AN-R 3.3 FA-R 1.7 AN-R 1.3 AN-R 3.3 AN-R 1.3 AN-R 3.3 AN-R 3.3 AN-R 1.3 95 Modell einer Rutsche In der Abbildung ist das seitliche Profil einer Wasserrutsche dargestellt. Dieses ist durch den Ausschnitt eines Graphen einer Polynomfunktion f mit f(x) = 0,025 x3 − 0,268 x2 − 0,09 x + 5 modelliert. (x in Meter, f(x) in Meter) x f(x) f 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 0 a) 1) Berechne jene Stelle, an der die Rutsche am steilsten ist. b) 1) Berechne mit Hilfe von Technologie jene Stelle, an der die Rutsche endet. 2) Gib die Steigung der Tangente am Ende der Rutsche an. c) 1) Das Seitenprofil der Rutsche wurde durch eine Polynomfunktion dritten Grades der Form f(x) = a x3 + b x2 + c x + dmit a ≠ 0modelliert. Begründe mit Hilfe der zweiten Ableitung von f, warum diese Funktion genau eine Wendestelle besitzen muss. Geschwindigkeit eines Autos Die Abbildung zeigt das Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm eines Autos in Abhängigkeit von der Zeit t in den ersten 48 Sekunden. (v in m/s, t in Sekunden). Das Fahrzeug erreicht nach 24 Sekunden die maximale Geschwindigkeit von 23,04 m/s. Die mittlere Änderung der Geschwindigkeit in [t1; t2] ist die mittlere Beschleunigung (in m/s 2) in [t 1; t2]. Die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit an der Stelle t ist die momentane Beschleunigung an der Stelle t. a) 1) Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Die Beschleunigung des Fahrzeugs ist nach 24 Sekunden maximal. B Die Beschleunigung ist für 0 < t < 24 positiv. C Der Graph der Beschleunigungsfunktion ist für 0 < t < 48 streng monoton fallend. D Die Beschleunigung ist nach 15 Sekunden größer als nach 10 Sekunden. E Die Beschleunigung ist nach 48 Sekunden gleich null. b) Die Funktion v kann durch eine Funktion der Form v(t) = a t2 + b t + cbeschrieben werden. 1) Stelle ein Gleichungssystem auf, mit dem man die Koeffizienten a, b und c der Gleichung bestimmen kann. 2) Löse das Gleichungssystem und gib die Funktionsgleichung von v an. c) Ein anderes Fahrzeug bewegt sich gemäß der Zeit-Geschwindigkeitsfunktion v mit v(t) = − 1 _ 20 t 2 + 2,5 t(v in m/s, t in s) in den ersten 50 Sekunden. 1) Berechne die maximale Geschwindigkeit des Fahrzeugs. M2 317 M2 318 t v(t) 10 20 30 40 50 10 20 30 40 0 v Weg zur Matura Untersuchung von Polynomfunktionen > Teil-2-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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