90 Untersuchung von Polynomfunktionen > Extremwertaufgaben 3 Welcher Kegel mit der Erzeugenden s = 9 _ 10cm hat das maximale Volumen? Bestimme die Maße des Kegels und den maximalen Rauminhalt. Nebenbedingung mit dem Strahlensatz Neben dem Satz von Pythagoras kann beim Auftreten von ähnlichen Dreiecken auch der Strahlensatz zum Aufstellen einer Nebenbedingung verwendet werden. In ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen 12 cm und 8 cm soll ein Rechteck mit größtmöglichem Flächeninhalt so eingeschrieben werden, dass eine Ecke im rechten Winkel liegt. Welche Seitenlängen hat das Rechteck? 1. Für die Hauptbedingung gilt: A(a, b) = a · b. 2. Das Dreieck ABC ist ähnlich zum Dreieck A 1 B 1 C. Daher gilt nach dem Strahlensatz 12 : 8 = b : (8 − a) (Nebenbedingung) 3. Das Auflösen der Proportion ergibt: 8 b = 12 · (8 − a) ⇒ b = 12 (8 − a) _ 8 = 3 (8 − a) _ 2 = 12 − 1,5 a Daraus ergibt sich für die Zielfunktion A(a) = a · (12 − 1,5 a) = 12 a − 1,5 a 2. 4. Die Nullstelle der ersten Ableitung liefert die Extremstelle: Aʹ(a) = 12 − 3 a = 0 ⇒ a = 4 5. Es gilt A″(4) < 0. An der Stelle a = 4 liegt daher ein lokales Maximum für A. 6. Aus der Nebenbedingung folgt b = 12 − 1,5 · 4 = 6 cm. Das Rechteck mit dem maximalen Flächeninhalt hat die Abmessungen a = 4cm und b = 6 cm. Einem gleichschenkligen Dreieck mit der Höhe h = 8 cm und der Basislänge c = 10 cm wird ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt eingeschrieben. Berechne den Flächeninhalt. Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Basislänge c = 4 cm und die Höhe h = 3 cm. Dem Dreieck wird ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt eingeschrieben. In welchem Verhältnis steht der Flächeninhalt des Dreiecks zu dem des Rechtecks? Dem Dreieck ABC mit der Länge c = 12 cm und der Höhe h = 6 cm ist das flächengrößte Rechteck PQRS einzuschreiben. Eine Rechteckseite liegt auf c. Berechne die Maße des Rechtecks. Einem Drehkegel mit dem Radius R = 60 cm und der Höhe H = 80 cm soll ein achsengleicher Drehzylinder so eingeschrieben werden, dass seine Mantelfläche möglichst groß wird. Bestimme die Abmessungen des Drehzylinders und die maximale Mantelfläche. Einem Drehkegel mit den Radius R und der Höhe H soll ein achsengleicher Drehkegel mit maximalem Volumen so eingeschrieben werden, dass seine Spitze im Mittelpunkt des Basiskreises des gegebenen Drehkegels liegt. Bestimme die Maße des eingeschriebenen Drehkegels. 301 Ó Arbeitsblatt Extremwertaufgaben r4sp5y C A1 B1 A B b a b 12 cm 8 cm 8 – a Muster 302 303 304 C A h B c 305 C S A P c Q B R h – y y h x h y 306 Ó Arbeitsblatt Extremwertaufgaben 7ty6dj 307 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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