87 3.6 Extremwertaufgaben Lernziel: º Extremwertaufgaben mit Hilfe der Differentialrechnung lösen können Eine Anwendung der Differentialrechnung ist die Bestimmung von Extrema in verschiedenen alltäglichen Bereichen. Ein Bauer möchte mit einem 30 m langen Maschendraht einen möglichst großen rechteckigen Auslauf für seine Hühner abstecken. Wie lang und wie breit wird der Auslauf? Dazu geht man in mehreren Schritten vor: 1. Aufstellen der Hauptbedingung (HB) a b Die zu optimierende Größe (hier der Flächeninhalt) wird als Hauptbedingung bezeichnet. Für den Flächeninhalt A eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b gilt: A (a, b) = a · b. Die Hauptbedingung kann als Funktion mit zwei Variablen aufgefasst werden. 2. Finden der Nebenbedingung (NB) Die Nebenbedingung wird benötigt, um aus der Hauptbedingung mit zwei Variablen eine mit nur einer Variable zu machen. Dazu kann in diesem Fall die Länge des Maschendrahtes verwendet werden, die dem Umfang des Rechtecks entspricht: 2 · (a + b) = 30. 3. Aufstellen der Zielfunktion Drückt man nun aus der Nebenbedingung eine Variable durch die andere aus und setzt in die Hauptbedingung ein, entsteht eine Funktion, die nur mehr von einer freien Variablen abhängt: 2 · (a + b) = 30 ⇒ a + b = 15 ⇒ a = 15 − b Zielfunktion: A(b) = (15 − b) · b = 15 b − b 2 Stellt man die Zielfunktion A(b) graphisch dar, erkennt man bereits, dass es an einer Stelle b ein Maximum gibt. Den größtmöglichen sinnvollen Definitionsbereich für b kann man durch Berechnung der Nullstellen von A ermitteln. Hier gilt D = [0; 15]. b A(b) 4 8 12 16 20 40 60 0 A 4. Berechnung der lokalen Extremstelle An der Maximumstelle ist die erste Ableitung von A null: A ʹ(b) = 15 − 2 b = 0 ⇒ b = 7,5. 5. Kontrolle Der Wert b = 7,5wird als kritischer Wert bezeichnet, da die Zielfunktion entweder an dieser Stelle oder am Rand des Definitionsbereichs bei b = 0oder b = 15(man spricht dann von einem Randextremum) maximal werden kann. Wie man anhand des Graphen erkennt, liegt bei 7,5 die gesuchte Maximumstelle. Rechnerische Überprüfung: Da A ″(7,5) < 0gilt, liegt bei b = 7,5 mdas lokale Maximum. Der maximale Flächeninhalt ist A(7,5) = 56,25 m2. 6. Berechnung der zweiten Größe Die zweite Größe wird aus der Nebenbedingung berechnet: a = 15 − b = 15 − 7,5 = 7,5 m. Das Rechteck mit den Abmessungen a = b = 7,5 m hat bei einem gegebenem Umfang u = 30 m den maximalen Flächeninhalt. Es handelt sich um ein Quadrat. Kompetenzen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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