99 4.1 Kreisgleichungen Lernziele: º […]; aus einer Kreisgleichung Mittelpunkt und Radius bestimmen können (AG-L 5.1) º Kreisgleichungen in Koordinatenform und allgemeiner Form angeben können º Die Lagebeziehung eines Punktes zum Kreis ermitteln können Berechne 1) den Vektor ⎯ ⇀PQ 2) den Abstand zwischen den beiden Punkten und 3) eine Gleichung der Geraden durch diese Punkte. a) P = (− 3|4 ), Q = (5|9 ) b) P = (0|−3), Q = (1|−7) c) P = (− 6|−2), Q = (3|−9) Ein Kreis ist durch seinen Mittelpunkt M und durch seinen Radius r festgelegt. Es wird nun eine Gleichung (Kreisgleichung) ermittelt, deren Lösungen genau den Koordinaten aller Punkte X = (x|y ) auf der Kreislinie k entsprechen. Koordinatenform der Kreisgleichung Herleitung der Kreisgleichung für die Kreislinie k mit Radius r = 5und Mittelpunkt M = (− 3|2 ). Herleitung der Kreisgleichung für die Kreislinie k mit Radius r und Mittelpunkt M = (x M| y M). x y 2 4 –8 –6 –4 –2 2 4 6 –2 0 r = 5 k M = (– 3 1 2) X = (x 1 y) x y 2 4 6 8 10 –2 2 4 6 –2 0 r (y – yM) (x – xM) k M xM yM X = (x 1 y) Alle Punkte X auf der Kreislinie k zeichnen sich dadurch aus, dass sie den Abstand r = 5vom Mittelpunkt M = (− 3|2 ) haben: |⎯ ⇀MX | = 5 ⇒ |X − M| = |( x y ) − ( − 3 2)| = 5 ⇒ ⇒ |( x + 3 y − 2)| = 9 _____________ (x + 3) 2 + (y − 2) 2 = 5 ⇒ ⇒ k: (x + 3) 2 + (y − 2) 2 = 25 Alle Punkte X auf der Kreislinie k zeichnen sich dadurch aus, dass sie den Abstand r vom Mittelpunkt M = (x M| y M) haben: |⎯ ⇀MX | = r ⇒ |X − M| = |( x y ) − ( x M y M )| = r ⇒ ⇒ |( x − x M y − y M )| = 9 _______________ (x − x M) 2 + (y − y M) 2 = r ⇒ ⇒ k: (x − x M) 2 + (y − y M) 2 = r 2 Aus dieser Koordinatenform erhält man durch Berechnung der Binome und durch Zusammenfassen der Terme die allgemeine Form der Kreisgleichung. k: (x + 3) 2 + (y − 2) 2 = 25 ⇒ (x 2 + 6 x + 9) + (y 2 − 4 y + 4) = 25 ⇒ x 2 + y 2 + 6 x − 4 y = 12 Die Kreisgleichung Alle Punkte P = (x|y ) auf der Kreislinie k des Kreises mit dem Mittelpunkt M = (x M| y M) und dem Radius r erfüllen die Kreisgleichung k: (x − x M) 2 + (y − y M) 2 = r 2 (Koordinatenform der Kreisgleichung). Die allgemeine Form der Kreisgleichung erhält man durch Berechnung der Binome und Zusammenfassen der Terme. Kompetenzen Vorwissen 327 Ó Technologie Darstellung Kreisgleichung p6w978 Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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