83 3.5 Auffinden von Polynomfunktionen Lernziel: º Polynomfunktionen mit bestimmten Eigenschaften aufstellen können Grundkompetenz für die schriftliche Reifeprüfung: AN-R 3.3 E igenschaften von Funktionen mit Hilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen Bis zu diesem Kapitel waren Polynomfunktionen angegeben. Diese wurden anschließend z.B. auf Nullstellen, Extremstellen, Wendestellen untersucht. Manchmal sind aber bestimmte Eigenschaften gegeben und es ist eine Polynomfunktion mit diesen Eigenschaften gesucht. Stelle eine Polynomfunktion vierten Grades auf, die an der Stelle 1 eine Extremstelle besitzt. An der Stelle 2 liegt eine Wendestelle mit der Wendetangente t: 3 x + y = 8 vor. Eine Polynomfunktion dritten Grades hat allgemein die Form f(x) = a x3 + b x2 + c x + d. Nun müssen die vier Koeffizienten a, b, c, d berechnet werden. Da es sich hierbei um vier Unbekannte handelt, benötigt man vier Gleichungen, um die gesuchten Größen zu berechnen. Daher müssen auch vier Bedingungen gegeben sein. Da eine Extremstelle und eine Wendestelle gegeben sind, werden zwei Ableitungen benötigt: fʹ(x) = 3 ax2 + 2 bx + c f″(x) = 6 ax + 2 b 1. Bedingung: 1 ist eine Extremstelle. ⇒ fʹ(1) = 0 ⇒ 3 a + 2 b + c = 0 2. Bedingung: 2 ist eine Wendestelle. ⇒ f″(2) = 0 ⇒ 12 a + 2 b = 0 3. Bedingung: Setzt man 2 in die Wendetangente ein, erhält man die Koordinaten des Wendepunkts: t: 3 · 2 + y = 8 ⇒ y = 2 (2 | 2) ist ein Punkt von f ⇒ f(2) = 2 ⇒ 8 a + 4 b + 2 c + d = 2 4. Bedingung: Liest man die Steigung der Wendetangente ab, dann erhält man eine weitere Gleichung. t: y = − 3 x + 8 ⇒ k = − 3 Die Steigung an der Stelle 2 ist − 3. ⇒ fʹ(2) = − 3 ⇒ 12 a + 4 b + c = − 3 Mit Hilfe dieser Bedingungen erhält man nun ein Gleichungssystem und somit die gesuchten Werte: 3 a + 2 b + c = 0 12 a + 2 b = 0 8 a + 4 b + 2 c + d = 2 12 a + 4 b + c = − 3 ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ a = 1 b = − 6 c = 9 d = 0 Die Polynomfunktion lautet daher: f(x) = x 3 − 6 x 2 + 9 x. Lösen von Aufgabe 261 mit Hilfe von Technologie Geogebra: f(x) = a · x 3 +b·x2 + c · x + d Löse({fʹ(1) = 0,f″(2) = 0,f(2) = 2,fʹ(2) = –3},{a,b,c,d}) TI-Nspire: und Casio: für diese Eingabe vergleiche den Online-Link Der Graph einer Polynomfunktion f zweiten Grades verläuft durch die Punkte A, B, C. Gib die Funktionsgleichung der Funktion an. a) A = (3 | 7), B = (1 | 5), C = (− 1 | − 2) c) A = (1 | 6), B = (2 | 3), C = (3 | 1) b) A = (− 3 | − 5), B = (− 2 | − 6), C = (4 | 2) d) A = (0 | 4), B = (1 | 6), C = (3 | − 3) Kompetenzen Muster 261 Technologie Ó Technologie Anleitung Auffinden von Polynomfunktionen w8v8j2 262 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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