89 Untersuchung von Polynomfunktionen > Extremwertaufgaben Nebenbedingung mit dem Satz von Pythagoras Eine weitere Möglichkeit für eine Nebenbedingung stellt der Satz von Pythagoras dar, wenn in der Angabe einer Extremwertaufgabe keine weiteren Größen gegeben sind. Bestimme die Seitenlängen a und b desjenigen Rechtecks, das bei gegebener Diagonalenlänge d = 5 9 _ 2cm maximalen Flächeninhalt A hat. 1. Die Hauptbedingung ist der Flächeninhalt des Rechtecks: A(a, b) = a · b 2. Die Nebenbedingung ergibt sich durch Anwenden des Satzes von Pythagoras auf das rechtwinklige Dreieck ABC: a 2 + b 2 = d 2 ⇒ a 2 + b 2 = (5 9 _ 2 ) 2 = 50 3. Drückt man mithilfe der NB zum Beispiel b = 9 _50 − a 2 aus, erhält man die Zielfunktion A(a) = a · 9 _50 − a 2 . 4. Durch Quadrieren ergibt sich eine Vereinfachung der Zielfunktion: f(a) = A 2(a) = a 2 · (50 − a 2) = 50 a2 − a 4 Es ändert sich dadurch die lokale Maximumstelle nicht, weil der größte Funktionswert auch stets das größte Quadrat besitzt. A(a) und A2(a) = f(a) besitzen im selben Definitionsbereich dieselben Extremstellen. Danach wird mit der ersten Ableitung die Maximumstelle bestimmt: fʹ(a) = 100 a − 4 a 3 = 0 ⇒ a = 0, a = − 5 (nicht sinnvoll) oder a = 5. 5. Ü berprüfen des kritischen Werts a = 5 mit der 2. Ableitung: A″(5) < 0 ⇒ lokales Maximum 6. Aus der Nebenbedingung ergibt sich b = 9 _50 − a 2 = 5 cm. Das Rechteck mit den Maßen a = b = 5 cm (Quadrat) hat bei gegebener Diagonalenlänge d = 5 9 _ 2cm den maximalen Flächeninhalt. Einer Kugel mit a) R = 20 cm b) R = z cm werden Drehzylinder eingeschrieben. Berechne die Abmessungen und das Volumen jenes Zylinders, der das größte Volumen hat. Einer Kugel mit dem Radius a) R = 8 cm b) R = z cm soll ein Drehkegel mit dem größtmöglichen Volumen eingeschrieben werden. Berechne die Abmessungen und das Volumen dieses Drehkegels. Aus einem Baumstamm mit einem Durchmesser von 80 cm soll ein Balken mit dem größtmöglichen rechteckigen Querschnitt herausgeschnitten werden. Berechne die Abmessungen des Balkens. Einer Halbkugel mit dem Radius a) R = 10 cm b) R = z cm ist ein Zylinder mit möglichst großem Volumen einzuschreiben. Berechne den Radius r und die Höhe h des Zylinders. Welches gerade quadratische Prisma mit der Raumdiagonale d = 2 9 _ 3cm hat das größte Volumen? Bestimme die Maße des Prismas und den maximalen Rauminhalt. Muster 295 d D A B C b a 296 297 298 299 r h R 300 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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