91 Untersuchung von Polynomfunktionen > Extremwertaufgaben Zusammenfassung Monotonie einer Funktion f mit Hilfe von fʹ Für eine Polynomfunktion f gilt: º fʹ(x) > 0 für alle x ∈ (a; b) ⇒ f ist in [a; b] streng monoton steigend. º fʹ(x) < 0 für alle x ∈ (a; b) ⇒ f ist in [a; b] streng monoton fallend. Krümmung einer Funktion f Eine Funktion f: D → R mit [a; b] ist eine Teilmenge von D heißt º linksgekrümmt in [a; b], wenn fʹ in [a; b] streng monoton steigend ist. º rechtsgekrümmt in [a; b], wenn fʹ in [a; b] streng monoton fallend ist. º einheitlich gekrümmt in [a; b], wenn f in [a; b] nur linksgekrümmt oder nur rechtsgekrümmt ist. f″(x) > 0 für alle x ∈ (a; b) ⇒ f linksgekrümmt in [a; b] f″(x) < 0 für alle x ∈ (a; b) ⇒ f rechtsgekrümmt in [a; b] Nullstellen und Extremstellen einer nicht konstanten Polynomfunktion f º p ist Nullstelle von f. ⇒ f(p) = 0 º fʹ(p) = 0 und f ändert an der Stelle p ihr Monotonieverhalten. ⇒ p ist eine lokale Extremstelle. º Ist fʹ(p) = 0 und f″(p) < 0, dann ist p eine lokale Maximumstelle von f. Der Punkt P = (p | f(p)) wird Hochpunkt genannt. º Ist fʹ(p) = 0 und f″(p) > 0, dann ist p eine lokale Minimumstelle von f. Der Punkt P = (p | f(p)) wird Tiefpunkt genannt. Wendestellen einer nicht konstanten Polynomfunktion f º Eine Stelle p heißt Wendestelle einer Funktion f, wenn sich an der Stelle p das Krümmungsverhalten von f ändert. Der Punkt P = (p | f(p)) wird Wendepunkt genannt. º f″(p) = 0 und f ändert an der Stelle p ihr Krümmungsverhalten ⇒ p ist Wendestelle º Sei f: D → ℝ mit p ∈ D eine Polynomfunktion, dann gilt: Ist f″(p) = 0 und f‴(p) ≠ 0, dann ist p eine Wendestelle von f. Sattelstelle /Terrassenstelle einer nicht konstanten Polynomfunktion f Ist fʹ(p) = 0 und findet an dieser Stelle kein Monotoniewechsel statt, dann nennt man p eine Sattel- oder Terrassenstelle. Wendetangente Ist p eine Wendestelle einer Funktion f, dann nennt man die Tangente von f an der Stelle p Wendetangente von f. Extremwertaufgaben Hauptbedingung ⇒ Funktion, die an einer Stelle einen Minimal- bzw. Maximalwert annimmt. Nebenbedingung ⇒ Gleichung, die einen Zusammenhang zwischen den Variablen der Hauptbedingung beschreibt. Zielfunktion ⇒ Funktion, die man erhält, wenn man aus der Nebenbedingung eine Variable durch die andere ausdrückt und in die Hauptbedingung einsetzt. Von der Zielfunktion werden die lokalen Extremstellen berechnet. x f(x) 2 6 8 10 –2 2 4 6 –2 0 f Wendepunkt Hochpunkt Tiefpunkt Nullstelle x f(x) 2 4 6 8 10 –2 2 4 6 –2 0 f Sattelpunkt Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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