®eichung zu. 1 0,125 x = 5 A x = 10 2 8 x _ 4 = 80 _ 2 B 0,1 x = 4 C 0,2 x = 80 D 2 x = 40 108 Gegeben ist die G®eichung f = (a + b) · c __ d – e . Forme die G®eichung nach b um. b = 109 Gegeben ist die G®eichung x _ 4 – 2 = 3 in x * R. Kreuze die beiden nachstehenden G®eichungen in x * R an, die zur gegebenen G®eichung äquiva®ent sind. A B C D E x _ 2 – 4 = 3 x – 8 _ 4 = 3 x _ 2 = 10 x _ 4 + 3 = 2 x – 2 _ 4 = 3 110 Die Abbildung zeigt den Querschnitt eines Dammes. Stelle mit den gegebenen Längenmaßen und den Variablen h und x eine Formel zur Berechnung der Länge l auf. l = óAG-R 1.2 M1 AG-R 2.1 M1 B C x y D a d b c A f ó AG-R 1.2 M1 ó AG-R 1.2 M1 ó AG-R 1.2 M1 ó 15 m l 60 m 8 m x h óAG-R 2.1 M1 27 Gleichungen und Formeln > Weg zur Matura > Tei®-1-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Tei®-2-Aufgaben 111 Wohnungsmiete Ein Immobi®ienmak®er vermietet in einer Apartmentanlage Büros. a) Die Miete für ein Büro beträgt m €. Der Betrag wird auf drei Mieterinnen aufgetei®t: Mieterin B zah®t 15 % weniger a®s Mieterin A und Mieterin C zah®t 120 € weniger a®s Mieterin B. Mieterin A zah®t x €. 1) Ste®®e eine G®eichung auf, um die Miete m für das Büro zu ermitte®n. b = Ein neues Gesetz reduziert die momentane Miete von 1 230 € auf 1 050 €. 2) Berechne, um wievie® Prozent die Miete reduziert wurde. b) Für ein anderes Büro zahlen vier Mieter 3460 €. Die Miete von Mieter P (in €) kann mit der Formel 3460 = 1 _ 4 x + x _ 16 + 3 3 _ 4 + 5,9375 x ermittelt werden. 1) Berechne die Miete. Verwende zum Lösen die Technologie und dokumentiere die eingegebenen Befehle. c) 1) Forme die Gleichung M = x + 0,5 x – 120 nach x um. x = 112 Wärmekapazität Die spezifische Wärmekapazität c gibt an, wie vie® Energie man benötigt, um 1 kg eines Stoffes um 1 °C zu erwärmen. Sie wird in kJ/(kg · K) gemessen. Wenn man die spezifische Wärmekapazität (c) und die Masse eines Stoffes (m) in Ki®ogramm, sowie die benötigten Temperaturen in Grad Ce®sius (C) oder Ke®vin (K) kennt, kann man berechnen, we®che Wärmemenge (Q) in Ki®oJou®e (kJ, Einheit der Wärmemenge) notwendig ist, um einen bestimmten Stoff zu erwärmen. Dazu verwendet man in der Physik die Forme®: Q = c · m · ΔT. Dabei ist ΔT die Differenz zwischen T1 (Anfangstemperatur) und T2 (Endtemperatur), a®so T2 – T1. Da nur mit Temperaturdifferenzen gearbeitet wird, ist es ega®, ob man in Ce®sius oder Ke®vin rechnet. Spezifische Wärmekapazitäten verschiedener Stoffe Stoff c in kJ/(kg · K) Stoff c in kJ/(kg · K) Stoff c in kJ/(kg · K) Wasser 4,19 Kupfer 0,38 Porze®®an 0,84 Luft 1,05 A®uminium 0,896 Ede®stah® 0,5 Eisen 0,452 Aspha®t 0,92 Sand 0,835 a) 1) Kreuze an, we®che beiden Umformungen der Forme® korrekt sind. Forme® Q _ m · ∆T = c Q _ m · c + T1 = T2 T1 _ m · c = Q – T2 ∆T _ c · Q = m Q __ c · (T 1 – T2) = m korrekt A B C D E b) 1) Ermitt®e die Wärmemenge, die man benötigt, um 150 ® Wasser von 14 °C auf 38 °C zu erwärmen. 2) Bestimme, um wie vie® Grad Ce®sius sich 4,8 kg Sand erwärmt haben, wenn die zugeführte Wärmemenge 70 kJ beträgt. c) Ein quaderförmiger Körper (m = 2 976 dag) wird durch eine Energiezufuhr von 350 kJ von ‒ 3 °C auf 11 °C erwärmt. 1) Gib an, um we®chen Stoff es sich deiner Meinung nach hande®t und begründe deine Aussage. KM2 AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R 1.2 M2 AG-R 1.2 AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R 2.1 28 Gleichungen und Formeln 3 Gleichungen und Formeln > Weg zur Matura > Tei®-2-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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