9 Gleichungen höheren Grades > Lösen durch Herausheben und durch Substitution Horner’sche Regel a n − b n = (a − b) · (a n−1 + a n−2 ·b + an−3 · b 2 +…+a2 · b n−3 + a·bn−2 + b n−1) a, b ∈ ℝ, n ∈ ℕ \ {0} Löse die Gleichung x3 − 8 = 0 in ℝ. Nach der Regel von Horner gilt: x 3 − 8 = x 3 − 2 3 = (x − 2) · (x 2 + x·2 + 22) = (x − 2) · (x 2 + 2 x + 4). Wegen des Produkt-Null-Satzes gilt für die Gleichung (x − 2) · (x 2 + 2 x + 4) = 0: x − 2 = 0oder x2 + 2 x + 4 = 0 → x 1 = 2oder x2,3 = − 1 ± 9 _1 − 4 = − 1 ± 9 _ − 3 ∉ ℝ. Die Lösungsmenge lautet: L = {2}. Zeige, dass die Gleichung nur eine reelle Lösung besitzt. a) x 3 − 27 = 0 c) x 3 − 125 = 0 e) x 3 + 1 _ 8 = 0 b) x 3 − 64 = 0 d) x 3 + 1 = 0 f) x 3 + 1 _ 27 = 0 Tipp: Beachte, dass x3 +1=x3 − (− 1) 3 gilt. Zeige durch Ausmultiplizieren die Gültigkeit der Horner’schen Regel in ℝ. Löse die Gleichung in ℝ mithilfe der binomischen Formel und der Horner’schen Regel. a) x 6 − 1 = 0 b) x 6 − 64 = 0 c) x 6 − 729 = 0 d) x 6 − 4 096 = 0 Tipp: x 6 − 1 = (x 3 − 1) (x 3 + 1) Faktorisieren Geogebra: Faktorisiere(Term) Faktorisiere(x2 − 9) (x + 3) (x – 3) Casio: factor(Term) factor (x2 – 64) (x – 8) (x + 8) TI-Nspire: factor(Term) factor(x4 − 16) (x + 2) (x – 2) (x2 + 4) Wenn möglich, können auch mehrgliedrige Terme herausgehoben und danach die binomischen Formeln, die Horner’sche Regel bzw. die Lösungsformel für quadratische Gleichungen angewendet werden. Löse die Gleichung (x 2 − 1) (x 2 − 1) − 15 (x 2 − 1) = 0in der Menge der reellen Zahlen. Hebe den Faktor x2 − 1heraus: (x 2 − 1) (x 2 − 1 − 15) = (x 2 − 1) (x 2 − 16) = 0. Nach dem Produkt-Null-Satz gilt: x2 − 1 = 0oder x2 − 16 = 0. Die Lösungen der beiden Gleichungen lauten x 1 = 1, x2 = − 1, x 3 = 4, x4 = − 4. L = {4; − 1; 1; 4} Löse die Gleichung durch Faktorisieren in der Menge ℝ. a) 4 x 2 (x − 2) − (x − 2) = 0 d) (x 2 + 2 x) (x 2 − 4) = 15 (x 2 − 4) b) 2 5 x 2 (x + 1) − (x + 1) = 0 e) (x 2 − 1) (x 2 + x) − 20 (x 2 − 1) = 0 c) x 2 (x − 5) = 3 x (x − 5) f) (x 2 − 3 x − 40) (x 2 + 50) = 2 x (x 2 − 3 x − 40) Merke Muster 8 t 9 10 t 11 Technologie Muster 12 t 13 Ó Arbeitsblatt Lösen von Gleichungen wm7rv2 Ó Technologie Anleitung Faktorisieren 26qp57 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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